Aufgabe 2.07Z: Reed–Solomon–Code (15, 5, 11) zur Basis 16

$\rm GF(2^4)$ in Potenzen–, Polynom- und Koeffizientendarstellung

Die vorliegende Aufgabenstellung ist ähnlich wie diejenige bei der "Aufgabe 2.7". Wir beziehen uns hier aber nun auf das Galoisfeld $\rm GF(2^4)$, dessen Elemente nebenstehend sowohl in Potenzen– und Polynomdarstellung als auch durch den Koeffizientenvektor angegeben sind. Weiter gilt in $\rm GF(2^4)$:

$$\alpha^{16} = \alpha^{1}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \alpha^{17} = \alpha^{2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \alpha^{18} = \alpha^{3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...} $$

Zur Codierung des Informationsblockes der Länge $k = 5$,

$$\underline{u} = (u_0,\ u_1,\ u_2,\ u_3,\ u_4)\hspace{0.05cm},$$

bilden wir das Polynom

$$u(x) = u_0 + u_1 \cdot x + u_2 \cdot x^2 + u_3 \cdot x^3 + u_4 \cdot x^4 $$

mit $u_0, \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.1cm} , u_4 ∈ \rm GF(2^4)$.

Die $n = 15$ Codeworte ergeben sich dann, wenn man in $u(x)$ die Elemente von $\rm GF(2^4) \ \backslash \ \{0\}$ einsetzt:

$$c_0 = u(\alpha^{0})\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} c_1 = u(\alpha^{1})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} c_2 = u(\alpha^{2})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} ... \hspace{0.15cm},\hspace{0.20cm} c_{14} = u(\alpha^{14})\hspace{0.05cm}.$$

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel "Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes".

Fragebogen

Musterlösung

(1) Aus $n = 15$ und $k = 5$ folgt:

$$d_{\rm min} = n - k +1 = 15 - 5 + 1 = 11 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} t = \frac{d_{\rm min}-1}{2}\hspace{0.15cm}\underline {=5}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Allgemein gilt für das gesuchte Polynom $u(x)$ mit $k = 5$:

$$u(x) = \sum_{i = 0}^{k-1} u_i \cdot x^{i}= u_0 + u_1 \cdot x + u_2 \cdot x^2 + u_3 \cdot x^3 + u_4 \cdot x^4 \hspace{0.05cm}.$$

Für $u_0 = \alpha^3, \ u_1 = u_2 = 0, \ u_3 = 1$ und $u_4 = \alpha^{10}$ erweist sich der Lösungsvorschlag 2 als richtig.

(3) Es gilt $c_0 = u(\alpha^0) = u(1)$:

$$c_0 = \alpha^{3} + 1 \cdot 1^3 + \alpha^{10} \cdot 1^{4} = (1000) + (0001) + (0111) = (1110)= \alpha^{11} \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 3.

(4) Aus $c_1 = u(\alpha)$ erhält man den Lösungsvorschlag 4:

$$c_1 = u(\alpha^{1}) =\alpha^{3} +1 \cdot \alpha^{3} + \alpha^{10} \cdot \alpha^{4} = \alpha^{14} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Für das vorletzte Symbol gilt $c_{13} = u(\alpha^{13})$:

$$c_{13} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u(\alpha^{13}) =\alpha^{3} + 1 \cdot \alpha^{13 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}3} + \alpha^{10} \cdot \alpha^{13 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}4} = \alpha^{3} + \alpha^{39}+ \alpha^{62} =\alpha^{3} + \alpha^{15 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2} \cdot \alpha^{9}+ \alpha^{15 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}4} \cdot \alpha^{2} = \alpha^{3} + \alpha^{9} + \alpha^{2}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}c_{13} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (1000) + (1010) + (0100) = (0110) = \alpha^{5} \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 2.

(6) Das letzte Codesymbol ist $c_{14} = u(\alpha^{14})$:

$$c_{14} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u(\alpha^{14}) =\alpha^{3} + 1 \cdot \alpha^{14 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}3} + \alpha^{10} \cdot \alpha^{14 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}4} = \alpha^{3} + \alpha^{42}+ \alpha^{66} =\alpha^{3} + \alpha^{15 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2} \cdot \alpha^{12}+ \alpha^{15 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}4} \cdot \alpha^{6} = \alpha^{3} + \alpha^{12} + \alpha^{6} =$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}c_{14} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}(1000) + (1111) + (1100) = (1011) = \alpha^{7} \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 3.

(7) Das Codesymbol "$0$" tritt genau so oft auf wie alle anderen Symbole "$\alpha^i$" ⇒ Lösungsvorschlag 3.

	$c_0 = 1$,
	$c_0 = \alpha^5$,
	$c_0 = \alpha^{11}$,
	$c_0 = \alpha^{14}$.

	$c_1 = 1$,
	$c_1 = \alpha^5$,
	$c_1 = \alpha^{11}$,
	$c_1 = \alpha^{14}$.

	$c_{13} = 1$,
	$c_{13} = \alpha^5$,
	$c_{13} = \alpha^{11}$,
	$c_{13} = \alpha^{14}$.

	$c_{15} = 1$,
	$c_{14} = 1$,
	$c_{14} = \alpha^7$,
	$c_{14} = \alpha^{14}$.

	$u(x) = \alpha^3 + x + \alpha^{10} \cdot x^2$,
	$u(x) = \alpha^3 + x^3 + \alpha^{10} \cdot x^4$,
	$u(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4$.

	Das Codesymbol "$0$" ist beim $\rm RSC \, (15, \, 5, \, 11)_{16}$ nicht möglich.
	Ein Codesymbol "$0$" ergibt sich nur für $\underline{u} = (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$.
	Auch für $\underline{u} ≠ (0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$ kann es Codesymbole "$0$" geben.