Aufgabe 4.5Z: Nochmals Impulsantwort

Wir betrachten wieder wie in der Aufgabe A4.5 ein binäres Übertragungssystem mit der Bitrate R und der Symboldauer T = 1/R. Als Übertragungsmedium wird ein Normalkoaxialkabel (Innendurchmesser: 2.6 mm, Außendurchmesser: 9.5 mm) mit dem Frequenzgang

$$H_{\rm K}(f) = {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_1 \hspace{0.01cm} f \hspace{0.05cm}l} \cdot {\rm e}^{- \alpha_2 \hspace{0.01cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}l} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \beta_2 \hspace{0.01cm} \sqrt{f} \hspace{0.05cm}l}\\ = H_1(f) \cdot H_2(f) \cdot H_3(f)$$

verwendet. Die Kabellänge beträgt l = 1 Kilometer.

Die Teilfrequenzgänge H₁(f), H₂(f), H₃(f) dienen hier nur als Abkürzung. Die Leitungsparameter lauten:

$$\beta_1 = 21.78\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot MHz}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \beta_2 = 0.2722\, \frac{\rm rad}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die resultierende Impulsantwort h_K(t'), wobei t' = t/T die normierte Zeit darstellt. Ohne Berücksichtigung der (normierten) Phasenlaufzeit τ' = τ/T kann h_K(t') wie folgt geschrieben werden:

$$h_{\rm K}(t') = \frac {1}{T} \cdot \frac {\rm a_\rm \star/\pi}{ \sqrt{2 \hspace{0.05cm}t'^3}}\cdot {\rm exp} \left [ -\frac {\rm a_\rm \star^2}{ {2\pi \hspace{0.05cm}t'}} \right ] \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm} {\rm in}\hspace{0.15cm} {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$

Diese Gleichung gibt die Fourierrücktransformierte des Produkts H₂(f) · H₃(f) an. Verwendet ist dabei die charakteristische Kabeldämpfung

$${\rm a}_{\rm \star} = \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l \hspace{0.05cm}.$$

In der Aufgabe A4.5 wurde der Maximalwert der normierten Impulsantwort wie folgt berechnet:

$${\rm Max}[T \cdot h_{\rm K}(t)] = \frac {\sqrt{13.5 \pi} \cdot {\rm e}^{-1.5} }{{\rm a}_{\rm \star}^2} \approx \frac {1.453 }{{\rm a}_{\rm \star}^2} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \hspace{0.15cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm}{\rm a}_{\rm \star}\hspace{0.15cm} {\rm in}\hspace{0.15cm} {\rm Neper}\hspace{0.05cm}.$$

Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel 4.2.

Fragebogen

	H₁(f),
	H₂(f),
	H₃(f).

$R$ =

$Mbit/s$

$a_\star$ =

$Np$

$Max[T \cdot h_K(t)]$ =

	Verzerrungen werden ohne H₁(f) richtig wiedergegeben.
	Verzerrungen werden ohne H₂(f) richtig wiedergegeben.
	Verzerrungen werden ohne H₃(f) richtig wiedergegeben.

Musterlösung

1. Die Spektraldarstellung eines Laufzeitgliedes lautet e^–j2πfτ. Ein Vergleich mit der Angabenseite zeigt, dass H₁(f) genau diesem Ansatz genügt ⇒ Alternative 1.

2. Entsprechend dem Angabenblatt gilt:

$$2\pi \cdot f \cdot \tau = \beta_1 \cdot f \cdot l \Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau= \frac {\beta_1 \cdot l}{2\pi} = \frac {21.78\, {\rm rad}/{({\rm km \cdot MHz})}\cdot 10\,{\rm km}}{2\pi} = 34.7\,{\rm \mu s}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\tau '= {\tau}/{T} = 694 \Rightarrow \hspace{0.3cm} T = \frac {34.7\,{\rm \mu s}}{700} \approx 0.05\,{\rm \mu s}\hspace{0.05cm}.$$

Die Bitrate ist gleich dem Kehrwert der Symboldauer: R = 20 Mbit/s.

3. Für die charakteristische Kabeldämpfung erhält man somit:

$${\rm a}_{\rm \star} = \alpha_2 \cdot \sqrt {R/2} \cdot l = 0.2722\, \frac{\rm Np}{\rm km \cdot \sqrt{MHz}} \cdot \sqrt {10\,{\rm MHz}} \cdot 10\,{\rm km} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 8.6\,{\rm Np}}\hspace{0.05cm}.$$

Der entsprechende dB–Wert ist 75 dB.

4. Mit der angegebenen Gleichung und dem Ergebnis aus c) ergibt sich:

$${\rm Max}[T \cdot h_{\rm K}(t)] \approx \frac {1.453 }{{\rm a}_{\rm \star}^2} = \frac {1.453 }{8.6^2} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.02}\hspace{0.05cm}.$$

5. Richtig ist nur Aussage 1. H₁(f) beschreibt die frequenzunabhängige Laufzeit, die keine Verzerrung zur Folge hat. Dagegen sollte man zur Berechnung der Impulsantwort auf keinen Fall auf H₂(f) oder H₃(f) verzichten, da es sonst es zu gravierenden Fehlern kommen würde:

Die Impulsantwort h₂(t) als die Fourierrücktransformierte von H₂(f) ist eine gerade Funktion mit dem Maximum bei t = 0 und erstreckt sich in beide Richtungen über Hunderte von Symbolen.

Dagegen ist die Fourierrücktransformierte von H₃(f) eine ungerade Funktion mit einer Sprungstelle bei t = 0. Für t > 0 fällt h₃(t) ähnlich – aber nicht exakt – wie eine Exponentialfunktion ab. Für negative Zeiten gilt h₃(t) = – h₃(|t|).

Erst die Faltung h₂(t) ∗ h₃(t) liefert die kausale Impulsantwort. Die Phasenlaufzeit τ ist hierbei noch nicht berücksichtigt.