Aufgabe 2.5Z: Einige Berechnungen über GF(2 hoch 3)

Elemente von $\rm GF(2^3)$ für das Polynom $p(x) = x^3 + x + 1$

Wir betrachten nun den Erweiterungskörper $($englisch: "Extension Field"$)$ mit acht Elementen ⇒ $\rm GF(2^3)$ gemäß der nebenstehenden Tabelle.

Da das zugrunde liegende Polynom

$$p(x) = x^3 + x +1 $$

sowohl irreduzibel als auch primitiv ist, kann das vorliegende Galoisfeld in folgender Form angegeben werden:

$${\rm GF}(2^3) = \{\hspace{0.1cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.1cm} \alpha\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{4}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{5}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{6}\hspace{0.1cm}\}\hspace{0.05cm}. $$

Das Element $\alpha$ ergibt sich dabei als Lösung der Gleichung $p(\alpha) = 0$ im Galoisfeld $\rm GF(2)$.

Damit erhält man folgende Nebenbedingung:

$$\alpha^3 + \alpha +1 = 0\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} \alpha^3 = \alpha +1\hspace{0.05cm}.$$

Für die weiteren Elemente gelten folgende Berechnungen:

$$\alpha^4 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^3 = \alpha \cdot (\alpha + 1) = \alpha^2 + \alpha \hspace{0.05cm},$$

$$\alpha^5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^4 = \alpha \cdot (\alpha^2 +\alpha) = \alpha^3 + \alpha^2 = \alpha^2 + \alpha + 1\hspace{0.05cm},$$

$$\alpha^6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^5 = \alpha \cdot (\alpha^2 +\alpha + 1)= \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha= \alpha + 1 + \alpha^2 + \alpha = \alpha^2+ 1\hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe sollen Sie einige algebraische Umformungen im Galoisfeld $\rm GF(2^3)$ vornehmen.

Unter anderem ist nach der multiplikativen Inversen des Elementes $\alpha^4$ gefragt.

Dann muss gelten:

$$\alpha^4 \cdot {\rm Inv_M}( \alpha^4) = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Erweiterungskörper".

Diese Aufgabe ist als Ergänzung zur etwas schwierigeren "Aufgabe 2.5" gedacht.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Beispielsweise findet man mit Hilfe der vorne angegebenen Tabelle:

$$\alpha^7 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^6 = \alpha \cdot (\alpha^2 + 1) = \alpha^3 + \alpha = (\alpha + 1) + \alpha = 1 \hspace{0.05cm},$$

$$\alpha^8 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^7 = \alpha \cdot 1 = \alpha\hspace{0.05cm},$$

$$\alpha^{13} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^7 \cdot \alpha^6 = 1 \cdot \alpha^6 = \alpha^2 + 1\hspace{0.05cm}.$$

Die Tabelle lässt sich also modulo $7$ fortsetzen.

Das bedeutet: Alle Lösungsvorschläge sind richtig.

(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2 wegen

$\alpha^8 = \alpha$ entsprechend Teilaufgabe (1),

$\alpha^6 = \alpha^2 + 1$ $($gemäß Tabelle$)$, und

$-\alpha^2 = \alpha^2$ $($Operationen im binären Galoisfeld$)$.

Also gilt:

$$A = \alpha^8 + \alpha^6 - \alpha^2 + 1 = \alpha + (\alpha^2 + 1) + \alpha^2 + 1 = \alpha \hspace{0.05cm}.$$

(3) Mit $\alpha^{16} = \alpha^{16-14} = \alpha^2$ sowie $\alpha^{12} \cdot \alpha^3 = \alpha^{15} = \alpha^{15-14} = \alpha$ erhält man den Lösungsvorschlag 5:

$$B = \alpha^2 + \alpha= \alpha^4 \hspace{0.05cm}.$$

(4) Es gilt $\alpha^3 = \alpha + 1$ und damit $C = \alpha^3 + \alpha = \alpha + 1 + \alpha = 1$ ⇒ Lösungsvorschlag 1.

(5) Mit $\alpha^4 = \alpha^2 + \alpha$ erhält man $D = \alpha^4 + \alpha = \alpha^2$ ⇒ Lösungsvorschlag 3.

(6) Richtig ist der Lösungsvorschlag 4:

$$E = A \cdot B \cdot C/D = \alpha \cdot \alpha^4 \cdot 1/\alpha^2 = \alpha^3 \hspace{0.05cm}.$$

(7) Laut Tabelle gilt $\alpha^2 + \alpha = \alpha^4$. Deshalb muss gelten:

$$\alpha^4 \cdot {\rm Inv_M}( \alpha^4) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} {\rm Inv_M}( \alpha^2 + \alpha) = {\rm Inv_M}( \alpha^4) = \alpha^{-4} = \alpha^3 \hspace{0.05cm}.$$

Wegen $\alpha^3 = \alpha + 1$ sind somit die Lösungsvorschläge 2 und 3 richtig.

	$\alpha^7 = 1$,
	$\alpha^8 = \alpha$,
	$\alpha^{13} = \alpha^2 + 1$,
	$\alpha^i = \alpha^{i \ \rm mod \, 7}$.

	$A = 1$,
	$A = \alpha$,
	$A = \alpha^2$,
	$A = \alpha^3$,
	$A = \alpha^4$.

	$B = 1$,
	$B = \alpha$,
	$B = \alpha^2$,
	$B = \alpha^3$,
	$B = \alpha^4$.

	$C = 1$,
	$C = \alpha$,
	$C = \alpha^2$,
	$C = \alpha^3$,
	$C = \alpha^4$.

	$D = 1$,
	$D = \alpha$,
	$D = \alpha^2$,
	$D = \alpha^3$,
	$D = \alpha^4$.

	$E = 1$,
	$E = \alpha$,
	$E = \alpha^2$,
	$E = \alpha^3$,
	$E = \alpha^4$.

	${\rm Inv_M}(\alpha^2 + \alpha) = 1$,
	${\rm Inv_M}(\alpha^2 + \alpha) = \alpha + 1$,
	${\rm Inv_M}(\alpha^2 + \alpha) = \alpha^3$,
	${\rm Inv_M}(\alpha^2 + \alpha) = \alpha^4$.