Aufgabe 2.3Z: Kennlinienbetrieb asymmetrisch

Am Eingang eines Systems S liegt das Cosinussignal

$$x(t) = A \cdot \cos(\omega_0 t)$$

an, wobei für die Amplitude stets A = 0.5 gelten soll. Das System S besteht aus der Addition eines Gleichanteils C, einer Nichtlinearität mit der Kennlinie

$$g(x) = \sin(x) \hspace{0.05cm} \approx x \hspace{0.05cm} - \frac{x^3}{6} = g_3(x)$$

sowie einem idealen Hochpass, der alle Frequenzen bis auf ein Gleichsignal (f = 0) unverfälscht passieren lässt.

Das Ausgangssignal des Gesamtsystems kann allgemein in folgender Form dargestellt werden:

$$y(t) = A_0 + A_1 \cdot \cos(\omega_0 t) + A_2 \cdot \cos(2\omega_0 t) + A_3 \cdot \cos(3\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}...$$

Die sinusförmige Kennlinie g(x) soll in der gesamten Aufgabe entsprechend der obigen Gleichung durch die kubische Näherung g₃(x) approximiert werden. Für C = 0 ergäbe sich somit die exakt gleiche Konstellation wie in Aufgabe A2.3, in deren Unterpunkt b) der Klirrfaktor mit K = 1.08 % (für A = 0.5) bzw. K = 4.76 % (für A = 1) berechnet wurde.

Unter Berücksichtigung der Konstanten A = C = 0.5 gilt für das Eingangssignal der Nichtlinearität:

$$x_C(t) = C + A \cdot \cos(\omega_0 t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot \cos(\omega_0 t).$$

Die Kennlinie wird also unsymmetrisch betrieben mit Werten zwischen 0 und 1. In obiger Grafik sind zusätzlich die Signale x_C(t) und y_C(t) direkt vor und nach der Kennlinie g(x) eingezeichnet.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 2.2. Berücksichtigen Sie bei der Lösung die folgenden trigonometrischen Beziehungen:

$$\cos^2(\alpha) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos(2\alpha)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} \cos^3(\alpha) = \frac{3}{4} \cdot \cos(\alpha) + \frac{1}{4} \cdot \cos(3\alpha) \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

Musterlösung

1. Unter Berücksichtigung der kubischen Näherung g₃(x) erhält man vor dem Hochpass:

$$y_{\rm C}(t) = g_3\left[x_{\rm C}(t)\right] = \left[ C + A \cdot \cos(\omega_0 t)\right] - \frac{1}{6} \cdot \left[ C + A \cdot \cos(\omega_0 t)\right]^3 = \\ = C + A \cdot \cos(\omega_0 t) - \frac{1}{6} \cdot [ C^3 + 3 \cdot C^2 \cdot A \cdot \cos(\omega_0 t) + \\ . \hspace{0.01cm}+ \hspace{0.09cm}3 \cdot C \cdot A^2 \cdot \cos^2(\omega_0 t) + A^3 \cdot \cos^3(\omega_0 t)].$$

Das Signal y_C(t) beinhaltet eine Gleichsignalkomponente C – C³/6, die jedoch aufgrund des Hochpasses im Signal y(t) nicht mehr enthalten ist: A₀ = 0.

2. Bei Anwendung der angegebenen trigonometrischen Beziehungen erhält man folgende Koeffizienten mit A = C = 0.5:

$$A_1 = A - \frac{1}{6}\cdot 3 \cdot C^2 \cdot A - \frac{1}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot A^3 = \frac{1}{2} - \frac{1}{16} - \frac{1}{64} = \frac{27}{64} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.422},$$

$$A_2 = - \frac{1}{6}\cdot 3 \cdot \frac{1}{2}\cdot C \cdot A^2 = - \frac{1}{32} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.031},$$

$$A_3 = - \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{4}\cdot A^3 = - \frac{1}{192} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.005}.$$

Terme höherer Ordnung kommen nicht vor. Somit ist auch A₄ = 0.

3. Die Klirrfaktoren zweiter und dritter Ordnung ergeben sich bei dieser Aufgabe zu K₂ = 2/27 ≈ 7.41% und K₃ = 1/81 ≈ 1.23%. Damit ist der Gesamtklirrfaktor

$$K = \sqrt{K_2^2 + K_3^2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx7.51 \%}.$$

4. Der Maximalwert tritt zum Zeitpunkt t = 0 und bei Vielfachen von T auf:

$$y_{\rm max}= y(t=0) = A_1 + A_2 + A_3 = 0.422 -0.031 -0.005 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.386}.$$

Die Minimalwerte liegen genau in der Mitte zwischen den Maxima und es gilt:

$$y_{\rm min}= - A_1 + A_2 - A_3 = -0.422 -0.031 +0.005\hspace{0.15cm}\underline{ = -0.448}.$$

Das Signal y(t) ist gegenüber dem in der Skizze auf der Angabenseite eingezeichnetem Signal um 0.448 nach unten verschoben. Dieser Signalwert ergibt sich aus folgender Gleichung mit A = C = 1/2:

$$C - \frac{C \cdot A^2}{4}- \frac{C^3}{6} = \frac{1}{2} - \frac{1}{32}- \frac{1}{48} = 0.448.$$