Aufgabe 3.8Z: Kreis(ring)fläche

Zu den Kreisringflächen

Wir betrachten unterschiedlich große Kreise:

Der Radius $r$ und die Fläche $A$ lassen sich als voneinander abhängige Zufallsgrößen auffassen.
Es wird vorausgesetzt, dass der Radius auf den Bereich $6 \le r \le 8$ beschränkt ist.

In der oberen Skizze ist der Bereich, in dem solche Kreise $($alle mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung$)$ liegen können, gelb markiert. Weiterhin kann davon ausgegangen werden, dass der Radius in diesem Intervall gleichverteilt ist:

$$f_r(r)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 0.5 & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm}{\rm 6\le \it r \le \rm 8}, \\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$

Ab der Teilaufgabe (5) werden schmale Kreisringe mit dem Mittenradius $r$ und der Breite $b$ betrachtet $($untere Skizze$)$:

Die Fläche eines solchen Kreisrings wird mit $R$ bezeichnet.
Die möglichen Mittenradien $r$ seien auch hier gleichverteilt zwischen $6$ und $8$.
Die Kreisringbreite beträgt $b = 0.1$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Exponentialverteilte Zufallsgrößen.
Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite Transformation von Zufallsgrößen.

Fragebogen

$A_\text{min} \ = \ $

$A_\text{max} \ = \ $

$m_{ A} \ = \ $

${\rm Pr}(A > 150) \ = \ $

$\ \%$

$R_\text{min} \ = \ $

$R_\text{max} \ = \ $

${\rm E}\big[R\big] \ = \ $

Musterlösung

(1) Die Gleichung der Kreisfläche ist gleichzeitig die Transformationskennlinie: $A = \pi \cdot r^2$.

Daraus ergibt sich mit $r = 6$ für den Minimalwert:

$$A_\text{min} \hspace{0.15cm}\underline {= 113.09}.$$

(2) Entsprechend gilt mit $r = 8$ für den Maximalwert:

$$A_\text{max} \hspace{0.15cm}\underline {= 201.06}.$$

(3) Am einfachsten löst man diese Aufgabe wie folgt:

$$m_{\rm A}={\rm E}\big[A\big]={\rm E}\big[g(r)\big]=\int_{ -\infty}^{+\infty}g(r)\cdot f_r(r) {\rm d}r.$$

Mit $g(r) = \pi \cdot r^2$ und $f_r(r) = 1/2$ im Bereich von $6$ ... $8$ erhält man:

$$m_{\rm A}=\int_{\rm 6}^{\rm 8}1/2 \cdot\pi\cdot r^{\rm 2}\, {\rm d} \it r=\frac{\pi}{\rm 6}\cdot \rm ( 8^3-6^3) \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 154.98}.$$

(4) Die WDF der transformierten Zufallsgröße $A$ lautet:

$$f_A(A)=\frac{f_r(r)}{|g\hspace{0.05cm}'(r)|}\Bigg|_{r=h(y) = \sqrt{A/ \pi }}.$$

Im Bereich zwischen $A_\text{min} {= 113.09}$ und $A_\text{max} {= 201.06}$ gilt dann:

$$f_A(A)=\frac{\rm 1/2}{\rm 2\cdot \pi\cdot\it r}\Bigg|_{\it r=\sqrt{\it A/\rm \pi}}=\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}}.$$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man durch Integration:

$${\rm Pr}(A> 150)=\int_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}} \; \rm d \it A= \frac{\rm 2\cdot\sqrt{\it A}}{\rm 4\cdot\sqrt{\pi}}\Big|_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}.$$

Die obere Integrationsgrenze liefert den Wert $4$ und die untere Grenze $3.455$. Daraus ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$${\rm Pr}(A> 150) \hspace{0.15cm}\underline {=54.5\%}.$$

(5) Für die Kreisringfläche $R$ gilt bei gegebenem Radius $r$:

$$R=\left (r+{b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi-\left ({\it r}-{\it b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi= \rm2\cdot\pi\cdot\it r \cdot b.$$

Zwischen $R$ und $r$ besteht also ein linearer Zusammenhang.
Das heißt: $R$ ist ebenfalls gleichverteilt und zwar unabhängig von der Breite $b$, solange $b \ll r$ ist.
Für den Minimalwert gilt:

$$R_{\rm min}=\rm 2\pi\cdot 6\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx3.77}. $$

(6) Entsprechend ist der Maximalwert:

$$R_{\rm max}=\rm 2\pi\cdot 8\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 5.03}.$$

(7) Aufgrund des linearen Zusammenhangs zwischen $R$ und $r$ führt der mittlere Radius $r = 7$ auch zur mittleren Kreisringfläche:

$${\rm E}\big[R\big]=\rm 2\pi\cdot 7\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 4.4}.$$