Aufgabe 5.6Z: Nochmals Filterdimensionierung

Mit Hilfe eines nichtrekursiven digitalen Filters erster Ordnung soll eine zeitdiskrete Zufallsgröße 〈y_ν〉 generiert werden, die folgende AKF-Werte aufweist:

$$\varphi _y ( {k \cdot T_{\rm A} } ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {\varphi _0 = 1} & {\rm f\ddot{u}r} & {k = 0} \\ {\varphi _1 } & {\rm f\ddot{u}r} & {\left| k \right| = 1} \\ 0 & {} & {{\rm{sonst}}.} \\ \end{array}} \right.$$

Hierbei bezeichnet φ₁ einen (in bestimmten Grenzen) frei wählbaren Parameter. Weiter gelte:

Die zeitdiskreten Eingangswerte x_ν sind gaußverteilt mit Mittelwert m_x und Streuung σ_x.

Zunächst sei m_x = 0 und σ_x = 1.

Damit lautet das Gleichungssystem zur Bestimmung der Filterkoeffizienten a₀ und a₁:

$$a_0 ^2 + a_1 ^2 = 1,$$

$$a_0 \cdot a_1 = \varphi _1 .$$

Hinweis: Diese Aufgabe bezieht sich auf den Theorieteil von Kapitel 5.3.

Fragebogen

$\phi_\text{1,max}$ =

$\phi_\text{1,min}$ = -

$a_0$ =

$a_1$ = -

$\phi_y(T_A)$ = -

Musterlösung

1. Nach einigen Umformungen kommt man zur Bestimmungsgleichung (mit u = a₀²):

$$a_0 \cdot a_1 = \varphi_1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} a_1 = \varphi_1 /a_0 ,$$

$$a_0^2 + a_1^2 = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} a_0^2 + \varphi_1^2 /a_0^2 -1 = 0,$$

$$u = a_0^2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} u + \varphi_1^2 /u -1 = 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} u^2 - u + \varphi_1^2 = 0.$$

Dies führt zu den beiden Lösungen:

$$u_{1/2} = 0.5 \pm \sqrt {0.25 - \varphi _1 ^2 } .$$

Reelle Lösungen gibt es nur für φ₁² ≤ 0.25. Das bedeutet:

$$\hspace{0.15cm}\underline {\varphi _{1,\max } = +0.5}, \quad \hspace{0.15cm}\underline {\varphi _{1,\min } = - 0.5}.$$

2. Mit φ₁ = –0.3 erhält man u₁ = 0.9 und u₂ = 0.1. Daraus ergeben sich folgende Parametersätze:

$$a_0 = \;\;\,\sqrt {0.9} = \;\;\, 0.949,\quad a_1 = - \sqrt {0.1} = - 0.316;$$

$$a_0 = - \sqrt {0.9} = - 0.949,\quad a_1 = \;\;\, \sqrt {0.1} = \;\;\, 0.316;$$

$$a_0 = \;\;\, \sqrt {0.1} = \;\;\, 0.316,\quad a_1 = - \sqrt {0.9} = - 0.949;$$

$$a_0 = - \sqrt {0.1} = - 0.316,\quad a_1 = \;\;\, \sqrt {0.9} = \;\;\, 0.949.$$

Nur der erste Parametersatz erfüllt die angegebene Nebenbedingung: a₀ = 0.949 und a₁ = –0.316.

3. Wird σ_x verdoppelt, so erhöhen sich alle AKF-Werte um den Faktor 4. Insbesondere gilt dann:

$$\varphi _y( {T_{\rm A} } ) = - 0.3 \cdot 4 \hspace{0.15cm}\underline{= - 1.2}.$$

4. Der Gleichanteil m_x = 1 am Eingang führt zu folgendem Gleichanteil im Ausgangssignal:

$$m_y = m_x \cdot ( {a_0 + a_1 } ) = 0.633.$$

Alle AKF-Werte werden deshalb gegenüber Punkt (c) um m_y² ≈ 0.4 vergrößert und man erhält:

$$\varphi _y( {T_{\rm A} } )\hspace{0.15cm}\underline{ \approx - 0.8}.$$