Aufgabe 4.6: k-Parameter und Alpha-Parameter

Für symmetrische Kupfer–Doppeladern findet man in [PW95] die folgende empirische Formel, gültig für den Frequenzbereich 0 ≤ f ≤ 30 MHz:

$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3} , \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz} .$$

Dagegen ist das Dämpfungsmaß eines Koaxialkabels meist in der folgenden Form angegeben:

$$\alpha_{\rm II}(f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}\hspace{0.05cm}.$$

Insbesondere zur Berechnung von Impulsantwort und Rechteckantwort ist es von Vorteil, auch für die Kupfer–Doppeladern die zweite Darstellungsform mit den Kabelparametern α₀, α₁ und α₂ anstelle der Beschreibung durch k₁, k₂, und k₃ zu wählen. Für die Umrechnung geht man dabei wie folgt vor:

Aus obigen Gleichungen ist offensichtlich, dass der die Gleichsignaldämpfung charakterisierende Koeffizient k₁ gleich α₀ ist.

Zur Bestimmung von α₁ und α₂ wird davon ausgegangen, dass der mittlere quadratische Fehler im Bereich einer vorgegebenen Bandbreite B minimal sein soll:

$${\rm E}[\varepsilon^2(f)] = \int\limits_{0}^{ B} \left [ \alpha_{\rm II} (f) - \alpha_{\rm I} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$

Die Differenz ε²(f) und der mittlere quadratische Fehler E[ε²(f)] ergeben sich dabei wie folgt:

$$\varepsilon^2(f) \hspace{0.15cm} = \hspace{0.15cm} \left [ \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f} - k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3}\right ]^2 =\\ = \hspace{0.15cm}\alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f^2 + 2 \alpha_1 \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f^{1.5} + \alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f + k_2^2\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{f^{2k_3}}{f_0^{2k_3}} - 2 k_2 \alpha_1 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{f^{k_3+1}} {f_0^{k_3}}-{2 k_2 \alpha_2} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{f^{k_3+0.5}}{f_0^{k_3}}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm E}[\varepsilon^2(f)] = \hspace{0.15cm} \alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\frac{B^3}{3} + \frac{4}{5} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}\alpha_1 \alpha_2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}B^{2.5} + \alpha_1^2 \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{B^2}{2} + \frac{k_2^2}{2k_3 +1} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \frac{B^{2k_3+1}}{f_0^{2k_3}} -\\ - \hspace{0.15cm} \frac{2 k_2 \alpha_1}{k_3 + 2} \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} $$

Diese Gleichung beinhaltet die zu verrechnenden Kabelparameter α₁, α₂, k₂ und k₃ sowie die Bandbreite B, innerhalb derer die Approximation gültig sein soll.

Durch Nullsetzen der Ableitungen von E[ε²(f)] nach α₁ bzw. α₂ erhält man zwei Gleichungen für die bestmöglichen Koeffizienten α₁ und α₂, die den mittleren quadratischen Fehler minimieren. Diese lassen sich in folgender Form darstellen:

$$\frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_1}} = 0 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} \alpha_1 + C_1 \cdot \alpha_2 + C_2 = 0 \hspace{0.05cm} ,\\ \frac{{\rm d}\,{\rm E}[\varepsilon^2(f)]}{{\rm d}\,{\alpha_2}} = 0 \hspace{0.2cm} \Rightarrow \hspace{0.2cm} \alpha_1 + D_1 \cdot \alpha_2 + D_2 = 0 \hspace{0.05cm} . $$

Aus der Gleichung C₁ · α₂ + C₂ = D₁ · α₂ + D₂ lässt sich daraus der Koeffizient α₂ berechnen und anschließend aus jeder der beiden oberen Gleichungen der Koeffizient α₁.

Die obere Grafik zeigt das Dämpfungsmaß für eine Kupferdoppelader mit 0.5 mm Durchmesser, deren k–Parameter lauten:

$$k_1 = 4.4\, {\rm dB}/{\rm km} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k_2 = 10.8\, {\rm dB}/{\rm km}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.60\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}.$$

Die rote Kurve zeigt die damit berechnete Funktion α(f). Für f = 30 MHz ergibt sich das Dämpfungsmaß α = 87.5 dB/km. Die blaue Kurve gibt die Approximation mit den α–Koeffizienten an. Diese ist von der roten Kurve innerhalb der Zeichengenauigkeit fast nicht zu unterscheiden.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 4.3.

Fragebogen

Musterlösung

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

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