Betrachtet wird ein Auslöschungskanal mit
- den $M$ Eingängen $x ∈ X = \{1,\ 2, \ \text{...} \ ,\ M\}$, und
- den $M + 1$ Ausgängen $y ∈ Y = \{1,\ 2,\ \ \text{...} \ ,\ M,\ \text{E}\}.$
Die Grafik zeigt das Modell für den Sonderfall $M = 4$. Das Sinkensymbol $y = \text{E}$ berücksichtigt eine „Auslöschung” (englisch: "Erasure") für den Fall, dass der Empfänger keine hinreichend gesicherte Entscheidung treffen kann.
Die Übergangswahrscheinlichkeiten sind für $1 ≤ μ ≤ M$ wie folgt gegeben:
- $${\rm Pr}(Y \hspace{-0.05cm} = \mu\hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X \hspace{-0.05cm}= \mu) = 1-\lambda \hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Pr}(Y \hspace{-0.05cm} = {\rm E}\hspace{-0.05cm}\mid \hspace{-0.05cm} X \hspace{-0.05cm}= \mu) = \lambda \hspace{0.05cm}.$$
Gesucht werden:
- die Kapazität $C_{M\rm –EC}$ dieses "M–ary Erasure Channels",
- die Kapazität $C_{\rm BEC}$ des Binary Erasure Channels $\rm (BEC)$ als Sonderfall des obigen Modells.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Anwendung auf die Digitalsignalübertragung.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Informationstheoretisches Modell der Digitalsignalübertragung.
- Im obigen Schaubild sind Auslöschungen $($mit Wahrscheinlichkeit $λ)$ blau gezeichnet.
- „Richtige Übertragungswege” $($also von $X = μ$ nach $Y = μ)$ sind rot dargestellt $(1 ≤ μ ≤ M)$.
Fragebogen
Musterlösung
- Aufgrund der Symmetrie der Übergangswahrscheinlichkeiten $P_{Y|X}(Y|X)$ ist offensichtlich, dass eine Gleichverteilung zur maximalen Transinformation $I(X; Y)$ und damit zur Kanalkapazität $C$ führen wird:
- $$ P_X(X) = P_X\big ( \hspace{0.03cm}X\hspace{-0.03cm}=1\hspace{0.03cm}, \hspace{0.08cm} X\hspace{-0.03cm}=2\hspace{0.03cm},\hspace{0.08cm}\text{...}\hspace{0.08cm}, X\hspace{-0.03cm}=M\hspace{0.03cm}\big ) = \big [\hspace{0.03cm}1/M\hspace{0.03cm}, \hspace{0.08cm} 1/M\hspace{0.03cm},\hspace{0.03cm}\text{...}\hspace{0.08cm},\hspace{0.08cm} 1/M\hspace{0.03cm}\big ]\hspace{0.05cm}.$$
- Im Sonderfall $M = 2$ wäre auch $P_X(X) = (0.5, \ 0.5)$ richtig.
(2) Zutreffend ist der Lösungsvorschlag 3, also genau $2M$ Verbindungen. Da:
- Von jedem Quellensymbol $X = μ$ kommt man sowohl zum Sinkensymbol $Y = μ$ als auch zum Erasure $Y = \text{E}$.
(3) Alle Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(Y = 1), \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} , \hspace{0.08cm}{\rm Pr}(Y = M)$ sind gleich groß. Damit erhält man für $μ = 1, \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm} , \hspace{0.08cm} M$:
- $${\rm Pr}(Y \hspace{-0.05cm} = \mu) = ( 1-\lambda)/M \hspace{0.05cm}.$$
- Außerdem kommt man von jedem Quellensymbol $X = 1, \hspace{0.05cm} \text{...}\hspace{0.05cm} , X = M$ auch zum Erasure $Y = \text{E}$:
- $${\rm Pr}(Y \hspace{-0.05cm} = {\rm E}) = \lambda \hspace{0.05cm}.$$
- Die Kontrolle ergibt, dass die Summe aller $M + 1$ Sinkensymbolwahrscheinlichkeiten tatsächlich $1$ ergibt.
- Daraus folgt für die Sinkenentropie:
- $$H(Y) = M \cdot \frac{ 1-\lambda }{M} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{M}{1 - \lambda} \hspace{0.15cm}+\hspace{0.15cm} \lambda \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{\lambda} \hspace{0.05cm}.$$
- Zusammengefasst ergibt dies mit der binären Entropiefunktion:
- $$H(Y) = (1-\lambda) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} M \hspace{0.15cm}+\hspace{0.15cm} H_{\rm bin} (\lambda ) \hspace{0.05cm}$$
- und mit $M = 4$ sowie $ λ = 0.2$:
- $$H(Y) = 1.6 \,{\rm bit} + H_{\rm bin} (0.2 ) \hspace{0.15cm} \underline {=2.322\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Die $2M$ Verbundwahrscheinlichkeiten
- $${\rm Pr} \big[(X = μ) ∩ (Y = κ)\big] ≠ 0$$
- und die bedingten Wahrscheinlichkeiten
- $$pκ|μ = {\rm Pr}(Y = κ|X = μ)$$
- zeigen folgende Eigenschaften:
- Die Kombination $p_{μκ} = (1 – λ)/M$ und $p_{κ|μ} = 1 – λ$ kommt $M$ mal vor.
- Die Kombination $p_{μκ} = λ/M$ und $p_{κ|μ} = λ$ kommt ebenfalls $M$ mal vor.
Daraus folgt:
- $$ H(Y \hspace{-0.15cm}\mid \hspace{-0.15cm} X) \hspace{-0.01cm} =\hspace{-0.01cm} M \cdot \frac{ 1-\lambda }{M} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1 - \lambda} \hspace{0.15cm}+\hspace{0.15cm}M \cdot \frac{ \lambda }{M} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{ \lambda} = ( 1-\lambda) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{1 - \lambda} \hspace{0.15cm}+\hspace{0.15cm} \lambda \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{ \lambda} = H_{\rm bin} (\lambda)\hspace{0.05cm}.$$
- Das Ergebnis ist unabhängig von $M$. Mit $λ = 0.2$ erhält man:
- $$H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = H_{\rm bin} (0.2 ) \hspace{0.15cm} \underline {=0.722\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
(5) Die Kanalkapazität $C$ ist gleich der maximalen Transinformation $I(X; Y)$, wobei die Maximierung hinsichtlich $P_X(X)$ bereits durch den symmetrischen Ansatz berücksichtigt wurde:
- $$ C = \max_{P_X(X)} \hspace{0.15cm} I(X;Y) = H(Y) - H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.1cm} X) = ( 1-\lambda) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} M + H_{\rm bin} (\lambda) - H_{\rm bin} (\lambda) = ( 1-\lambda) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} M \hspace{0.05cm}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} M = 4\text{:} \hspace{0.3cm} \underline {C=1.6\,\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm} M = 2\text{:} \hspace{0.3cm} \underline {C=0.8\,\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$
(6) Der "Binary Erasure Channel" $\rm (BEC)$ ist ein Sonderfall des hier betrachteten allgemeinen Modells mit $M = 2$:
- $$C_{\rm BEC} = 1-\lambda \hspace{0.05cm}.$$
- Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 1.
- Der zweite Lösungsvorschlag gilt dagegen für den "Binary Symmetric Channel" $\rm (BSC)$ mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $λ$.
