Aufgabe 1.8: Variable Flankensteilheit

Trapeztiefpass und Cosinus–Rolloff–Tiefpass (Aufgabe A1.8)

Zwei Tiefpässe mit variabler Flankensteilheit sollen miteinander verglichen werden. Für Frequenzen $|f| ≤ f_1$ gilt in beiden Fällen $H(f) =$ 1. Dagegen werden alle Frequenzen $|f| ≥ f_2$ vollständig unterdrückt.

Im mittleren Bereich $f_1 ≤ |f| ≤ f_2$ sind die Frequenzgänge durch die nachfolgenden Gleichungen festgelegt:

Trapeztiefpass (TTP):

$$H(f) = \frac{f_2 - |f|}{f_2 - f_1} ,$$

Cosinus–Rolloff–Tiefpass (CRTP):

$$H(f) = \cos^2 \left(\frac{|f|- f_1}{f_2 - f_1} \cdot\frac{\pi}{2} \right).$$

Alternative Systemparameter sind für beide Tiefpässe die über das flächengleiche Rechteck definierte äquivalente Bandbreite $Δf$ sowie der Rolloff–Faktor (im Frequenzbereich): $$r=\frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1} .$$ In der gesamten Aufgabe gelte $Δf =$ 10 kHz und $r =$ 0.2. Die Impulsantworten lauten mit der äquivalenten Impulsdauer $Δt = 1/Δf =$ 0.1 ms: $$h_{\rm TTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{\Delta t} )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \frac{t}{\Delta t} ),$$ $$h_{\rm CRTP}(t) = \frac{1}{\Delta t} \cdot {\rm si}(\pi \cdot \frac{t}{\Delta t} )\cdot \frac {\cos(\pi \cdot r \cdot t / \Delta t )}{1 - (2 \cdot r \cdot t/\Delta t )^2}.$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 1.3. Sie können Ihre Ergebnisse mit folgendem Interaktionsmodul überprüfen:

Fragebogen

Musterlösung

1. Bei beiden Tiefpässen ist das Integral über H(f) gleich f₁ + f₂. Wegen H(f = 0) = 1 gilt somit auch der Lösungsvorschlag 2:

$$\Delta f = f_1 + f_2.$$

2. Setzt man die unter a) gefundene Beziehung in die Definitionsgleichung des Rolloff–Faktors ein, so erhält man

$${f_2 - f_1} = r \cdot \Delta f = {2\,\rm kHz}, \hspace{0.5cm} {f_2 + f_1} = {10\,\rm kHz}.$$

Durch Addition bzw. Subtraktion beider Gleichungen ergeben sich die so genannten „Eckfrequenzen” zu f₁ = 4 kHz und f₂ = 6 kHz.

3. Die erste si–Funktion von h_TTP(t) führt zu Nullstellen im Abstand Δt (siehe auch Gleichung auf der Angabenseite). Die zweite si–Funktion bewirkt Nullstellen bei Vielfachen von 5 · Δt. Da diese exakt mit den Nullstellen der ersten si–Funktion zusammenfallen, gibt es keine zusätzlichen Nullstellen.

Der Sonderfall r = 0 entspricht dem idealen rechteckförmigen Tiefpass mit si–förmiger Impulsantwort. Diese klingt extrem langsam ab. Dagegen fällt die si²–förmige Impulsantwort des Dreiecktiefpasses (Sonderfall für r = 1) asymptotisch mit 1/t² und damit schneller als mit r = 0.2.

Richtig sind somit die Lösungsvorschläge 1 und 4.

4. h_CRTP(t) weist aufgrund der si–Funktion ebenfalls Nullstellen im Abstand Δt auf. Die Cosinusfunktion hat Nullstellen zu folgenden Zeitpunkten:

$${\cos(\pi \cdot r \cdot {t}/{ \Delta t} )} = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}r \cdot {t}/{ \Delta t} = \pm 0.5, \pm 1.5, \pm 2.5, ... $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {t}/{ \Delta t} = \pm 2.5, \pm 7.5, \pm 12.5, ... $$

Die Nullstelle des Zählers bei t/Δt = 2.5 wird allerdings durch den ebenfalls verschwindenden Nenner zunichte gemacht. Die weiteren Nullstellen bei 7.5, 12.5, usw. bleiben dagegen bestehen.

Auch hier führt r = 0 zum Rechtecktiefpass und damit zur si–förmigen Impulsantwort. Dagegen klingt die Impulsantwort des Cosinus–Quadrat–Tiefpasses (Sonderfall für r = 1) extrem schnell ab. Dieser wird in der Zusatzaufgabe Z1.8 eingehend untersucht.

Richtig sind hier die Vorschläge 1, 2 und 4.

	$h(t)$ besitzt Nullstellen bei $±n · Δt (n = 1, 2, ...)$.
	$h(t)$ besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.
	Mit $r = 0$ würde $h(t)$ schneller abklingen.
	Mit $r = 1$ würde $h(t)$ schneller abklingen.

	$h(t)$ besitzt Nullstellen bei $±n · Δt (n = 1, 2, ...)$.
	$h(t)$ besitzt zusätzliche Nullstellen zu anderen Zeiten.
	Mit $r = 0$ würde $h(t)$ schneller abklingen.
	Mit $r = 1$ würde $h(t)$ schneller abklingen.

	Es gilt $Δf = f_2 – f_1$.
	Es gilt $Δf = f_1 + f_2$.
	Es gilt $Δf = (f_2 + f_1)/2$.