Grundlagen der codierten Übertragung

Inhaltsverzeichnis

1 Informationsgehalt – Entropie – Redundanz (1)
2 Informationsgehalt – Entropie – Redundanz (2)
3 Quellen–, Kanal– und Übertragungscodierung
4 Systemmodell und Beschreibungsgrößen
5 AKF–Berechnung eines Digitalsignals (1)

Informationsgehalt – Entropie – Redundanz (1)

Wir gehen von einer M–stufigen digitalen Nachrichtenquelle aus, die das Quellensignal

\(q(t) = \sum_{(\nu)} a_\nu \cdot {\rm \delta} ( t - \nu \cdot T)\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}a_\nu \in \{ a_1, ... , a_\mu , ... , a_{ M}\}\)

abgibt. Die Quellensymbolfolge 〈q_ν〉 ist auf die Folge 〈a_ν〉 der dimensionslosen Amplitudenkoeffizienten abgebildet. Vereinfachend wird zunächst für die Zeitlaufvariable ν = 1, ... , N gesetzt, während der Vorratsindex μ stets Werte zwischen 1 und M annehmen kann.

Ist das ν–te Folgenelement gleich a_μ, so kann dessen Informationsgehalt mit der Wahrscheinlichkeit p_νμ = Pr(a_ν = a_μ) wie folgt berechnet werden: \[I_\nu = \log_2 \frac{1}{p_{\nu \mu}}= {\rm ld} \frac{1}{p_{\nu \mu}} \hspace{1cm}{\rm (Einheit: \hspace{0.15cm}bit)}\hspace{0.05cm}.\]
Der Logarithmus zur Basis 2 ⇒ log₂ wird oft auch mit „ld(x)” ⇒ Logarithmus dualis bezeichnet. Bei der numerischen Auswertung wird die Hinweiseinheit „bit” hinzugefügt. Mit dem Zehner-Logarithmus lg(x) bzw. dem natürlichen Logarithmus ln(x) gilt: \[{\rm log_2}(x) = \frac{{\rm lg}(x)}{{\rm lg}(2)}= \frac{{\rm ln}(x)}{{\rm ln}(2)}\hspace{0.05cm}.\]
Nach dieser auf C. E. Shannon zurückgehenden Definition von Information ist der Informationsgehalt eines Symbols umso größer, je kleiner dessen Auftrittswahrscheinlichkeit ist.

: Die Entropie ist der mittlere Informationsgehalt eines Folgenelements (Symbols). Diese wichtige informationstheoretische Größe lässt sich als Zeitmittelwert wie folgt ermitteln:

\[H = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 1}^N I_\nu = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \cdot \sum_{\nu = 1}^N \hspace{0.1cm}{\rm log_2}\hspace{0.05cm} \frac{1}{p_{\nu \mu}} \hspace{1cm}{\rm (Einheit: \hspace{0.15cm}bit)}\hspace{0.05cm}.\]
Natürlich kann die Entropie auch durch Scharmittelung berechnet werden.

Sind die Folgenelemente a_ν statistisch voneinander unabhängig, so sind die Auftrittswahrscheinlichkeiten p_νμ = p_μ unabhängig von ν und man erhält in diesem Sonderfall für die Entropie: \[H = \sum_{\mu = 1}^M p_{ \mu} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm} \frac{1}{p_{ \mu}}\hspace{0.05cm}.\]
Bestehen dagegen statistische Bindungen zwischen benachbarten Amplitudenkoeffizienten a_ν, so muss zur Entropieberechnung die kompliziertere Definitionsgleichung herangezogen werden.

Informationsgehalt – Entropie – Redundanz (2)

Der Maximalwert der Entropie ergibt sich immer dann, wenn die M Auftrittswahrscheinlichkeiten (der statistisch unabhängigen Symbole) alle gleich sind (p_μ = 1/M):

\(H_{\rm max} = \sum_{\mu = 1}^M \hspace{0.1cm}\frac{1}{M} \cdot {\rm log_2} (M) = {\rm log_2} (M) \cdot \sum_{\mu = 1}^M \hspace{0.1cm} \frac{1}{M} = {\rm log_2} (M) \hspace{1cm}{\rm (Einheit: \hspace{0.15cm}bit)}\hspace{0.05cm}.\)

Man bezeichnet H_max als den Entscheidungsgehalt (bzw. als Nachrichtengehalt) und den Quotienten

\(r = \frac{H_{\rm max}-H}{H_{\rm max}}\)

als dierelative Redundanz. Da stets 0 ≤ H ≤ H_max gilt, kann die relative Redundanz Werte zwischen 0 und 1 (einschließlich dieser Grenzwerte) annehmen.

Aus der Herleitung dieser Beschreibungsgrößen ist offensichtlich, dass ein redundanzfreies Digitalsignal (r = 0) folgende Eigenschaften erfüllen muss:

Die Amplitudenkoeffizienten a_ν sind statistisch unabhängig; Pr(a_ν = a_μ) ist für alle ν identisch.
Die M möglichen Koeffizienten a_μ treten mit gleicher Wahrscheinlichkeit p_μ = 1/M auf.

: Analysiert man einen zur Übertragung anstehenden deutschen Text auf der Basis von M = 32 Zeichen (a, ... , z, ä, ö, ü, ß, Leerzeichen, Interpunktion, keine Unterscheidung zwischen Groß– und Kleinschreibung), so ergibt sich der Entscheidungsgehalt H_max = 5 bit/Symbol. Aufgrund

der unterschiedlichen Häufigkeiten (beispielsweise tritt „e” deutlich häufiger auf als „u”) und
von statistischen Bindungen (zum Beispiel folgt auf „q” der Buchstabe „u” viel öfters als „e”)

beträgt nach Karl Küpfmüller die Entropie der deutschen Sprache nur H = 1.3 bit/Zeichen. Daraus ergibt sich die relative Redundanz zu r ≈ (5 – 1.3)/5 = 74%. Für englische Texte wurde von Claude E. Shannon die Entropie mit H = 1 bit/Zeichen angegeben (r = 80%).

Quellen–, Kanal– und Übertragungscodierung

Unter Codierung versteht man die Umsetzung der Quellensymbolfolge 〈q_ν〉 mit Symbolumfang M_q in eine Codesymbolfolge 〈c_ν〉 mit dem Symbolumfang M_c. Meist wird durch die Codierung die in einem Digitalsignal enthaltene Redundanz manipuliert. Oft – aber nicht immer – sind M_q und M_c verschieden.
Man unterscheidet je nach Zielrichtung zwischen verschiedenen Arten von Codierung:

Die Aufgabe der Quellencodierung ist die Redundanzreduktion zur Datenkomprimierung, wie sie beispielsweise in der Bildcodierung Anwendung findet. Durch Ausnutzung statistischer Bindungen zwischen den einzelnen Punkten eines Bildes bzw. zwischen den Helligkeitswerten eines Punktes zu verschiedenen Zeiten (bei Bewegtbildsequenzen) können Verfahren entwickelt werden, die bei nahezu gleicher Bildqualität zu einer merklichen Verminderung der Datenmenge (gemessen in bit oder byte) führen. Ein einfaches Beispiel hierfür ist die differentielle Pulscodemodulation (DPCM).
Bei der Kanalcodierung erzielt man demgegenüber dadurch eine merkliche Verbesserung des Übertragungsverhaltens, dass eine beim Sender gezielt hinzugefügte Redundanz empfangsseitig zur Erkennung und Korrektur von Übertragungsfehlern genutzt wird. Solche Codes, deren wichtigste Vertreter Block–, Faltungs– und Turbo-Codes sind, haben besonders bei stark gestörten Kanälen eine große Bedeutung. Je größer die relative Redundanz des codierten Signals ist, desto besser sind die Korrektureigenschaften des Codes, allerdings bei verringerter Nutzdatenrate.
Eine Übertragungscodierung – häufig auch als Leitungscodierung bezeichnet – verwendet man, um das Sendesignal durch eine Umcodierung der Quellensymbole an die spektralen Eigenschaften von Übertragungskanal und Empfangseinrichtungen anzupassen. Beispielsweise muss bei einem Kanal mit der Frequenzgangseigenschaft H_K(f = 0) = 0, über den kein Gleichsignal übertragen werden kann, durch Übertragungscodierung sichergestellt werden, dass die Codesymbolfolge weder eine lange L– noch eine lange H–Folge beinhaltet.

Im vorliegenden Buch „Digitalsignalübertragung” beschäftigen wir uns ausschließlich mit diesem letzten, übertragungstechnischen Aspekt. Der Kanalcodierung ist in LNTwww ein eigenes Buch gewidmet (siehe Bücherregalseite), während die Quellencodierung im Buch „Informationstheorie” ausführlich behandelt wird. Auch die Sprachcodierung im Kapitel 3.3 des Buches „Beispiele von Nachrichtensystemen” stellt eine spezielle Form der Quellencodierung dar.

Systemmodell und Beschreibungsgrößen

Im weiteren Verlauf des zweiten Kapitels wird von folgendem Blockschaltbild ausgegangen.

Zusätzlich gelten folgende Vereinbarungen:

Das digitale Quellensignal q(t) sei binär (M_q = 2) und redundanzfrei (H_q = 1 bit/Symbol). Mit der Symboldauer T_q ergibt sich für die Symbolrate der Quelle:

\[R_q = {H_{q}}/{T_q}= {1}/{T_q}\hspace{1cm}{\rm (Einheit: \hspace{0.15cm}bit/s)}\hspace{0.05cm}.\]

Wegen M_q = 2 bezeichnen wir im Folgenden T_q auch als die Bitdauer und R_q als die Bitrate. Für den Vergleich von Übertragungssystemen mit unterschiedlicher Codierung werden T_q und R_q (in späteren Kapiteln verwenden wir hierfür T_B und R_B) stets als konstant angenommen.
Das Codersignal c(t) und auch das Sendesignal s(t) nach der Impulsformung mit g_s(t) besitzen die Stufenzahl M_c, die Symboldauer T_c und die Symbolrate 1/T_c. Die äquivalente Bitrate beträgt

\[R_c = {{\rm log_2} (M_c)}/{T_c} \hspace{0.05cm}.\]

Es gilt stets R_c ≥ R_q, wobei das Gleichheitszeichen nur bei den redundanzfreien Codes (r_c = 0) gültig ist. Andernfalls erhält man für die relative Coderedundanz:

\[r_c =({R_c - R_q})/{R_c} = 1 - R_q/{R_c} \hspace{0.05cm}.\]

Hinweis zur Nomenklatur: Die äquivalente Bitrate R_c des Codersignals hat ebenso wie die Bitrate R_q der Quelle die Einheit „bit/s”. Insbesondere in der Literatur zur Kanalcodierung wird dagegen mit R_c häufig die dimensionslose Coderate 1 – r_c bezeichnet. R_c = 1 gibt dann einen redundanzfreien Code an, während R_c = 1/3 einen Code mit der Redundanz r_c = 2/3 kennzeichnet.

: Bei den so genannten 4B3T–Codes werden jeweils vier Binärsymbole (m_q = 4, M_q = 2) durch drei Ternärsymbole (m_c = 3, M_c = 3) dargestellt. Wegen 4 · T_q = 3 · T_c gilt:

\[R_q = {1}/{T_q}, \hspace{-0.05cm}R_c = {{\rm log_2} (3)} \hspace{-0.05cm}/{T_c} = {3/4 \cdot {\rm log_2} (3)} \hspace{-0.05cm}/{T_q}\hspace{0.1cm}\Rightarrow \hspace{0.1cm}r_c =3/4\cdot {\rm log_2} (3) \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1 \approx 15.9\, \% \hspace{0.05cm}.\]

Genauere Informationen zu den 4B3T-Codes finden Sie im Kapitel 2.3.

AKF–Berechnung eines Digitalsignals (1)

Zur Vereinfachung der Schreibweise wird im Folgenden M_c = M und T_c = T gesetzt. Damit kann für das Sendesignal bei einer zeitlich unbegrenzten Nachrichtenfolge geschrieben werden: \[s(t) = \sum_{\nu = -\infty}^{+\infty} a_\nu \cdot g_s ( t - \nu \cdot T) \hspace{0.05cm}.\]
Diese Signaldarstellung beinhaltet sowohl die Quellenstatistik (Amplitudenkoeffizienten a_ν) als auch die Sendeimpulsform g_s(t). Die Grafik zeigt zwei binäre bipolare Sendesignale s_G(t) und s_R(t) mit gleichen Amplitudenkoeffizienten a_ν, die sich lediglich durch den Sendegrundimpuls g_s(t) unterscheiden.

Man erkennt aus dieser Darstellung, dass ein Digitalsignal im Allgemeinen nichtstationär ist:

Beim Sendesignal s_G(t) mit schmalen Gaußimpulsen ist die Nichtstationarität offensichtlich, da zum Beispiel bei Vielfachen von T die Varianz σ_s² = s₀² ist, während dazwischen σ_s² ≈ 0 gilt.
Auch das Signal s_R(t) mit NRZ–rechteckförmigen Impulsen ist im strengen Sinne nichtstationär, da sich hier die Momente an den Bitgrenzen gegenüber allen anderen Zeitpunkten unterscheiden.
Einen Zufallsprozess, dessen Momente m_k(t) = m_k(t + ν · T) sich periodisch mit T wiederholen, bezeichnet man als zyklostationär; k und ν besitzen hierbei ganzzahlige Zahlenwerte.

Viele der für ergodische Prozesse gültigen Regeln kann man mit nur geringen Einschränkungen auch auf zykloergodische (und damit ebenfalls auf zyklostationäre) Prozesse anwenden. Insbesondere gilt für die Autokorrelationsfunktion (AKF) solcher Zufallsprozesse mit Mustersignal s(t): \[\varphi_s(\tau) = {\rm E}[s(t) \cdot s(t + \tau)] \hspace{0.05cm}.\]
Mit obiger Gleichung des Sendesignals kann die AKF als Zeitmittelwert wie folgt geschrieben werden: \[\varphi_s(\tau) = \sum_{\lambda = -\infty}^{+\infty}\frac{1}{T} \cdot \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N +1} \cdot \sum_{\nu = -N}^{+N} a_\nu \cdot a_{\nu + \lambda} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} g_s ( t ) \cdot g_s ( t + \tau - \lambda \cdot T)\,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.\]

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