Quelltext der Seite Aufgaben:Aufgabe 1.2: Signalklassifizierung

{{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Klassifizierung von Signalen}}
==Aufgabe zu [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen|Klassifizierung von Signalen]]==
[[Datei:P_ID341_Sig_A_1_2.png|right|Vorgegebene Signalverläufe]]
Nebenstehend sind drei Signalverläufe dargestellt:
*Das Signal <math>x_1(t)</math> wird genau zum Zeitpunkt $t = 0$ eingeschaltet und besitzt für $t > 0$ den Wert $1\,\text{V}$.
*Das rote Signal <math>x_2(t)</math> ist für $t < 0$ identisch $0$, springt bei $t = 0$ auf $1\,\text{V}$ an und fällt danach mit der Zeitkonstanten $1\,\text{ms}$ ab. Für $t > 0$ gilt:

:<math>x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}.</math>

*Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten $t$:

:<math>x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|t|}/(1\,\text{ms})}.</math>


Diese drei Signale sollen nun von Ihnen nach den folgenden Kriterien klassifiziert werden:
*deterministisch bzw. stochastisch,
*kausal bzw. akausal,
*energiebegrenzt bzw. leistungsbegrenzt,
*wertkontinuierlich bzw. wertdiskret,
*zeitkontinuierlich bzw. zeitdiskret.


===Fragebogen zu &bdquo;Aufgabe 1.2: &nbsp; Signalklassifizierung&rdquo;===

<quiz display=simple>
{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
|type="[]"}
+ Alle hier betrachteten Signale sind deterministisch.
- Alle hier betrachteten Signale sind von stochastischer Natur.
+ Es handelt sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
- Es handelt sich stets um wertkontinuierliche Signale.

{Welche Signale sind gemäß der Definition im Theorieteil kausal?
|type="[]"}
+ <math>x_1(t)</math>
+ <math>x_2(t)</math>
- <math>x_3(t)</math>

{Berechnen Sie die auf den Einheitswiderstand R = 1 Ω bezogene Energie <math>E_2</math> des Signals <math>x_2(t)</math>. Wie groß ist die Leistung <math>P_2</math> dieses Signals?
|type="{}"}
<math>E_2 = </math>{ 5_5 } · 10 ^ ({ -4_5 }) V&sup2;s

<math>P_2 = </math>{ 0. } · 10 ^({ 00_5 }) Vs

{Welche der Signale besitzen eine endliche Energie?
|type="[]"}
- <math>x_1(t)</math>
+ <math>x_2(t)</math>
+ <math>x_3(t)</math>

</quiz>

===Musterlösung zu "A1.1 Musiksignale"===
{{ML-Kopf}}
'''1.'''  Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden; sie sind deshalb auch deterministisch. Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten $t$ eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten. Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale.

Die Signalamplituden von <math>x_2(t)</math> und <math>x_3(t)</math> können alle beliebigen Werte zwischen $0$ und $1\,\text{V}$ annehmen; sie sind deshalb wertkontinuierlich. 

Dagegen sind beim Signal <math>x_1(t)</math> nur die zwei Signalwerte $0$ und $1\,\text{V}$ möglich, und es liegt ein wertdiskretes Signal vor. Zutreffend sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.


'''2.''' Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten $t < 0$ nicht existiert bzw. identisch $0$ ist. Dies gilt für die <u>beiden ersten Signale</u> <math>x_1(t)</math> und <math>x_2(t)</math>. Dagegen gehört <math>x_3(t)</math> zur Klasse der akausalen Signale.


'''3.'''  Nach der allgemeinen Definition gilt:

<math>E_2 = \lim_{T_M \to \infty}\int_{-{T_M}/{2}}^{{T_M}/{2}} x_2^{2}(t)dt</math>

Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze 0 und es kann auf die Grenzwertbildung verzichtet werden. Man erhält:
 
<math>E_2 = \int_{0}^{\infty}(1V)^{2} \cdot e^{-\frac{2t}{1ms}} dt = 5 \cdot 10^{-4} V^{2}s </math>

Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein. Daraus folgt P2 = 0.


'''4.'''  Wie bereits unter Punkt 3. berechnet wurde, besitzt <math>x_2(t)</math> eine endliche Energie: 

<math>E_2 = 5 \cdot 10^{-4} V^2s</math>. 

Die Energie des Signals <math>x_3(t)</math> ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich t < 0 den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich t > 0. 
Also ist

<math>E_3 = 10^{-3} V^2s</math>  

⇒  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3.

Beim Signal <math>x_1(t)</math> divergiert das Energieintegral: 

<math>E_1 \rightarrow \infty</math>. 

Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf 

<math>P_1 = 0.5 V^2</math> 

und ist dementsprechend leistungsbegrenzt. Das Ergebnis berücksichtigt, dass das Signal in der Hälfte der Zeit ($t < 0$) identisch $0$ ist.

{{ML-Fuß}}

__NOEDITSECTION__
[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^1. Grundbegriffe der Nachrichtentechnik^]]