Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 1.3: Kanalmodelle BSC–BEC–BSEC–AWGN

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[[Datei:P_ID2383__KC_A_1_3_neu.png|right|frame|BEEC und dessen Bezug zum AWGN–Modell]]
Im Theorieteil zu diesem Kapitel werden die folgenden digitalen Kanalmodelle behandelt:
*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Channel_.E2.80.93_BSC|Binary Symmetric Channel]](BSC),
*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Erasure_Channel_.E2.80.93_BEC|Binary Erasure Channel]](BEC),
*[[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen#Binary_Symmetric_Error_.26_Erasure_Channel_.E2.80.93_BSEC|Binary Symm. Error & Erasure Ch.]](BSEC).
Die obere Grafik zeigt das BSEC–Modell. Daraus lassen sich auch die beiden anderen Kanalmodelle ableiten:
*Mit λ = 0 ergibt sich das BSC–Modell.
*Mit $\varepsilon = 0$ ergibt sich das BEC–Modell.
Die untere Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen dem BSEC–Modell und dem analogen AWGN–Kanal- modell. Um Verwechslungen zu vermeiden, bezeichnen wir das (analoge) Ausgangssignal des AWGN–Kanals mit $y_{\rm A}$, wobei mit dem Rauschterm n gilt: $y_{\rm A}$ = ''x̃'' + n.

Die Tilde weist auf die bipolare Beschreibung des Digitalsignals hin. Es gilt ''x̃'' = +1, falls x = 0, und ''x̃'' = –1, falls x = 1.

Man erkennt die ternäre Ausgangsgröße y $\in$ {0, 1, E}, die sich aus dem AWGN–Modell durch die Unterteilung in drei Bereiche ergibt. Hierzu werden die Entscheiderschwellen G0 und G1 benötigt.

y = E (''Erasure'') sagt aus, dass die Entscheidung so unsicher ist, dass als Ergebnis weder y = 0 noch y = 1 gerechtfertigt erscheint. In deutschen Fachbüchern spricht man von einer ''Auslöschung''.

''Hinweis:''
Die Aufgabe bezieht sich auf das [[Kanalcodierung/Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen|Kanalmodelle_und_Entscheiderstrukturen]]. Die Streuung des AWGN–Rauschens n wird für die gesamte Aufgabe zu σ = 0.4 angenommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße n größer ist als A oder kleiner als –A, ergibt sich mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral Q(x) wie folgt:
:$${\rm Pr}(n > A) = {\rm Pr}(n < -A) = {\rm Q}(A/\sigma)\hspace{0.05cm}.$$
Es folgen noch einige Zahlenwerte der Q–Funktion:
:$$ {\rm Q}(0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 50\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(0.5) \ = \ 30.85\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1) \ = \ 15.87\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(1.5) \ = \ 6.68\%\hspace{0.05cm},$$
:$${\rm Q}(2) \hspace{-0.1cm} \ = \  \hspace{-0.1cm} 2.28\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(2.5) \ = \ 0.62\%\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3) \ = \ 0.14\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(3.5) \ = \ 0.02\% \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm Q}(4) \approx 0 \hspace{0.05cm}.$$
Bitte beachten Sie weiter: Ausgehend vom AWGN–Kanal ist die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0$ eigentlich nicht möglich. Für diese Aufgabe behelfen wir uns dadurch, dass alle Wahrscheinlichkeiten in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden sollen. Damit kann $\varepsilon < 0.5 · 10^-4$ durch $\varepsilon \approx 0$ angenähert werden.


===Fragebogen===

<quiz display=simple>
{Durch welche Entscheiderschwelle(n) entsteht das BSC–Modell?
|type="[]"}
+ Eine Entscheiderschwelle bei G = 0.
- Zwei symmetrische Entscheiderschwellen bei ±G.
- Eine Entscheiderschwelle bei $G_{1} = 0$ und eine zweite bei $G_{2} = 0.5$.

{Wie groß ist die BSC–Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ mit $sigma$ = 0.4?
|type="{}"}
$varepsilon \ = \ $ { 0,62 3% } $\ \rm %$

{Multiple-Choice Frage
|type="[]"}
- Falsch
+ Richtig

{Input-Box Frage
|type="{}"}
$\alpha$ = { 0.3 }



{Multiple-Choice Frage
|type="[]"}
- Falsch
+ Richtig

{Input-Box Frage
|type="{}"}
$\alpha$ = { 0.3 }

</quiz>

===Musterlösung===
{{ML-Kopf}}
'''1.'''
'''2.'''
'''3.'''
'''4.'''
'''5.'''
'''6.'''
'''7.'''
{{ML-Fuß}}



[[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^1.2 Kanalmodelle und Entscheiderstrukturen
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