Lineare digitale Modulation

Inhaltsverzeichnis

1 Unterschiede zwischen analogen und digitalen Modulationsverfahren
2 ASK – Amplitude Shift Keying
3 Kohärente Demodulation von ASK–Signalen
4 Inkohärente Demodulation von ASK–Signalen
5 BPSK – Binary Phase Shift Keying
6 Demodulation und Detektion von BPSK–Signalen
7 DPSK – Differential Phase Shift Keying
8 Differentiell-kohärente Demodulation des DPSK-Signals
9 Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick
10 Aufgaben zum Kapitel

Unterschiede zwischen analogen und digitalen Modulationsverfahren

Die Grafik zeigt oben ein analoges Übertragungssystem und darunter gezeichnet ein Digitalsystem. Die wesentlichen Unterschiede sind rot hervorgehoben:

Analoges und digitales Übertragungssystem

Während beim oberen System am Modulatoreingang das analoge Quellensignal $q(t)$ anliegt, ist beim unteren Digitalsystem das modulierende Signal $q_{\rm D}(t)$ ein Digitalsignal, gekennzeichnet durch die Amplitudenkoeffizienten $a_ν$, den Grundimpuls $g_q(t)$ sowie die Symboldauer $T$:

$$q_{\rm D}(t) = \sum_{\nu=-\infty}^{+\infty}a_\nu \cdot g_q(t - \nu \cdot T) \hspace{0.05cm}.$$

Die A/D–Wandlung kann zum Beispiel mittels Pulscodemodulation erfolgen und umfasst die Funktionen Abtastung, Quantisierung, Binärcodierung und Signalformung.
Der Grundimpuls $g_q(t)$ wird oft als NRZ–rechteckförmig angenommen mit Amplitude $s_0$ und Dauer $T$. Für die Spektralfunktion gilt mit ${\rm si}(x) = \sin(x)/x$:

$$G_q(f) = s_0 · T · {\rm si}(π f T).$$

Die Modulatoren können bei beiden Systemen gleich sein. Sie verändern einen der Parameter des Trägersignals $z(t)$ gemäß dem Modulatoreingang. Die digitalen Varianten von AM, PM und FM heißen

"Amplitude Shift Keying" $\rm (ASK)$,
"Phase Shift Keying" $\rm (PSK)$ und
"Frequency Shift Keying" $\rm (FSK)$.

Dagegen unterscheidet sich der Demodulator des Digitalsystems grundsätzlich von einem analogen Demodulator durch die erforderliche Entscheiderkomponente (in Hardware oder Software). Das Signal $v_{\rm D}(t)$ ist ebenso wie $q_{\rm D}(t)$ digital und muss anschließend noch in das analoge Sinkensignal $v(t)$ D/A–gewandelt werden.

Das entscheidende Gütekriterium ist bei beiden Systemen das Sinken–SNR ⇒ Quotient der Leistungen von Quellensignal $q(t)$ und Fehlersignal $ε(t) = v(t) \ – \ q(t)$. Beim Digitalsystem begnügt man sich meist mit dem Qualitätsmerkmal Bitfehlerquote $($englisch: "Bit Error Rate", $\rm BER)$, das sich auf die Digitalsignale $q_{\rm D}(t)$ und $v_{\rm D}(t)$ bezieht. Diese ist aber auch in ein $\rm SNR$ umrechenbar.

ASK – Amplitude Shift Keying

Die Grafik zeigt das digitale Quellensignal $q(t)$ – auf den Index „D” wird ab sofort verzichtet – sowie das ASK–Sendesignal

Signale und Leistungsdichtespektren $\rm (LDS)$ bei "Amplitude Shift Keying"

$$s_{\rm ASK}(t) = q(t) · \sin(2π · f_{\rm T} · t),$$

wobei hier von unipolaren Amplitudenkoeffizienten $a_ν ∈ \{0, \ 1\}$ und einem sinusförmigen Träger ausgegangen wird.

Dieses Verfahren wird zum Beispiel bei optischen Übertragungssystemen eingesetzt $($da es bekanntlich keine negativen Lichtimpulse gibt$)$ und ist auch unter der Bezeichnung „On–Off–Keying” bekannt.

In der rechten Bildhälfte sind – allerdings nicht maßstäblich – die dazugehörigen Leistungsdichtespektren dargestellt. Bei rechteckförmigem Grundimpuls $g_q(t)$ und gleichwahrscheinlichen unipolaren Amplitudenkoeffizienten gilt:

$$\begin{align*}{{\it \Phi}_{q}(f)}& = \frac{{s_0}^2 \cdot T}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi f T) + \frac{{s_0}^2 }{4} \cdot \delta (f)\hspace{0.05cm},\\ {{\it \Phi}_{s}(f)}& = \frac{1}{4} \cdot \big [ {{\it \Phi}_{q}(f- f_{\rm T})}+ {{\it \Phi}_{q}(f+ f_{\rm T})}\big]\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Zu diesen Gleichungen ist anzumerken:

Der Gleichanteil $m_q = s_0/2$ des Quellensignals führt im Leistungsdichtespektrum $ϕ_q(f)$ zu einer Diracfunktion bei der Frequenz $f = 0$ mit dem Gewicht ${s_0}^2/4$.
Das Leistungsdichtespektrum des ASK–Sendesignals ist $ϕ_s(f) = ϕ_q(f) ∗ ϕ_z(f)$, wobei sich das LDS $ϕ_z(f)$ des Trägersignals $z(t)$ aus zwei Diracfunktionen bei $±f_{\rm T}$ mit jeweiligem Gewicht $1/4$ zusammensetzt. Die Gleichung gilt auch bei anderer Trägerphase. Das Symbol „$\star$” beschreibt die Faltung.
Das Leistungsdichtespektrum $ϕ_s(f)$ ist bis auf die Verschiebung um $±f_{\rm T}$ formgleich mit $ϕ_q(f)$ ⇒ die ASK ist ein lineares digitales Modulationsverfahren.

Kohärente Demodulation von ASK–Signalen

Die Grafik zeigt das Blockschaltbild eines ASK–Systems inklusive der Empfängerkomponenten.

Blockschaltbild eines ASK–Systems einschließlich Empfängerkomponente

Das Quellensignal $q(t)$ sei NRZ–rechteckförmig und unipolar:

$$a_ν ∈ \{0, \ 1\}.$$

Der Kanal sei zunächst ideal, gekennzeichnet durch

$$H_{\rm K}(f) = 1,\hspace{0.25cm} n(t) = 0 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} r(t) = s(t).$$

Die Demodulation erfolge kohärent mittels Synchrondemodulator, dessen Funktionsweise bereits bei den analogen Modulationsverfahren AM und PM beschrieben wurde.

Zusammenfassend lässt sich sagen:

Beim Empfänger wird das gleiche Trägersignal zugesetzt wie beim Sender, jedoch mit doppelter Amplitude.
$z(t)$ bezeichnet den Träger beim Sender. Der Träger beim Empfänger ist $z_{\rm E}(t) = 2 · z(t) $.
Nach der Multiplikation folgt ein geeignet dimensionierter Tiefpass mit Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$, der die höherfrequenten Anteile des Signals $b(t)$ entfernt.
Das Detektionssignal $d(t)$ wird zu den Zeitpunkten $ν · T$ abgetastet und mit Hilfe eines Schwellenwertentscheiders mit der Schwelle $E = {s_0}/2$ entschieden.
Das Sinkensignal $v(t)$ am Entscheiderausgang ist rechteckförmig und im rauschfreien Fall bis auf die Laufzeit $T/2$ gleich dem Quellensignal $q(t)$.

$\text{Zu beachten ist:}$

Eine kohärente Demodulation erfordert, dass dem Empfänger die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ und die Trägerphase $ϕ_{\rm T}$ exakt bekannt sind.
Der Empfänger muss diese beiden Größen aus dem Empfangssignal $r(t)$ extrahieren, was bei starken Kanalverzerrungen und großen Rauschstörungen durchaus aufwändig sein kann. Solche Realisierungsaspekte werden zum Beispiel in der Aufgabe 4.9 zu diesem Kapitel behandelt.
Ist dem Empfänger die Trägerphase $ϕ_{\rm T}$ nicht bekannt, so spricht man von inkohärenter Demodulation, auch dann, wenn die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ bekannt ist.

$\text{Beispiel 1:}$ Die Grafik zeigt die im ASK–Blockschaltbild genannten Signale bei idealem Kanal: $H_{\rm K}(f) = 1, \ \ n(t) = 0.$

Signale bei ASK–Modulation und kohärenter Demodulation

Die einzelnen Signalverläufe können wie folgt interpretiert werden:

Das Sendesignal $s(t)$ ist das Produkt aus dem unipolaren Quellensignal $q(t)$ und dem Trägersignal $z(t) = \sin(2π\hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}t)$, wobei im Beispiel $f_{\rm T} = 4/T$ gilt (nur jeweils vier Schwingungen pro Symboldauer).
Das Empfangssignal $r(t) = s(t)$ wird zunächst mit dem Träger $z_{\rm E}(t) = 2 · \sin(2π\hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}t)$ ⇒ doppelte Amplitude gegenüber $z(t)$, kein Frequenz– und Phasenversatz – multipliziert. Damit ergibt sich:

$$b(t) = 2 \cdot z(t)\cdot r(t)= 2 \cdot z^2(t)\cdot q(t) $$

$$\Rightarrow \hspace{0.35cm}b(t) = q(t) \cdot \big [ 1 - \cos(4\pi\hspace{0.05cm} f_{\rm T}\hspace{0.05cm} t)\big] \hspace{0.05cm}.$$

Das Tiefpass–Filter mit dem Frequenzgang $H_{\rm E}(f) = {\rm si}(π\hspace{0.05cm} f_{\rm T}\hspace{0.05cm} T)$ und dementsprechend rechteckförmiger Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ formt aus dem Signal $b(t)$ das Detektionssignal $d(t) = b(t) \star h_{\rm E}(t)$.
$h_{\rm E}(t)$ ist an den rechteckförmigen Grundimpuls $g_q(t)$ angepasst; man spricht vom sog. Matched–Filter ⇒ bestmöglicher Kompromiss zwischen Entzerrung und Rauschleistungsbegrenzung.
Ohne Rauschen gilt $d(νT) = q(νT) ∈ \{0, \ s_0\}$. Bei (moderaten) Rauschstörungen ist mit großer Wahrscheinlichkeit $d(νT) > s_0/2$, falls $a_ν = +1$, und es wird $d(νT) < s_0/2$ für $a_ν = 0$ gelten.
Der Entscheider gewinnt aus dem Vergleich der Detektionsabtastwerte $d(νT)$ mit der Schwelle $E = s_0/2$ das Sinkensignal $v(t)$, das bei fehlerfreier Entscheidung bis auf die Laufzeit $T/2$ gleich $q(t)$ ist.

Inkohärente Demodulation von ASK–Signalen

Wir gehen weiter von ASK–Modulation sowie dem idealen Übertragungskanal aus.Übertragungskanal aus Dieser ist

Blockschaltbild des inkohärenter ASK–Demodulator

verzerrungsfrei,
dämpfungsfrei,
rauschfrei.

Dnn gilt: $r(t) = s(t) = q(t) \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$

Weiter wird für diesen Abschnitt vorausgesetzt, dass

dem Empfänger zwar die Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ bekannt ist,
nicht jedoch die Trägerphase $ϕ_{\rm T}$ bekannt ist.

Die Grafik zeigt einen solchen inkohärenten Demodulator ⇒ das Demodulationsergebnisse ist unabhängig von der Trägerphase $ϕ_{\rm T}$, die der Empfänger ja nicht kennt.

Die Funktionsweise wird hier nur stichpunktartig angegeben:

Die Signale $d_1(t)$ und $d_2(t)$ nach den beiden Matched–Filtern mit jeweiligem Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$ sind formgleich mit dem Detektionssignal $d(t)$ ⇒ $d_{\rm koh}(t)$ gemäß dem vorherigen Blockschaltbild , aber gegenüber diesem im allgemeinen wegen der fehlenden Phasenanpassung gedämpft:

$$d_1(t) = d_{\rm koh}(t) \cdot \cos( \phi_{\rm T}), \hspace{0.5cm}d_2(t) = -d_{\rm koh}(t) \cdot \sin( \phi_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$

Ist der Amplitudenkoeffizient $a_ν = 0$, so sind im rauschfreien Fall die beiden Signalwerte jeweils Null:

$$ d_1(ν · T) = 0,\hspace{0.5cm}d_2(ν · T) = 0.$$

Andernfalls $(a_ν = 1)$ gilt für den Zeitpunkt $ν · T$:

$$d_1(\nu \cdot T) = s_{\rm 0} \cdot \cos( \phi_{\rm T}), \hspace{0.5cm}d_2(\nu \cdot T) = -s_{\rm 0} \cdot \sin( \phi_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$

Nach Quadrierung der zwei Teilsignale erhält man für das Summensignal:

$$d(\nu \cdot T) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ {s^2_0} \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.15cm}a_\nu = 0, \\ {\rm falls}\hspace{0.15cm}a_\nu = 1. \\ \end{array}$$

Durch Schwellenwertentscheidung – sinnvollerweise mit der Entscheiderschwelle $E = {s_0}^2/2$ – können die Amplitudenkoeffizienten $a_ν$ entschieden werden. Allerdings ergibt sich eine etwas größere Bitfehlerwahrscheinlichkeit als bei kohärenter Demodulation.

BPSK – Binary Phase Shift Keying

Bei analoger Phasenmodulation $\rm (PM)$ lautet das Sendesignal: $s_{\rm PM}(t) = s_0 \cdot \cos\big [2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T}+ K_{\rm PM} \cdot q(t)\big ]\hspace{0.05cm}.$ Mit

Signale und Leistungsdichtespektren bei BPSK

bipolarem Quellensignal ⇒ $a_ν ∈ \{-1, +1\}$,
der Trägerphase $ϕ_{\rm T} = π \ (180^\circ)$,
der Modulatorkonstanten $K_{\rm PM} = π/(2s_0)$

ergibt sich für das $ν$–te Zeitintervall:

$$s_{\rm BPSK}(t) = \left\{ \begin{array}{c} s_0 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \pi+ \pi/2) \\ s_0 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \pi- \pi/2) \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.15cm}a_\nu = +1, \\ {\rm falls}\hspace{0.15cm}a_\nu = -1. \\ \end{array}$$

Diese Gleichung für die binäre Phasenmodulation $($englisch: "Binary Phase Shift Keying", $\rm BPSK)$ lässt sich wie folgt umformen:

$$s_{\rm BPSK}(t) = a_\nu \cdot s_0 \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t ) $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{\rm BPSK}(t) = \left\{ \begin{array}{c} s_0 \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t ) \\ -s_0 \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t ) \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.15cm}a_\nu = +1, \\ {\rm falls}\hspace{0.15cm}a_\nu = -1. \\ \end{array}$$

In der Grafik sind die Signale und die dazugehörigen Leistungsdichtespektren $\rm (LDS)$ skizziert. Man erkennt:

Das BPSK–Signal lässt sich wie das ASK–Signal als Produkt von Quellensignal $q(t)$ und Trägersignal $z(t)$ darstellen. Der einzige Unterschied liegt in den bipolaren Amplitudenkoeffizienten $a_ν ∈ \{-1, +1\}$ gegenüber den unipolaren Koeffizienten $(0$ oder $1)$ bei ASK.
Im Gegensatz zur ASK ist bei der BPSK – wie bei jeder Form von Phasenmodulation – die Hüllkurve konstant. Die Information wird hier durch die Phasensprünge innerhalb des Sendesignals $s(t)$ übermittelt (graue Hinterlegungen in der Grafik).
Die Leistungsdichtespektren bei BPSK unterscheiden sich von denen bei ASK lediglich durch die fehlenden Diracfunktionen $($da nun $q(t)$ keinen Gleichanteil beinhaltet$)$ sowie durch den Faktor $4$ bezüglich der kontinuierlichen LDS–Anteile.
Daraus folgt weiter, dass die binäre Phasenmodulation zu den linearen Modulationsverfahren gezählt werden kann. Im Allgemeinen ist nämlich die (analoge) Phasenmodulation bis auf wenige Ausnahmen hinsichtlich des Quellensignals nichtlinear.
Für die Grafiken wurden aus Darstellungsgründen im Abschnitt "ASK" ⇒ "Sinus" und hier bei "BPSK" ⇒ "Minus–Cosinus" verschiedene Trägerphasen gewählt. Diese willkürliche Festlegung ist jedoch keine Einschränkung. Beide Verfahren funktionieren bei anderen Trägerphasen in gleicher Weise.

Demodulation und Detektion von BPSK–Signalen

Aufgrund der konstanten Hüllkurve des BPSK–Signals muss hier die Demodulation stets kohärent erfolgen. Es kann dabei vom gleichen Blockschaltbild wie bei der kohärenten ASK–Demodulation ausgegangen werden.

Signale bei BPSK–Modulation und kohärenter Demodulation

$\text{Beispiel 2:}$ Die Grafik zeigt von oben nach unten

Quellensignal $q(t)$,
Empfangssignal $r(t) = s(t)$ bei idealem Kanal,
Signal $b(t)$ nach Multiplikation mit dem Träger $z_{\rm E}(t) = 2 \cdot z(t)$,
Detektionssignal $d(t)$ nach „Integration” durch das Matched-Filter,
Sinkensignal $v(t)$.

Ein Vergleich mit den entsprechenden Signalen bei der kohärenten Demodulation der ASK zeigt:

Die beiden Rechtecksignale $q(t)$ und $v(t)$ sind nun bipolar.

Für das Detektionssignal bei BPSK gilt im Vergleich zur ASK:

$$d_{\rm BPSK}(t) = 2 \cdot d_{\rm ASK}(t)-s_0.$$

Im betrachteten Fall $($keine Dämpfung, keine Verzerrungen, kein Rauschen$)$ sind alle Detektionsabtastwerte $d(ν · T) = ±s_0$. Deshalb sollte hier die Entscheiderschwelle $E = 0$ verwendet werden.

Man erkennt den doppelten Abstand der BPSK–Detektionsabtastwerte (Kreismarkierungen) von der Schwelle, Dies führt zu einer deutlich niedrigeren Fehlerwahrscheinlichkeit.

DPSK – Differential Phase Shift Keying

DPSK–Sender

Die nebenstehende Grafik zeigt das Blockschaltbild des Modulators für "Differential Phase Shift Keying" $\rm (DPSK)$.

Das (bipolare) Quellensignal $q(t)$ mit den Amplitudenkoeffizienten $q_ν ∈ \{-1, +1\}$ wird entsprechend dieses Mappings in das Signal $m(t)$ mit den Amplitudenkoeffizienten

$$m_{\nu} = m_{\nu -1} \cdot q_{\nu} \in \{ -1, +1\}$$

abgebildet, bevor es dem BPSK–Modulator zugeführt wird.

Ist $q_ν = m_{ν-1},$ so ergibt sich der gemappte Amplitudenkoeffizient $m_ν = +1$. Dagegen weist $m_ν = -1$ darauf hin, dass sich die Amplitudenkoeffizienten $q_ν$ und $m_{ν-1}$ unterscheiden.

Wesentlicher Vorteil der differentiellen binären Phasenmodulation ist, dass das so entstehende Signal $s(t)$ auch ohne Kenntnis der Trägerphase $ϕ_{\rm T}$ demoduliert werden kann, siehe nächster Abschnitt. Obwohl dem Empfänger die genaue Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ bekannt sein muss, spricht man trotzdem von einem inkohärenten, manchmal auch vom "differentiell–kohärenten PSK–Demodulator".

Signale beim DPSK–Sender

$\text{Beispiel 3:}$ Die rechts dargestellte Grafik zeigt

das Quellensignal $q(t)$
das Mapping–Signal $m(t)$ sowie
das DPSK–Sendesignal $s(t)$.

Im Folgenden bezeichnet $v_ν$ die Koeffizienten nach der Entscheidung, die mit den sendeseitigen Amplitudenkoeffizienten $q_ν$ übereinstimmen sollten. Man erkennt folgendes Prinzip:

Immer dann, wenn der Empfänger einen Phasensprung erkennt, entscheidet er sich für sich $v_ν = -1$. Es gilt:

$$v_3 = v_5 =v_6 =-1.$$

Ist kein Phasensprung erkennbar ist, so wird $v_ν = +1$ gesetzt:

$$v_1 = v_2 =v_4 =+1.$$

Unterhalb des Sendesignals sind für die ersten sechs Symbole die Phasenwerte $ϕ_{\rm S}$ angegeben.

Durch zusätzliche Phasendrehung auf dem Kanal, z.B. um $70.3π$, ändern sich zwar die absoluten Phasenwerte auf $69.8π$, $69.8π$, $70.8π$, $70.8π$, $69.8π$, $70.8π$.
Die Phasendifferenz benachbarter Symbole bleibt jedoch erhalten, so dass die differentiell–kohärente Demodulation trotzdem funktioniert.
Ein entsprechender Demodulator wird im folgenden Abschnitt vorgestellt.

Differentiell-kohärente Demodulation des DPSK-Signals

Dargestellt ist das Blockschaltbild eines Übertragungssystems mit DPSK–Modulation ("Differential Phase Shift Keying") und differentiell–kohärenter Demodulation.

DPSK–Modulation und differentiell–kohärente Demodulation

Stichpunktartig lässt sich die Funktionsweise wie folgt beschreiben:

Ohne Berücksichtigung der Modulation mit den Trägersignalen $z(t)$ bzw. $2 · z(t)$ liegt im Intervall $ν$ am Eingang (1) des gelb hervorgehobenen Multiplizierers das Symbol $m_ν = m_{ν-1} · q_ν$ an und am Eingang (2) das Symbol $m_{ν-1}$.
Die Multiplikation von (1) und (2) ergibt das gewünschte Ergebnis, nämlich $v_ν = m_{ν-1} · q_ν · m_{ν-1} = q_ν$. Berücksichtigt ist hierbei, dass $m_{ν-1} ∈ \{+1, –1\}$ gilt.
Das Matched–Filter mit Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$ eliminiert die unerwünschten Anteile um die doppelte Trägerfrequenz, die durch die zweifache Multiplikation mit $z(t)$ bzw. $2 · z(t)$ entstehen. Bei rechteckförmigem Grundimpuls $g_q(t)$ lässt sich $H_{\rm E}(f)$ auch sehr einfach durch einen Integrator realisieren.

Wir nehmen an, dass der Kanal eine Phasendrehung um $ϕ$ bewirkt, die der Empfänger nicht kennt (roter Block).

Geht man beispielsweise vom sendeseitigen Träger $z(t) = \cos (2π · f_{\rm T} · t)$ aus, so beinhaltet das Empfangssignal $r(t)$ einen multiplikativen Anteil mit $\cos (2π · f_{\rm T} · t + ϕ)$. Die Zusetzung des empfangsseitigen Trägers $2 · z(t)$ erfolgt also nicht phasensynchron.
Das um eine Symboldauer $T$ verzögerte Signal $r(t – T)$ weist die gleiche Phase $ϕ$ auf. Durch die Korrelation zwischen $2 · r(t) · z(t)$ und $2 · r(t – T) · z(t – T)$ wird erreicht, dass das Entscheiderergebnis unabhängig von der zufälligen Phase $ϕ$ ist. Man bezeichnet diese Art der Demodulation als "differentiell–kohärent.

Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick

Die Fehlerwahrscheinlichkeiten der behandelten digitalen Modulationsverfahren (ASK, BPSK, DPSK) werden in Kapitel Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation des Buches „Digitalsignalübertragung” unter verschiedenen Randbedingungen berechnet. Hier werden nur einige Ergebnisse ohne Beweis vorweg genommen, gültig für

ein Sendesignal mit der mittleren Energie $E_{\rm B}$ pro Bit,
AWGN–Rauschen mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte $N_0$, und
bestmögliche Empfänger–Realisierung nach dem Matched-Filter-Prinzip.

$\text{Hier ohne Beweis:}$ Betrachten wir zunächst die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von Binary Phase Shift Keying $\rm (BPSK)$ bei Verwendung eines kohärenten Empfängers:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{ {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{ {E_{\rm B} }/{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right ).$$

Dagegen git für Amplitude Shift Keying $\rm (ASK)$ bei kohärenter Demodulation:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B} }/{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right ) ={1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{ {E_{\rm B}}/{(2 \cdot N_0) } } \hspace{0.1cm}\right ).$$

In den Formeln wurden zwei Varianten der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion verwendet:

$${\rm Q} ({\it x}) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi} }\int_{\it x}^{+\infty}{\rm e}^{ {\it -u}^{\rm 2}/\rm 2}\,{\rm d} {\it u} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\rm erfc} ( {\it x} ) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm \pi} }\int_{\it x}^{+\infty}{\rm e}^{ {\it -u}^{\rm 2} }\,{\rm d} {\it u} \hspace{0.05cm}.$$

Trägt man die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ über den Quotienten $E_{\rm B}/N_0$ in doppelt–logarithmischem Maßstab auf, so liegt die ASK–Kurve stets um $3 \ \rm dB$ rechts von der BPSK–Kurve. Diese Degradation ist auch ein Grund dafür, dass ASK in der Praxis nur selten eingesetzt wird.

Der entscheidende Vorteil von Differential Phase Shift Keying (DPSK) ist es, dass diese auch ohne Kenntnis der Trägerphase demoduliert werden kann. Diese einfache Realisierung erkauft man sich durch eine gegenüber der kohärenten BPSK erhöhten Fehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm B} = {1}/{2}\cdot {\rm e}^{ - {E_{\rm B} }/{N_0 } } .$$

Die inkohärente Demodulation eines BPSK–Signals ist dagegen nicht möglich. Für die inkohärente ASK–Demodulation erhält man:

$$p_{\rm B} = {1}/{2}\cdot {\rm e}^{- {E_{\rm B} }/{ (2N_0) } } .$$

Die hier angegebenen Gleichungen sollen in der Aufgabe 4.8 ausgewertet werden.

$\text{Beispiel 4:}$

Beispielsweise benötigt man bei der BPSK $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 ≈ 8.4 \ \rm dB$, um die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B} = \rm 10^{–4}$ zu erreichen. Allerdings ist hierzu stets eine kohärente Demodulation erforderlich.
Bei der (differentiell–kohärenten) DPSK sind hierfür $9.3 \ \rm dB$ notwendig, also fast ein Dezibel mehr.
Bei der ASK benötigt man sogar $11.4 \ \rm dB$ (bei kohärenter Demodulation) bzw. $12.3 \ \rm dB$ (bei inkohärenter Demodulation).

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.7: Spektren von ASK und BPSK

Aufgabe 4.7Z: Signalformen bei ASK, BPSK und DPSK

Aufgabe 4.8: Fehlerwahrscheinlichkeiten

Aufgabe 4.8Z: BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit

Aufgabe 4.9: Costas–Regelschleife