Aufgabe 4.2Z: Korrelation zwischen „x“ und „e hoch x“

Die Zufallsgröße $x$ sei gleichverteilt zwischen -1 und +1. Damit ist der Mittelwert $m_x = 0$ und die Varianz $\sigma_x^2 = 1/3$.

Durch eine nichtlineare Kennlinie wird die Zufallsgröße $y = g(x) = e^x$ gebildet. Zwischen den beiden Zufallsgrößen $x$ und $y$ besteht also ein fester, deterministischer Zusammenhang und die Zufallsgröße $y$ kann nur Werte zwischen $1/e$ und $e$ annehmen.

Für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion erhält man für diesen Bereich nach dem Prinzip „Transformation von Zufallsgrößen”

$$f_y(y) = \frac{\rm 1}{\rm 2\it y}. $$

Berücksichtigen Sie, dass im betrachteten Bereich von $-1 ≤ x ≤ +1$ die Exponentialfunktion wie folgt angenähert werden kann:

$$y=\rm e^{\it x}\approx \rm 1+ \frac{ x}{\rm 1!} + \frac{{\it x}^{\rm 2}}{\rm 2!}+ \frac{{\it x}^{\rm 3}}{\rm 3!}+ \frac{{\it x}^{\rm 4}}{\rm 4!}.$$

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 3.3 und das Kapitel 4.1 des Theorieteils.

Fragebogen

$m_y$ =

$\sigma_y$ =

	Außerhalb der Kurve y = e^x ist f_xy (x, y) = 0.
	Für alle Werte (x, e^x) ist die WDF konstant.
	Die WDF beschreibt eine Diracwand entlang der Kurve y = e^x.
	Die Dirachöhe nimmt von links unten nach rechts oben ab.

$m_\text{xy}$ =

$\rho_\text{xy}$ =

Musterlösung

1. Der Mittelwert m_y kann in bekannter Weise aus der WDF f_y(y) ermittelt werden. Eine zweite Berechnungsmöglichkeit basiert direkt auf den Rechenregeln für Erwartungswerte:

$$m_y=\rm E[\it y] = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x) \cdot f_x(x)\,\, {\rm d}x = \rm\frac{1}{2}\cdot\int_{-1}^{1}\rm e^{\it x}\,\,{\rm d}x=\rm \frac{1}{2}\cdot(e-e^{-1}) \hspace{0.15cm}\underline{= 1.175}.$$

2. Für den quadratischen Mittelwert der Zufallsgröße y gilt:

$$m_{\rm 2 \it y} = \rm E[\it y^{\rm 2}] = \rm E[\rm e^{\rm 2\it x}]= \frac{1}{2}\cdot\int_{-1}^{+1}\rm e^{\rm 2\it x}\it \,\,{\rm d}x = \rm\frac{1}{4}\cdot( e^{2}-e^{-2}) = 1.813.$$

Daraus erhält man mit dem Satz von Steiner:

$$\sigma_y^{\rm 2} = m_{\rm 2 \it y}- m_{\it y}^2 = \frac{1}{4}\cdot(\rm e^{2}-e^{-2})-\frac{1}{4}\cdot( e^{2}-2+e^{-2})=\rm \frac{1}{2}\cdot(1-e^{-2})=0.432 \\ \Rightarrow \hspace{0.3cm}\sigma_y \hspace{0.15cm}\underline{= 0.658}.$$

3. Außerhalb der Kurve y = e^x ist die WDF natürlich 0. Da das Volumen unter der 2D-WDF gleich 1 sein muss, sind die WDF-Werte für den unendlich schmalen Bereich y = e^x unendlich groß. Das heißt: Die WDF beschreibt eine gekrümmte Diracwand. Aufgrund des Abfalls der WDF f_y(y) mit steigenden y nimmt die Höhe dieser Diracwand von (–1, 1/e) bis zu (+1, e) kontinuierlich ab ⇒ Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4.

4. Für das gemeinsame Moment gilt:

$$m_{xy} = \rm E[\it x\cdot y] = \rm E[\it x\cdot \rm e^{\it x}].$$

Mit der angegebenen Reihenentwicklung folgt daraus die Näherung:

$$m_{xy} \approx \rm E[\it x] + \rm E[\it x^{\rm 2}] + \rm \frac{1}{2} \cdot E[\it x^{\rm 3}] + \rm \frac{1}{6} \cdot E[\it x^{\rm 4}]+ \rm\frac{1}{24} \cdot E[\it x^{\rm 5}].$$

Aufgrund der Symmetrie der Zufallsgröße x gilt für alle ungeradzahligen Werte von k:

$$\rm E[\it x^{k}] =\rm 0.$$

Weiterhin gilt:

$$\rm E[\it x^{\rm 2}] = \sigma_{x}^{\rm 2}= \rm\frac{1}{3}, \hspace{0.5cm} \rm E[\it x^{\rm 4}] = \rm\frac{1}{2}\int_{-1}^{+1}\it x^{\rm 4} \it \,\,{\rm d}x = \rm\frac{1}{5}.$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}m_{xy} = \rm\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{5} = \frac{11}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.367}.$$

e) Wegen m_x = 0 gilt μ_xy = m_xy. Somit ergibt sich für den Korrelationskoeffizienten:

$$\it \rho_{xy} = \frac{\mu_{xy}}{\sigma_x \cdot \sigma_y}=\rm\frac{0.367}{0.577 \cdot 0.658}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.967}.$$

Zwischen x und y besteht zwar ein eindeutiger deterministischer Zusammenhang. Da aber hierin auch viele nichtlineare Bindungen enthalten sind, ist der Korrelationskoeffizient ρ_xy ≠ 1.