Für den Mobilfunkkanal als zeitvariantes System gibt es insgesamt vier Systemfunktionen, die über die Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Mit der in unserem Lerntutorial formalisierten Nomenklatur sind diese:
- die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau, \hspace{0.1cm}t)$, die wir hier auch mit $\eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.1cm} t)$ bezeichnen,
- die Verzögerungs–Doppler–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.1cm} f_{\rm D})$,
- die Frequenz–Doppler–Funktion $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$,
- die zeitvariante Übertragungsfunktion $\eta_{\rm FZ}(f,\hspace{0.1cm}t)$ oder $H(f, \hspace{0.1cm}t)$.
Die Indizes stehen für die $\rm V\hspace{-0.05cm}$erzögerung $\tau$, die $\rm Z$eit $t$, die $\rm F$requenz $f$ sowie die $\rm D$opplerfrequenz $f_{\rm D}$.
Gegeben ist die Verzögerungs–Doppler–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$ entsprechend der oberen Grafik:
- $$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz})-$$
- $$\hspace{1.75cm} \ - \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} - 50\,{\rm Hz})- \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} + 50\,{\rm Hz}) \hspace{0.05cm}.$$
In der Literatur wird $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$ oft auch Scatter–Funktion genannt und mit $s(\tau, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$ bezeichnet.
In dieser Aufgabe sollen die zugehörige Verzögerungs–Zeit–Funktion $\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.1cm}t)$ und die Frequenz–Doppler–Funktion $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$ ermittelt werden.
Hinweise:
- Die Aufgabe soll den Lehrstoff des Kapitels Das GWSSUS–Kanalmodell verdeutlichen.
- Der Zusammenhang zwischen den einzelnen Systemfunktionen ist in der Grafik auf der ersten Seite dieses Kapitels angegeben.
- Beachten Sie, dass oben die Betragsfunktion $|\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.1cm} f_{\rm D})|$ dargestellt ist, so dass negative Gewichte der Diracfunktionen nicht zu erkennen sind.
Fragebogen
Musterlösung
- $$\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.1cm} t) \hspace{0.2cm} \stackrel{t, \hspace{0.02cm}f_{\rm D}}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.$$
- Dementsprechend ist $\eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.1cm} t)$ für alle Werte von $\tau$ identisch Null, für die auch in der Scatter–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D})$ keine Anteile zu erkennen sind.
- Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 2: Nur für $\tau = 0$ und $\tau = 1 \ \rm µ s$ besitzt die zeitvariante Impulsantwort endliche Werte.
(2) Für die Verzögerung $\tau = 0$ besteht die Scatter–Funktion $(\eta_{\rm VD})$ aus einem einzigen Dirac bei $f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz$.
- Für die gesuchte Zeitfunktion gilt gemäß dem zweiten Fourierintegral:
- $$\eta_{\rm VZ}(\tau = 0,\ t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz}) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi f_{\rm D} t}\hspace{0.15cm}{\rm d}f_{\rm D} =\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi t \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}100\,{\rm Hz}} .$$
- Richtig ist demzufolge der Lösungsvorschlag 1.
(3) Bei der Verzögerungszeit $\tau = 1 \ \rm µ s$ besteht die Verzögerungs–Doppler–Funktion dagegen aus zwei Diracfunktionen bei $±50 \ \rm Hz$, jeweils mit dem Gewicht $-0.5$.
- Die Zeitfunktion ergibt sich damit zu
- $$\eta_{\rm VZ}(\tau = 1\,{\rm µ s},\ t) = - \cos( 2 \pi t \cdot 50\,{\rm Hz})\hspace{0.05cm}.$$
- Diese Funktion lässt sich mit $A = -1$ und $f_0 = 50 \ \rm Hz$ gemäß dem Lösungsvorschlag 2 darstellen.
(4) Die drei Diracfunktionen $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$ liegen bei den Dopplerfrequenzen $+100 \ \rm Hz$, $+50 \ \rm Hz$ und $-50 \ \rm Hz$.
- Für alle anderen Dopplerfrequenzen muss deshalb auch $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D}) \equiv 0$ sein.
- Richtig ist hier also der Lösungsvorschlag 2.
(5) Betrachtet man die Scatter–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.1cm}f_{\rm D})$ in Richtung der $\tau$–Achse, so gibt es bei den Dopplerfrequenzen $100 \ \rm Hz$ und $±50 \ \rm Hz$ nur jeweils einen Dirac.
- Hier ergeben sich in Abhängigkeit von $f$ jeweils komplexe Exponentialschwingungen mit konstantem Betrag (woraus folgt, dass der Lösungsvorschlag 1 richtig ist):
- $$|\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D} = 100\,{\rm Hz})| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{\sqrt{2}} = {\rm const.}$$
- $$| \eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D}= \pm 50\,{\rm Hz})| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5 = {\rm const.}$$
(6) Wie aus der angegebenen Grafik zu ersehen, treffen die Lösungsalternativen 2 und 3 zu.
- Die Grafik zeigt alle Systemfunktionen.
- Die Fourierkorrespondenzen (grün eingezeichnet) verdeutlichen die Zusammenhänge zwischen diesen Systemfunktionen.
Hinweis:
Vergleichen Sie die zeitvariante Übertragungsfunktion $|\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.1cm} t)|$ im Bild unten rechts mit der entsprechenden Grafik für Aufgabe 2.4:
- Die jeweils dargestellten Betragsfunktionen unterscheiden sich signifikant, obwohl $|\eta_{\rm VZ}(\tau,\ t)|$ in beiden Fällen gleich ist.
- In der Aufgabe 2.4 wurde für $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm µ s},\ t)$ implizit ein Cosinus vorausgesetzt, hier eine Minus–Cosinusfunktion.
- Die (nicht explizit) angegebene Verzögerungs–Dopplerfunktion für die Aufgabe 2.4 lautete:
- $$\eta_{\rm VD}(\tau,\ f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz})+$$
- $$\hspace{2cm}+\hspace{0.22cm}\frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} - 50\,{\rm Hz})+ $$
- $$\hspace{2cm}+\hspace{0.22cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} + 50\,{\rm Hz}) \hspace{0.05cm}.$$
- Ein Vergleich mit der entsprechenden Gleichung auf der Angabenseite zeigt, dass sich nur die Vorzeichen der Diracs bei $\tau = 1 \ \rm µ s$ geändert haben.
