Aufgaben:Aufgabe 5.2: Fehlerkorrelationsfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Zwei direkt aufeinanderfolgende Bitfehler werden somit durch den Fehlerabstand $a = 1$ gekennzeichnet. | + | Zwei direkt aufeinanderfolgende Bitfehler werden somit durch den Fehlerabstand $a = 1$ gekennzeichnet. |
| − | Die Tabelle zeigt beispielhafte Werte der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a = k)$ sowie der Fehlerkorrelationsfunktion $\varphi_e(k)$. Einige Angaben fehlen in der Tabelle. Diese Werte sollen aus den gegebenen Werten berechnet werden. | + | Die Tabelle zeigt beispielhafte Werte der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a = k)$ sowie der Fehlerkorrelationsfunktion $\varphi_e(k)$. |
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| + | :$$\varphi_{e}(k = 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm | ||
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| + | '''(4)''' Der FKF–Wert $\varphi_e(k = 2)$ kann (näherungsweise) folgendermaßen interpretiert werden: | ||
| + | :$$\varphi_{e}(k = 2) ={\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 | ||
| + | \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot p_{\rm M} \hspace{0.3cm} | ||
| + | \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 | ||
| + | \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) = \frac{\varphi_{e}(k | ||
| + | = 2)}{p_{\rm M}} = \frac{0.0267}{0.1} = 0.267\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | Diese Wahrscheinlichkeit setzt sich zusammen aus „Zum Zeitpunkt $\nu+1$ tritt ein Fehler auf” sowie „Zum Zeitpunkt $\nu+1$ gibt es keinen Fehler”: | ||
| + | :$${\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = | ||
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| + | \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}( a =2)= 0.267 - 0.3091^2 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1715}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | Bei der Rechnung wurde davon ausgegangen, dass die einzelnen Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig sind. | ||
| + | *Diese Annahme gilt allerdings nur für eine besondere Klasse von Kanalmodellen, die man als „erneuernd” bezeichnet. | ||
| + | *Das hier betrachtete Bündelfehlermodell erfüllt diese Bedingung nicht. | ||
| + | *Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(a = 2) = 0.1675$ weicht deshalb vom hier berechneten Wert $(0.1715)$ geringfügig ab. | ||
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Aktuelle Version vom 25. März 2019, 12:33 Uhr
Wahrscheinlichkeiten der Fehlerabstände und FKF
Zur Charakterisierung von digitalen Kanalmodellen verwendet man unter anderem
- die Fehlerkorrelationsfunktion (FKF)
- $$\varphi_{e}(k) = {\rm E}\big[e_{\nu} \cdot e_{\nu + k}\big]\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k \ge 0\hspace{0.05cm},$$
- die Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten
- $${\rm Pr}( a =k) \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} k \ge 1\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei bezeichnen:
- $〈e_{\rm \nu}〉$ ist die Fehlerfolge mit $e_{\rm \nu} ∈ \{0, 1\}$.
- $a$ gibt den Fehlerabstand an.
Zwei direkt aufeinanderfolgende Bitfehler werden somit durch den Fehlerabstand $a = 1$ gekennzeichnet.
Die Tabelle zeigt beispielhafte Werte der Fehlerabstandswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a = k)$ sowie der Fehlerkorrelationsfunktion $\varphi_e(k)$.
- Einige Angaben fehlen in der Tabelle.
- Diese Werte sollen aus den gegebenen Werten berechnet werden.
Hinweis:
- Die Aufgabe behandelt den Lehrstoff des Kapitels Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist gleich dem FKF–Wert für $k = 0$. Wegen $e_{\nu} ∈ \{0, 1\}$ gilt nämlich:
- $$\varphi_{e}(k = 0) = {\rm E}[e_{\nu}^2 ]= {\rm E}[e_{\nu} ]= p_{\rm M} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm M}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.1} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Der mittlere Fehlerabstand ist gleich dem Kehrwert der mittleren Fehlerwahrscheinlichkeit. Das heißt:
- $${\rm E}\big[a\big] = 1/p_{\rm M} \ \underline {= 10}.$$
(3) Nach der Definitionsgleichung und dem Satz von Bayes erhält man folgendes Ergebnis:
- $$\varphi_{e}(k = 1) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm E}[e_{\nu} \cdot e_{\nu + 1}] = {\rm E}[(e_{\nu} = 1) \cdot (e_{\nu + 1}=1)]={\rm Pr}(e_{\nu + 1}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot {\rm Pr}(e_{\nu} = 1) \hspace{0.05cm}.$$
- Die erste Wahrscheinlichkeit ist gleich ${\rm Pr}(a = 1)$ und die zweite Wahrscheinlichkeit ist gleich $p_{\rm M}$:
- $$\varphi_{e}(k = 1) = 0.3091 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 0.0309} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Der FKF–Wert $\varphi_e(k = 2)$ kann (näherungsweise) folgendermaßen interpretiert werden:
- $$\varphi_{e}(k = 2) ={\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) \cdot p_{\rm M} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) = \frac{\varphi_{e}(k = 2)}{p_{\rm M}} = \frac{0.0267}{0.1} = 0.267\hspace{0.05cm}.$$
Diese Wahrscheinlichkeit setzt sich zusammen aus „Zum Zeitpunkt $\nu+1$ tritt ein Fehler auf” sowie „Zum Zeitpunkt $\nu+1$ gibt es keinen Fehler”:
- $${\rm Pr}(e_{\nu + 2}=1 \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} e_{\nu} = 1) = {\rm Pr}( a =1) \cdot {\rm Pr}( a =1) + {\rm Pr}( a =2)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}( a =2)= 0.267 - 0.3091^2 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.1715}\hspace{0.05cm}.$$
Bei der Rechnung wurde davon ausgegangen, dass die einzelnen Fehlerabstände statistisch voneinander unabhängig sind.
- Diese Annahme gilt allerdings nur für eine besondere Klasse von Kanalmodellen, die man als „erneuernd” bezeichnet.
- Das hier betrachtete Bündelfehlermodell erfüllt diese Bedingung nicht.
- Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(a = 2) = 0.1675$ weicht deshalb vom hier berechneten Wert $(0.1715)$ geringfügig ab.
