Aufgabe 5.4Z: OVSF–Codes
eines OVSF–Codes
Die Spreizcodes für UMTS sollen
- alle zueinander orthogonal sein, um eine gegenseitige Beeinflussung der Teilnehmer zu vermeiden,
- zusätzlich eine flexible Realisierung unterschiedlicher Spreizfaktoren $J$ ermöglichen.
Ein Beispiel hierfür sind die so genannten Codes mit variablem Spreizfaktor $($englisch: "Orthogonal Variable Spreading Factor", $\rm OVSF)$, die Spreizcodes der Längen von $J = 4$ bis $J = 512$ bereitstellen.
Diese können, wie in der Grafik zu sehen ist, mit Hilfe eines Codebaums erstellt werden. Dabei entstehen bei jeder Verzweigung aus einem Code $C$ zwei neue Codes $(+C \ +C)$ und $(+C \ -C)$.
Die Grafik verdeutlicht das hier angegebene Prinzip am Beispiel $J = 4$:
- Nummeriert man die Spreizfolgen von $0$ bis $J -1$ durch, so ergeben sich hier die Spreizfolgen
- $$\langle c_\nu^{(0)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \langle c_\nu^{(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$
- $$\langle c_\nu^{(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \langle c_\nu^{(3)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$
- Entsprechend dieser Nomenklatur gibt es für den Spreizfaktor $J = 8$ die Spreizfolgen $\langle c_\nu^{(0)}\rangle $, ... , $\langle c_\nu^{(7)}\rangle $.
- Anzumerken ist, dass kein Vorgänger und Nachfolger eines Codes für einen anderen Teilnehmer benutzt werden darf.
- Im Beispiel könnten also vier Spreizcodes mit Spreizfaktor $J = 4$ verwendet werden oder die drei gelb hinterlegten Codes – einmal mit $J = 2$ und zweimal mit $J = 4$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Spreizfolgen für CDMA.
- Bezug genommen wird insbesondere auf den Abschnitt Codes mit variablem Spreizfaktor im Theorieteil.
- Wir möchten Sie gerne auch auf das kleine interaktive SWF–Applet OVSF hinweisen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Grafik zeigt die OVSF–Baumstruktur für $J = 8$. Daraus ist zu erkennen, dass die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4 zutreffen, nicht jedoch der zweite.
(2) Wird jedem Nutzer ein Spreizcode mit $J = 8$ zugewiesen, so können $K_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline{ = 8}$ Teilnehmer versorgt werden.
(3) Wenn drei Teilnehmer mit $J = 4$ versorgt werden, können nur mehr zwei Teilnehmer durch eine Spreizfolge mit $J = 8$ bedient werden (siehe beispielhafte gelbe Hinterlegung in der Grafik) ⇒ $K\hspace{0.15cm}\underline{ = 5}$.
(4) Wir bezeichnen mit
- $K_4 = 2$ die Anzahl der Spreizfolgen mit $J = 4$,
- $K_8 = 1$ die Anzahl der Spreizfolgen mit $J = 8$,
- $K_{16} = 2$ die Anzahl der Spreizfolgen mit $J = 16$,
- $K_{32} = 8$ die Anzahl der Spreizfolgen mit $J = 32$.
Dann muss folgende Bedingung erfüllt sein:
- $$K_4 \cdot \frac{32}{4} + K_8 \cdot \frac{32}{8} +K_{16} \cdot \frac{32}{16} +K_{32} \cdot \frac{32}{32} \le 32 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} K_4 \cdot8 + K_8 \cdot 4 +K_{16} \cdot 2 +K_{32} \cdot1 \le 32 \hspace{0.05cm}.$$
- Wegen $2 · 8 + 1 · 4 + 2 · 2 + 8 = 32$ ist die gewünschte Belegung gerade noch erlaubt ⇒ Antwort JA.
- Die zweimalige Bereitstellung des Spreizgrads $J = 4$ blockiert zum Beispiel die obere Hälfte des Baums.
- Nach der Versorgung der einen Spreizung mit $J = 8$, bleiben auf der $J = 8$–Ebene noch drei der acht Äste zu belegen, usw. und so fort.
