Aufgabe 3.5Z: Integration von Diracfunktionen
Wie in Aufgabe A3.5 soll das Spektrum $\text{Y(f)}$ des Signals
- $$y( t ) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ - A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{20}c} {{\rm{f \ddot{u}r}}} \\ {{\rm{f\ddot{u} r}}} \\ {\rm{sonst.}} \\ \end{array}\;\begin{array}{*{20}c} { - T \le t < 0,} \\ {0 < t \le T,} \\ {} \\\end{array}$$
ermittelt werden. Es gelte wieder $A = 1 \text{V}$ und $T = 0.5 \text{ms}$.
Ausgegangen wird vom Zeitsignal $\text{x(t)}$ gemäß der mittleren Skizze, das sich aus drei Diracimpulsen bei $–T$, $0$ und $+T$ mit den Impulsgewichte $\text{AT}$, $-2\text{AT}$ und $\text{AT}$ zusammensetzt.
Die Spektralfunktion $\text{X(f)}$ kann durch Anwendung des Vertauschungssatzes direkt angegeben werden, wenn man berücksichtigt, dass die zu $\text{U(f)}$ gehörige Zeitfunktion wie folgt lautet (siehe untere Skizze):
- $$u( t ) = - 2A + 2A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$
Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 3.3. Zwischen $\text{x(t)}$ und $\text{y(t)}$ besteht folgender Zusammenhang:
- $$y( t ) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )}\, {\rm d}\tau .$$
Der Integrationssatz lautet in entsprechend angepasster Form:
- $$\frac{1}{T}\cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )}\,\, {\rm d}\tau\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X( f )\left( {\frac{1}{{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}fT}} + \frac{1}{2T}\cdot {\rm \delta} ( f )} \right).$$
Alle im Kapitel 3.3 dargelegten Gesetzmäßigkeiten – unter Anderem auch der Integrationssatz – werden in einem Lernvideo an Beispielen verdeutlicht:
Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation
Fragebogen
Musterlösung
