Aufgabe 2.1Z: Verzerrung und Entzerrung

Die Grafik zeigt drei kontinuierliche Spektralfunktionen:

ein cos²–Spektrum, das nur Anteile im Bereich |f| < 1 kHz besitzt, wobei gilt:

$$A(f) = 10^{\rm -3} \frac {\rm V}{\rm Hz} \cdot \cos^2(\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \cdot \frac{\pi}{ 2} ) ,$$

ein Dreieckspektrum, ebenfalls begrenzt auf den Frequenzbereich |f| < 1 kHz:

$$B(f) = 10^{\rm -3} \frac {\rm V}{\rm Hz} \cdot \left(1-\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \right) ,$$

ein so genanntes Gaußspektrum:

$$C(f) = 10^{\rm -3} \frac {\rm V}{\rm Hz} \cdot {\rm e}^{-\pi (f/{1 \, \rm kHz})^2} .$$

Weiterhin betrachten wir ein linear verzerrendes System S_V mit X(f) am Eingang und Y(f) am Ausgang sowie das Entzerrungssystem S_E mit dem Eingangsspektrum Y(f) und dem Ausgangsspektrum Z(f).

Anzumerken ist:

Eine vollständige Entzerrung bedeutet, dass Z(f) = X(f) gilt.

Die Frequenzgänge der beiden Systeme S_V und S_E lauten:

$$H_{\rm V}(f) = \frac{Y(f)}{X(f)} , \hspace{0.3cm}H_{\rm E}(f) = \frac{Z(f)}{Y(f)} .$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.1.

Fragebogen

Musterlösung

1. Diese Konstellation ist möglich, da für alle Y(f) ≠ 0 auch X(f) stets von 0 verschieden ist. Für alle Frequenzen kleiner als 0.5 kHz bewirkt H_V(f) = B(f)/A(f) < 1 eine Dämpfung, während die Frequenzen zwischen 0.5 kHz und 1 kHz durch das System angehoben werden ⇒ Ja.

2. Bei dieser Konstellation ist auch eine vollständige lineare Entzerrung mit

$$H_{\rm E}(f) = \frac{Z(f)}{Y(f)} = \frac{A(f)}{B(f)} = \frac{1}{H_{\rm V}(f)}$$

möglich, da beide Spektren genau bis 1 kHz reichen ⇒ Ja.

3. Auch diese Konstellation ist möglich. Das Filter H_V(f) muss für die Frequenzen |f| < 1 kHz aus dem Gaußspektrum ein Dreieckspektrum formen und alle Frequenzen |f| > 1 kHz unterdrücken ⇒ Ja.

4. Eine vollständige Entzerrung ist hier nicht möglich. Die Anteile des Gaußspektrums, die durch H_V(f) vollständig eliminiert wurden, können durch das lineare System nicht wieder hergestellt werden ⇒ Nein.

5. Diese Konstellation ist mit einem linearen System nicht möglich, da im Spektrum C(f) = A(f) · H_V(f) keine Spektralanteile enthalten sein können, die es in A(f) nicht gibt ⇒ Nein.

Die Frage, ob es ein nichtlineares System gibt, das aus dem cos²–Spektrum ein Gaußspektrum formt, ist nicht gestellt und muss so auch nicht beantwortet werden: Die Autoren glauben eher „Nein”.