Aufgabe 4.2: Fehlangepasste Leitung

Ein Übertragungssystem belege den Frequenzbereich von f_U = 10 MHz bis f_O = 400 MHz. Die verwendete Übertragungsleitung besitze zudem einen konstanten Wellenwiderstand Z_W = 100 Ω (reell), was nicht ganz der Realität entspricht, da der Wellenwiderstand meist mit der Frequenz leicht abnimmt und oft auch noch ein (kleinerer) Imaginärteil zu berücksichtigen ist.

Die Leitung wird mit einer Spannungsquelle mit dem Innenwiderstand R₁ = 100 Ω gespeist und ist mit dem Widerstand R₂ abgeschlossen. Der Eingangswiderstand der Leitung ergibt sich zu

$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}\cdot \frac {R_2 + Z_{\rm W} \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)} {Z_{\rm W}+ R_2 \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}{\rm tanh}(x) = \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}x \in {\cal C} \hspace{0.05cm}.$$

Das Übertragungsmaß soll – wieder sehr vereinfacht – durch eine reelle Funktion angenähert werden:

$$\frac {\gamma(f)}{1\,{\rm Np/km}} = \frac {\alpha(f)}{1\,{\rm Np/km}} = \sqrt{f/f_{\rm O}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}f_{\rm O} = 40\,{\rm MHz}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 4.1. Insbesondere soll untersucht werden, ob es zu Reflexionen kommt.

Fragebogen

	Z_W ist abhängig von der Leitungslänge.
	Z_W kann frequenzabhängig sein.
	Z_W kann bei bestimmten Frequenzen komplexe Werte annehmen.

	Der Eingangswiderstand Z_E(f) ist gleich dem Wellenwiderstand.
	Der Eingangswiderstand ist frequenzunabhängig.
	Der Eingangswiderstand hängt von der Leitungslänge ab.
	R₁ = R₂ = Z_W kennzeichnet die bestmögliche Beschaltung.

$R_2 = 0,\ f_U = 10\ MHz:\ l_\text{min}$ =

$km$

$R_2 = 0,\ f_O = 40\ MHz:\ l_\text{min}$ =

$km$

$R_2 → ∞,\ f_U = 10\ MHz:\ l_\text{min}$ =

$km$

$R_2 → ∞,\ f_O = 40\ MHz:\ l_\text{min}$ =

$km$

Musterlösung

1. Der Wellenwiderstand Z_W ist definiert als der Quotient von Spannung und Strom der sich entlang der Leitung ausbreitenden Welle und ist unabhängig vom Ort. Deshalb ist Z_W auch unabhängig von der Leitungslänge und wird allein durch die Leitungsbeläge R', L', G' und C' bestimmt.

Die im Theorieteil angegebene Gleichung

$$Z_{\rm W}(f) = \sqrt{\frac {R' + {\rm j} \cdot \omega L'}{G' + {\rm j} \cdot \omega C'}} \hspace{0.1cm}\bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}$$

macht deutlich, dass der Wellenwiderstand durchaus von der Frequenz abhängt und im allgemeinen auch komplexwertig ist. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 2 und 3.

Besonders anzumerken ist, dass der Wellenwiderstand keinen Widerstand im Sinne eines Verbrauchers darstellt. Er charakterisiert die Leitung nicht als verlustbehaftetes Element. Auch eine verlustlose Leitung besitzt einen Wellenwiderstand und ebenso ist bei der Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle stets ein Wellenwiderstand definiert.

2. Mit dem Abschlusswiderstand Z₂(f) = Z_W(f) ist auch der an den Leitungsanfang transformierte Widerstandswert gleich dem Wellenwiderstand, und zwar unabhängig von der Leitungslänge:

$$Z_{\rm E}(f) = Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {Z_{\rm 2}(f) + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)} {Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm 2}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}= \\ = Z_{\rm W}(f)\cdot \frac {Z_{\rm W}(f) + Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)} {Z_{\rm W}(f)+ Z_{\rm W}(f) \cdot {\rm tanh}(\gamma(f) \cdot l)}= Z_{\rm W}(f) \hspace{0.05cm}.$$

Da in der Aufgabenstellung Z_W(f) = Z_W als frequenzunabhängig vorausgesetzt wurde, ist hier auch der Eingangswiderstand frequenzunabhängig. Dagegen können bei frequenzabhängigem Wellenwiderstand mit einem reellen Abschluss Reflexionen nicht für alle Frequenzen vermieden werden. Die Beschaltung <nobr>R₁ = R₂ = Z_W ⇒ R₁ = Z_E</nobr> ist natürlich stets anzustreben, da dann von der Quelle die maximale Leistung abgegeben wird. Richtig sind also hier die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4.

3. Mit dem Abschlusswiderstand R₂ = 0 folgt aus der angegebenen Gleichung mit reellem γ(f) · l = x:

$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = {\rm tanh}(x) = \frac {{\rm e}^{x}-{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}}= \frac {{\rm e}^{2x}-1}{{\rm e}^{2x}+1}$$

$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = 0.99 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm e}^{2x} = 199\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} x =\frac{1}{2}\cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}(199) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

$$f_{\rm U} = 10\,{\rm MHz:}\hspace{0.2cm}\alpha(f_{\rm U})= 0.5\,{\rm Np/km}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}l_{\rm min}= \frac{2.65\,{\rm Np}}{0.5\,{\rm Np/km}}\hspace{0.15cm}\underline{= 5.3\,{\rm km}} \hspace{0.05cm},\\ f_{\rm O} = 40\,{\rm MHz:}\hspace{0.2cm}\alpha(f_{\rm U})= 1.0\,{\rm Np/km}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}l_{\rm min}\hspace{0.15cm}\underline{= 2.65\,{\rm km}} \hspace{0.05cm}.$$

Das heißt: Für die Frequenz f_O = 40 MHz genügt bereits eine Leitung der Länge l = 2.65 km, um Reflexionen weitgehend zu unterdrücken. Bei der niedrigeren Frequenz f_U = 10 MHz ist wegen des geringeren Dämpfungsmaßes dafür eine größere Kabellänge erforderlich.

Diese Aussagen beziehen sich natürlich nur auf das Vermeiden von Reflexionen. Insgesamt ist natürlich die niedrigere Signalfrequenz günstiger als die höhere.

4. In gleicher Weise erhält man für R₂ → ∞ (Leerlauf) die Gleichung

$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = \frac{1}{{\rm tanh}(x)} = \frac {{\rm e}^{2x}+1}{{\rm e}^{2x}-1}\hspace{0.05cm}.$$

Im Gegensatz zum Kurzschluss–Fall ergibt sich für den Quotienten Z_E/Z_W nun stets ein Wert größer 1:

$$\frac{Z_{\rm E}(f)}{Z_{\rm W}} = 1.01 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm e}^{2x} = 201\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} x =\frac{1}{2}\cdot{\rm ln}\hspace{0.1cm}(201) \approx 2.65\,{\rm Np}\hspace{0.05cm}.$$

Näherungsweise erhält man hier das gleiche Ergebnis wie bei Teilaufgabe c): Die minimale Kabellänge beträgt etwa 5.3 km (f_U = 10 MHz) bzw. 2.65 km (f_O = 40 MHz).