Exercises:Exercise 3.7: PN Modulation

Ersatzschaltbilder von „PN-Modulation” und „BPSK”

Die obere Grafik zeigt das Ersatzschaltbild der PN–Modulation (englisch: Direct Sequence Spread Spectrum, abgekürzt DS–SS) im äquivalenten Tiefpass–Bereich, wobei„ $n(t)$ für AWGN–Rauschen steht.

Darunter skizziert ist das Tiefpass–Modell der binären Phasenmodulation, kurz BPSK.

Das Tiefpass–Sendesignal $s(t)$ ist hier nur aus Gründen einheitlicher Darstellung gleich dem rechteckförmigen Quellensignal $q(t) ∈ \{+1, –1\}$ mit Rechteckdauer $T$ gesetzt.
Die Funktion des Integrators kann wie folgt geschrieben werden:

$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.03cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$

Die beiden Modelle unterscheiden sich durch die Multiplikation mit dem $±1$–Spreizsignal $c(t)$ bei Sender und Empfänger, wobei von diesem Signal $c(t)$ lediglich der Spreizgrad $J$ bekannt ist.
Für die Lösung dieser Aufgabe ist die Angabe der spezifischen Spreizfolge (M–Sequenz oder Walsh–Funktion) nicht von Bedeutung.

Zu untersuchen ist, ob sich das untere BPSK–Modell auch bei PN–Modulation anwenden lässt und ob die BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { {2 \cdot E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$

auch für die PN–Modulation gültig ist, beziehungsweise wie die angegebene Gleichung zu modifizieren wäre.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Die Charakteristika von UMTS.

Das bei UMTS eingesetzte CDMA–Verfahren firmiert auch unter der Bezeichnung „PN–Modulation”.
Die in dieser Aufgabe verwendete Nomenklatur richtet sich zum Teil auch nach dem Abschnitt PN–Modulation im Buch „Modulationsverfahren”.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

Es handelt sich hier um einen optimalen Empfänger.
Ohne Rauschen ist das Signal $b(t)$ innerhalb eines jeden Bits konstant gleich $+1$ oder $-1$.
Aus der angegebenen Gleichung für den Integrator

$$d (\nu T) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.03cm} \int_{(\nu -1 )T }^{\nu T} \hspace{-0.3cm} b (t )\hspace{0.1cm} {\rm d}t$$

folgt, dass $d(\nu T)$ nur die Werte $±1$ annehmen kann.

(2) Richtig ist wieder der Lösungsvorschlag 3:

Im rauschfreien Fall ⇒ $n(t) = 0$ kann auf die zweifache Multiplikation mit $c(t) ∈ \{+1, -1\}$ ⇒ $c(t)^{2} = 1$ verzichtet werden, so dass das obere Modell mit dem unteren Modell identisch ist.

(3) Zutreffend ist der Lösungsvorschlag 1:

Da beide Modelle im rauschfreien Fall identisch sind, muss nur das Rauschsignal angepasst werden: $n'(t) = n(t) \cdot c(t)$.
Die Lösungsvorschläge 2 und 3 sind dagegen nicht zutreffend: Die Integration muss auch weiterhin über $T = J \cdot T_{c}$ erfolgen (nicht über $J \cdot T$) und die PN–Modulation verringert das AWGN–Rauschen nicht.

(4) Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

Die für BPSK und AWGN–Kanal gültige Gleichung

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \hspace{-0.05cm} \sqrt { \frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_{\rm 0}} } \hspace{0.05cm} \right )$$

ist somit auch bei der PN–Modulation anwendbar und zwar unabhängig vom Spreizfaktor $J$ und von der spezifischen Spreizfolge.

Bei AWGN–Rauschen wird die Fehlerwahrscheinlichkeit durch Bandspreizung weder vergrößert noch verkleinert.

	$d(\nu T)$ ist gaußverteilt.
	$d(\nu T)$ kann die Werte $+1$, $0$ und $-1$ annehmen.
	Es sind nur die Werte $d(\nu T) = +1$ und $d(\nu T) = -1$ möglich.

	Das Rauschen $n(t)$ muss durch $n\hspace{0.05cm}'(t) = n(t) \cdot c(t)$ ersetzt werden.
	Die Integration muss nun über $J \cdot T$ erfolgen.
	Die Rauschleistung muss um den Faktor $J$ vermindert werden.

	Je größer $J$ gewählt wird, desto kleiner ist $p_{\rm B}$.
	Je größer $J$ gewählt wird, desto größer ist $p_{\rm B}$.
	Es ergibt sich unabhängig von $J$ stets der Wert $p_{\rm B} = 2.3 \cdot 10^{-3}$.