Aufgabe 1.2: Verzerrungen? Oder keine Verzerrung?
Die drei Nachrichtensysteme $S_1$, $S_2$ und $S_3$ werden hinsichtlich der durch sie verursachten Verzerrungen analysiert. Zu diesem Zwecke wird an den Eingang eines jeden Systems das cosinusförmige Testsignal $$q(t) = 2 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t )$$ angelegt. Die Signalfrequenz ist stets $f_N = 1 kHz$.
Gemessen werden die Signale am Ausgang der drei Systeme, die in der Grafik dargestellt sind: $$v_1(t) = 2 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t )\hspace{0.05cm}$$ $$v_2(t) = 1 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t)$$ $$ + 1 \;{\rm V} \cdot \sin(2 \pi f_{\rm N} t) \hspace{0.05cm},$$ $$v_3(t)= 1.5 \;{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm N} t)$$ $$- 0.3 \;{\rm V} \cdot \cos(6 \pi f_{\rm N} t)\hspace{0.05cm}.$$
Anzumerken ist, dass hier die in der Praxis stets vorhandenen Rauschanteile als vernachlässigbar klein angenommen werden.
Hinweis:Diese Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 1.2 des vorliegenden Buches und das Kapitel 2.2 von „Lineare zeitinvariante Systeme”. Bei nichtlinearen Verzerrungen ist das Sinken–$\text{SNR}$ $ρ_υ = 1/K^{ 2 }$, wobei der Klirrfaktor $K$ das Verhältnis der Effektivwerte aller Oberwellen und Grundfrequenz angibt.
Fragebogen
Musterlösung
2.Entsprechend den Ausführungen im Kapitel 2.3 von „Signaldarstellung” gelten folgende Gleichungen:
$$A \cdot \cos(\omega_{\rm N} t ) + B \cdot \sin(\omega_{\rm N} t ) = C \cdot \cos(\omega_{\rm N} t - \varphi)$$
$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} C = \sqrt{A^2 + B^2},\hspace{0.5cm}\varphi ={\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac {A}{B}\hspace{0.05cm}$$
Angewandt auf das vorliegende Beispiel erhält man
$$C = \sqrt{(1 \,{\rm V})^2 + (1 \,{\rm V})^2}= 1.414\,{\rm V}\hspace{0.05cm}$$
Der Dämpfungsfaktor des Systems hat somit den Wert $α = 1.414/2 = 0.707$. Für die Phase gilt:
$$ \varphi ={\rm arctan}\hspace{0.1cm}\frac {1 \,{\rm V}}{1 \,{\rm V}} = 45^{\circ} = \frac {\pi}{4}\hspace{0.05cm}.$$
Die Umformung $cos(ω_N · t – φ) = cos(ω_N · (t – τ))$ erlaubt Aussagen über die Laufzeit:
$$\tau =\frac {\varphi}{2\pi f_{\rm N}} = \frac {\pi /4}{2\pi f_{\rm N}} = \frac {1}{8 \cdot 1 \,{\rm kHz}} \hspace{0.15cm}\underline {= 125\,{\rm \mu s}}\hspace{0.05cm}.$$
3.Das System S2 ist nach den Ausführungen zur Teilaufgabe a) weder ideal noch nichtlinear verzerrend. Dagegen sind die Alternativen 2 und 3 möglich, je nachdem, ob die berechneten Werte von $α$ und $τ$ für alle Frequenzen erhalten bleiben oder nicht. Mit einer einzigen Messung bei nur einer Frequenz kann diese Frage nicht geklärt werden.
4.Das Signal $υ_3(t)$ beinhaltet eine Oberwelle dritter Ordnung. Deshalb ist die Verzerrung nichtlinear.
5.Mit den Amplituden $A_1 = 1.5 V$ und $A_3 = –0.3 V$ erhält man für den Klirrfaktor:
$$ K_3 =\frac {|A_3|}{|A_1|} = 0.2\hspace{0.05cm}.$$
Deshalb beträgt das Sinken–$\text{SNR}$ entsprechend der angegebenen Gleichung $ρ_{υ3} = 1/K3^{ 2 } = 25$. Zum gleichen Ergebnis kommt man nach der allgemeinen Berechnung. Aus den Amplituden von Quellensignal und Grundwelle des Sinkensignals erhält man für den frequenzunabhängigen Dämpfungsfaktor:
$$ \alpha =\frac {1.5 \,{\rm V}}{2 \,{\rm V}} = 0.75\hspace{0.05cm}.$$
Das von den nichtlinearen Verzerrungen herrührende Fehlersignal lautet deshalb:
$$\varepsilon_3(t) = v_3(t) - \alpha \cdot q(t) = - 0.3 \,{\rm V} \cdot \cos(6 \pi f_{\rm N} t)\hspace{0.05cm}.$$
Damit ergibt sich die Verzerrungsleistung:
$$P_{\varepsilon 3}= \frac{1}{2} \cdot (0.3 \,{\rm V})^2 = 0.045 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm}.$$
Mit der Leistung des Quellensignals,
$$P_{q}= \frac{1}{2} \cdot (2\,{\rm V})^2 = 2 \,{\rm V}^2\hspace{0.05cm},$$
erhält man unter Berücksichtigung des Dämpfungsfaktors:
$$\rho_{v3} = \frac{\alpha^2 \cdot P_{q}}{P_{\varepsilon 3}} = \frac{0.75^2 \cdot 2 {\rm V}^2}{0.045 } \hspace{0.15cm}\underline {= 25}\hspace{0.05cm}.$$
