Aufgabe 2.8: Huffman-Anwendung bei einer Markovquelle

Binäre symmetrische Markovquelle

Wir betrachten die binäre symmetrische Markovquelle entsprechend der Grafik, die durch den einzigen Parameter

$$q = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y})$$

vollständig beschrieben wird.

Die angegebenen Quellensymbolfolgen gelten für die bedingten Wahrscheinlichkeiten $q = 0.2$ bzw. $q = 0.8$.
In der Teilaufgabe (1) ist zu klären, welche Symbolfolge – die rote oder die blaue – mit $q = 0.2$ und welche mit $q = 0.8$ generiert wurde.

Die Eigenschaften von Markovquellen werden im Kapitel Nachrichtenquellen mit Gedächtnis ausführlich beschrieben. Aufgrund der hier vorausgesetzten Symmetrie bezüglich der Binärsymbole $\rm X$ und $\rm Y$ ergeben sich einige gravierende Vereinfachungen, wie in der Aufgabe 1.5Z hergeleitet wird:

Die Symbole $\rm X$ und $\rm Y$ sind gleichwahrscheinlich, das heißt, es gilt $p_{\rm X} = p_{\rm Y} = 0.5$.
Damit lautet die erste Entropienäherung: $H_1 = 1\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}. $
Die Entropie der Markovquelle ergibt sich sowohl für $q = 0.2$ als auch für $q = 0.8$ zu

$$H = q \cdot {\rm log_2}\hspace{0.15cm}\frac{1}{q} + (1-q) \cdot {\rm log_2}\hspace{0.15cm}\frac{1}{1-q} = 0.722\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}.$$

Bei Markovquellen sind alle Entropienäherungen $H_k$ mit Ordnung $k \ge 2$ durch $H_1$ und $H = H_{k \to \infty}$ bestimmt:

$$H_k = {1}/{k}\cdot \big [ H_1 + H \big ] \hspace{0.05cm}.$$

Die folgenden Zahlenwerte gelten wieder für $q = 0.2$ und $q = 0.8$ gleichermaßen:

$$H_2 = {1}/{2}\cdot \big [ H_1 + H \big ] = 0.861\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm},$$

$$H_3 = {1}/{3} \cdot \big [ H_1 + 2H \big ] = 0.815\,\,{\rm bit/Quellensymbol}\hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe soll der Huffman–Algorithmus auf $k$–Tupel angewandt werden, wobei wir uns auf $k = 2$ und $k = 3$ beschränken.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Entropiecodierung nach Huffman.
Insbesondere wird auf die Seite Anwendung der Huffman-Codierung auf k-Tupel Bezug genommen.
Nützliche Informationen finden Sie auch in den Angabenblättern zu Aufgabe 2.7 und Aufgabe 2.7Z.
Zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse verweisen wir auf das folgende Interaktionsmodul: Huffman- und Shannon-Fano-Codierung ⇒ $\text{SWF}$–Version.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

Bei der blauen Quellensymbolfolge 2 erkennt man sehr viel weniger Symbolwechsel als in der roten Folge.
Die Symbolfolge 2 wurde mit dem Parameter $q = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y}) = 0.8$ erzeugt und die rote Symbolfolge 1 mit $q = 0.2$.

(2) Richtig sind die Antworten 2 und 3.:

Da hier die Quellensymbole $\rm X$ und $\rm Y$ als gleichwahrscheinlich angenommen wurden, macht die direkte Anwendung von Huffman keinen Sinn.
Dagegen kann man die inneren statistischen Bindungen der Markovquelle zur Datenkomprimierung nutzen, wenn man $k$–Tupel bildet $(k ≥ 2)$.
Je größer $k$ ist, desto mehr nähert sich die mittlere Codewortlänge $L_{\rm M}$ der Entropie $H$.

(3) Die Symbolwahrscheinlichkeiten sind $p_{\rm X} = p_{\rm Y} = 0.5$. Damit erhält man für die Zweiertupel:

$$p_{\rm A} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XX}) = p_{\rm X} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = 0.5 \cdot q = 0.5 \cdot 0.8 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.4} \hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm B} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XY}) = p_{\rm X} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm X}) = 0.5 \cdot (1-q)= 0.5 \cdot 0.2 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.1} \hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm C} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YX}) = p_{\rm Y} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm X}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y}) = 0.5 \cdot (1-q)= 0.5 \cdot 0.2 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.1} \hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm D} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YY}) = p_{\rm Y} \cdot {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm Y}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\boldsymbol{\rm Y}) = 0.5 \cdot q = 0.5 \cdot 0.8\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.4} \hspace{0.05cm}.$$

Zur Huffman–Codierung für $k = 2$

(4) Nebenstehender Bildschirmabzug des (früheren) SWF–Programms Shannon–Fano– und Huffman–Codierung zeigt die Konstruktion des Huffman–Codes für $k = 2$ mit den soeben berechneten Wahrscheinlichkeiten.

Damit gilt für die mittlere Codewortlänge:

$$L_{\rm M}\hspace{0.01cm}' = 0.4 \cdot 1 + 0.4 \cdot 2 + (0.1 + 0.1) \cdot 3 = 1.8\,\,{\rm bit/Zweiertupel}$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}L_{\rm M} = {L_{\rm M}\hspace{0.01cm}'}/{2}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.9\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}.$$

(5) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

Nach dem Quellencodierungstheorem gilt $L_{\rm M} ≥ H$.
Wendet man aber Huffman–Codierung an und lässt dabei Bindungen zwischen nicht benachbarten Symbolen außer Betracht $(k = 2)$, so gilt als unterste Grenze der Codewortlänge nicht $H = 0.722$, sondern $H_2 = 0.861$ (auf den Zusatz bit/Quellensymbol wird für den Rest der Aufgabe verzichtet).
Das Ergebnis der Teilaufgabe (4) war $L_{\rm M} = 0.9.$
Würde eine unsymmetrische Markovkette vorliegen und zwar derart, dass sich für die Wahrscheinlichkeiten $p_{\rm A}$, ... , $p_{\rm D}$ die Werte $50\%$, $25\%$ und zweimal $12.5\%$ ergeben würden, so käme man auf die mittlere Codewortlänge $L_{\rm M} = 0.875$.
Wie die genauen Parameter dieser unsymmetrischen Markovquelle aussehen, weiß aber auch der Aufgabensteller (G. Söder) nicht.
Auch nicht, wie sich der Wert $0.875$ auf $0.861$ senken ließe. Der Huffman–Algorithmus ist hierfür jedenfalls ungeeignet.

(6) Mit $q = 0.8$ und $1 - q = 0.2$ erhält man:

$$p_{\rm A} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XXX}) = 0.5 \cdot q^2 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.32} = p_{\rm H} = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YYY})\hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm B} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XXY}) = 0.5 \cdot q \cdot (1-q) \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.08}= p_{\rm G} = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YYX}) \hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm C} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XYX}) = 0.5 \cdot (1-q)^2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.02} = p_{\rm F}= {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YXY}) \hspace{0.05cm},$$

$$p_{\rm D} \hspace{0.2cm} = \hspace{0.2cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm XYY}) = 0.5 \cdot (1-q) \cdot q \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.08} = p_{\rm E} = {\rm Pr}(\boldsymbol{\rm YXX})\hspace{0.05cm}.$$

Zur Huffman–Codierung für $k = 3$

(7) Der Bildschirmabzug des des (früheren) SWF–Programms Shannon–Fano– und Huffman–Codierung verdeutlicht die Konstellation des Huffman–Codes für $k = 3$.

Damit erhält man für die mittlere Codewortlänge:

$$L_{\rm M}\hspace{0.01cm}' = 0.64 \cdot 2 + 0.24 \cdot 3 + 0.04 \cdot 5 = 2.52\,\,{\rm bit/Dreiertupel}$$

$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}L_{\rm M} = {L_{\rm M}\hspace{0.01cm}'}/{3}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.84\,{\rm bit/Quellensymbol}}\hspace{0.05cm}.$$

Man erkennt die Verbesserung gegenüber der Teilaufgabe (4).
Die für $k = 2$ gültige Schranke $H_2 = 0.861$ wird nun von der mittleren Codewortlänge $L_{\rm M}$ unterschritten.
Die neue Schranke für $k = 3$ ist $H_3 = 0.815$.
Um die Quellenentropie $H = 0.722$ zu erreichen (besser gesagt: diesem Endwert bis auf ein $ε$ nahe zu kommen), müsste man allerdings unendlich lange Tupel bilden $(k → ∞)$.

	$L_{\rm M} \ge H_1 = 1.000$ bit/Quellensymbol,
	$L_{\rm M} \ge H_2 \approx 0.861$ bit/Quellensymbol,
	$L_{\rm M} \ge H_3 \approx 0.815$ bit/Quellensymbol,
	$L_{\rm M} \ge H_{k \to \infty} \approx 0.722$ bit/Quellensymbol,
	$L_{\rm M} \ge 0.5$ bit/Quellensymbol.

	die rote Quellensymbolfolge 1,
	die blaue Quellensymbolfolge 2.

	Auch die direkte Anwendung von Huffman ist hier sinnvoll.
	Huffman macht bei Bildung von Zweiertupeln $(k = 2)$ Sinn.
	Huffman macht bei Bildung von Dreiertupeln $(k = 3)$ Sinn.