Aufgabe 3.3Z: Hoch- und Tiefpässe in p-Form

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Die Grafik zeigt einige einfache Filterkonfigurationen mit Tiefpass– bzw. Hochpasscharakteristik, die aus diskreten Bauelementen zusammengesetzt sind. Für die Bauelemente der Schaltungen 1 und 2 gelte:

$$R = 100\,{\rm \Omega}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} L = 10\,{\rm \mu H}\hspace{0.05cm}.$$

Die Vierpol–Schaltungen (1), ... , (4) sollen durch ihre p–Übertragungsfunktionen H_L(p) charakterisiert werden. Daraus ergibt sich – bei dieser Aufgabe, nicht allgemein – der Frequenzgang entsprechend der Gleichung

$$H(f) = H_{\rm L}(p)\Bigg |_{\hspace{0.1cm} p\hspace{0.05cm}=\hspace{0.05cm}{\rm j \hspace{0.05cm}2\pi \it f}} \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.2.

Fragebogen

1

Welche Aussagen gelten für die p–Übertragungsfunktion eines Vierpols?

	Für einen Tiefpass erster Ordnung gilt: HTP(p) = K/(p + px),
	Für einen Hochpass erster Ordnung gilt: HHP(p) = K · p/(p + px).

2

Wie lauten die Parameter K und p_x der Übertragungsfunktion von Vierpol (1)?

$K$ =

$p_x$ = - $\cdot 10^{-7}\ 1/s$

3

Bei welcher Frequenz f_G ist die Leistungsübertragungsfunktion |H(f)|² gegenüber dem Maximalwert auf die Hälfte abgesunken?

$f_G$ = $MHz$

4

Welcher der beiden RC–Vierpole führt bei richtiger Wahl der Kapazität C zur gleichen Übertragungsfunktion wie Vierpol (1)?

	Vierpol (3),
	Vierpol (4),

5

Es gelte R = 100 Ω. Wie muss dabei C gewählt werden, damit der Pol p_x mit dem des Vierpols (1) übereinstimmt?

$C$ = $nF$

Musterlösung

Musterlösung

1.  Für die beiden Vierpole gelten folgende Grenzwerte:

$$\lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0} H_{\rm TP}(p)\hspace{0.2cm} = \hspace{0.1cm}\lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}\frac{K}{p + p_{\rm x}} \hspace{0.15cm} { =K /{p_{\rm x}}}, \hspace{0.2cm} \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} H_{\rm TP}(p)= 0\hspace{0.05cm},\\ \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0}H_{\rm HP}(p) \hspace{0.2cm} = \hspace{0.1cm}0, \hspace{0.4cm} \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty} H_{\rm HP}(p)= \lim_{p \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}\infty}\frac{K\cdot p}{p + p_{\rm x}} = K \hspace{0.05cm}.$$

Man erkennt, dass H_TP(p) für sehr hohe Frequenzen sperrt und H_HP(p) für sehr niedrige Frequenzen. Das bedeutet, dass beide Aussagen zutreffen.

2.  Wir betrachten den Vierpol (1). Der Spannungsteiler liefert das Ergebnis

$$H_{\rm L}(p)= \frac { p L} {R + pL}= \frac { p } {p +{R}/{L}} \hspace{0.05cm} .$$

Es handelt sich um einen Hochpass mit dem Kennparameter K = 1 und der Nullstelle bei

$$p_{\rm x}= -\frac{R}{L}= -\frac{100\,{\rm \Omega}}{10^{-5 }\,{\rm \Omega s}}\hspace{0.15cm}\underline{= -10^{-7 }\,{1}/{\rm s}} \hspace{0.05cm} .$$

3.  Zur Übertragungsfunktion kommt man mit der Substitution p = j · 2πf:

$$H(f)= \frac { {\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f } {{\rm j} \cdot 2\pi \hspace{-0.05cm}f +p_{\rm o}}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} |H(f)|^2 = \frac { (2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 } {(2\pi \hspace{-0.05cm}f)^2 +p_{\rm o}^2}\hspace{0.05cm} .$$

Aus der Bedingung |H(f_G)|² = 0.5 erhält man die Bedingung:

$$(2\pi \hspace{-0.05cm}f_{\rm G})^2 = p_{\rm o}^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.3cm} f_{\rm G} = -\frac { p_{\rm o}} {2 \pi}= \frac { 10^{-7 }\, 1/s} {2 \pi}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.59\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm} .$$

4.  Für ein Gleichsignal ist eine Kapazität C ein unendlich großer Widerstand, für hohe Frequenzen wirkt C wie ein Kurzschluss ⇒ der Vierpol (3) beschreibt ebenfalls einen Hochpass. Dagegen zeigen die Schaltungen 2 und 4 Tiefpassverhalten.

e)  Die p–Übertragungsfunktion von Vierpol (3) lautet:

$$H_{\rm L}(p)= \frac { R } {{1}/{(pC)} + R}= \frac { p } {p +{1}/{(RC)}}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm x}= -{1}/(RC)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} C = -\frac{1}{p_{\rm x} \cdot R}= \frac{-1}{-10^{-7 }\, 1/s \cdot 100\,{\rm \Omega}}\hspace{0.15cm}\underline{ = 1\,{\rm nF}} \hspace{0.05cm} .$$