Aufgabe 2.3: Noch ein weiterer Mehrwegekanal
Wir betrachten einen Mehrwegekanal, der durch folgende Impulsantwort charakterisiert wird:
- $$h(\tau, \hspace{0.05cm} t) = h(\tau) = \sum_{m = 1}^{M} k_m \cdot \delta( \tau - \tau_m) \hspace{0.05cm}.$$
Alle Koeffizienten $k_{m}$ seien reell (positiv oder negativ). Weiterhin ist anzumerken:
- Aus der Angabe $h(\tau, \hspace{0.05cm}t) = h(\tau)$ erkennt man, dass der Kanal zeitinvariant ist.
- Allgemein weist der Kanal $M$ Pfade auf. Der $M$–Wert soll aus der Grafik bestimmt werden.
- Für die Verzögerungszeiten gelten folgende Relationen: $\tau_1 < \tau_2 < \tau_3 < \ \text{...}$
Die Grafik zeigt das Ausgangssignal $r(\tau)$ des Kanals, wenn am Eingang folgendes Sendesignal anliegt (dargestellt im äquivalenten Tiefpassbereich):
- $$s(\tau) = \left\{ \begin{array}{c} s_0\\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le \tau < 5\,{\rm µ s}, \\ {\rm sonst}. \\ \end{array}$$
Gesucht wird die dazugehörige Impulsantwort $h(\tau)$ sowie die Übertragungsfunktion $H(f)$.
Hinweise:
- Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel Mehrwegeempfang beim Mobilfunk.
- Gehen Sie bei der Lösung der Teilaufgabe (1) davon aus, dass sich die Impulsantwort $h(\tau)$ über fünf Mikrosekunden erstreckt.
Fragebogen
Musterlösung
Das skizzierte Ausgangssignal $r(\tau)$ kann sich nur ergeben, falls
- $\tau_1 = 0$ ist $($sonst würde $r(\tau)$ nicht bei $\tau = 0$ beginnen$)$,
- $\tau_M = 10 \ \rm µ s$ ist $($daraus ergibt sich der Rechteckverlauf zwischen $10 \ \rm µ s$ und $15 \ \rm µ s)$,
- dazwischen noch eine Diracfunktion bei $\tau_2 = 2 \ \rm µ s$ auftritt.
Das heißt: Die Impulsantwort setzt sich hier aus $\underline {M = 3}$ Diracfunktionen zusammen.
(2) Wie bereits bei der ersten Teilaufgabe berechnet, erhält man
- $$\tau_1 \hspace{0.1cm} \underline {= 0}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_2 \hspace{0.1cm} \underline {= 2\,{\rm µ s}}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_3 \hspace{0.1cm} \underline {= 10\,{\rm µ s}}\hspace{0.05cm}.$$
(3) Vergleicht man den Eingang $s(\tau)$ und den Ausgang $r(\tau)$, so gelangt man zu folgenden Ergebnissen:
- Intervall $0 < \tau < 2 \ {\rm µ s} \text{:} \, s(\tau) = s_0, \hspace{1cm} r(\tau) = 0.75 \cdot s_0 \,\,\Rightarrow\,\, k_1 \ \underline {= 0.75}$,
- Intervall $2 \ {\rm µ s} < \tau < 5 \ {\rm µ s} \text{:} \, \hspace{2.4cm} r(\tau) =(k_1 + k_2) \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \Rightarrow k_2 \ \underline {= \, –0.50}$,
- Intervall $10 \ {\rm µ s} < \tau < 15 \ {\rm µ s} \text{:} \, \hspace{1.95cm} r(\tau) =k_3 \cdot s_0 = 0.25 \cdot s_0 \,\Rightarrow\, k_3 \ \underline {= 0.25}$.
(4) Mit dem Verschiebungssatz erhält man für die Fouriertransformatierte der Impulsantwort $h(\tau)$:
- $$h(\tau) = k_1 \cdot \delta( \tau) + k_2 \cdot \delta( \tau - \tau_2)+ k_3 \cdot \delta( \tau - \tau_3) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H(f) = k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}f \tau_2}+ k_3 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f \tau_3} \hspace{0.05cm}. $$
Durch Analyse der einzelnen Beiträge kommt man zu folgendem Ergebnis:
- Der erste Anteil ist konstant ⇒ Periode $f_1 → ∞$.
- Der zweite Anteil ist periodisch mit $f_2 = 1/\tau_2 = 500 \ \rm kHz$.
- Der dritte Anteil ist periodisch mit $f_3 = 1/\tau_3 = 100 \ \rm kHz$.
⇒ Insgesamt ist damit $H(f)$ periodisch mit $f_0 \ \underline {= 500 \ \rm kHz}$.
(5) Mit $A = 2\pi f \cdot \tau_2$ und $B = 2\pi f \cdot \tau_3$ erhält man:
- $$|H(f)|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} H(f) \cdot H^{\star}(f)= \left [ \frac {3}{4} - \frac {1}{2} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}A} + \frac {1}{4} \cdot {\rm e}^{-{\rm j}B}\right ] \left [ \frac {3}{4} - \frac {1}{2} \cdot {\rm e}^{{\rm j}A} + \frac {1}{4} \cdot {\rm e}^{{\rm j}B}\right ]$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |H(f)|^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac {9}{16 }- \frac {3 {\rm e}^{{\rm j}A}}{8} +\frac {3{\rm e}^{{\rm j}B}}{16} - \frac {3{\rm e}^{-{\rm j}A}}{8} +\frac {1}{4}- \frac {{\rm e}^{{\rm j}(B-A)}}{8} +\frac {3{\rm e}^{-{\rm j}B}}{16} - \frac {{\rm e}^{{\rm j}(A-B)}}{8} +\frac{1}{16 }=$$
- $$\hspace{2.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}\frac {7}{8 }- \frac {3}{8} \cdot \left [ {\rm e}^{{\rm j}A} + {\rm e}^{-{\rm j}A}\right ]+ \frac {3}{16} \cdot \left [ {\rm e}^{{\rm j}B} + {\rm e}^{-{\rm j}B}\right ]- \frac {1}{8} \cdot \left [ {\rm e}^{{\rm j}(B-A)} + {\rm e}^{-{\rm j}(B-A)}\right ]\hspace{0.05cm}.$$
- Daraus ergibt sich mit dem Satz von Euler unter Berücksichtigung der Frequenzperiodizität:
- $$|H(f)|= \sqrt{\frac {7}{8 }- \frac {3}{4} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_2) + \frac {3}{8} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_3)- \frac {1}{4} \cdot \cos( 2 \pi f (\tau_3 - \tau_2))}$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |H(f = 0)|\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{\frac {7}{8 }- \frac {3}{4} + \frac {3}{8} - \frac {1}{4} } = \sqrt{0.25}\hspace{0.1cm} \underline {= 0.5} = |H(f = 500\,{\rm kHz})|$$
- $$|H(f = 250\,{\rm kHz})|\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt{\frac {7}{8 }- \frac {3}{4} \cdot \cos( \pi ) + \frac {3}{8} \cdot \cos( 5 \pi )- \frac {1}{4} \cdot \cos( 4 \pi )} \hspace{0.1cm} \underline {= 1}\hspace{0.05cm}.$$
(6) Der soeben berechnete Frequenzgang kann für die Frequenz $f = 250 \ \rm kHz$ wie folgt dargestellt werden:
- $$H(f = 250\,{\rm kHz})= k_1 + k_2 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} \pi}+ k_3 \cdot {\rm e}^{-{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 5\pi} = k_1 - k_2 - k_3 \hspace{0.05cm}.$$
- Wählt man nun
- $$k_3 = k_1 - k_2 = 0.75 + 0.50\hspace{0.1cm} \underline {= 1.25}\hspace{0.05cm},$$
- so ergibt sich $|H(f = 250 \ \rm kHz)| = 0$ und damit der für diese Signalfrequenz ungünstigste Wert.
Die Grafik zeigt $|H(f)|$ im Bereich zwischen $0$ und $500 \ \rm kHz$:
- Die blaue Kurve gilt für $k_3 = 0.25$ entsprechend den Vorgaben von Teilaufgabe (4).
- Die rote Kurve gilt für $k_3 = 1.25$, dem ungünstigsten Wert bezüglich $f = 250 \ \rm kHz$.
