Aufgaben:Aufgabe 4.Zehn: QPSK–Kanalkapazität: Unterschied zwischen den Versionen
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{Wie lässt sich $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ aus $C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ konstruieren? | {Wie lässt sich $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ aus $C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ konstruieren? | ||
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| − | + Durch Verdopplung: $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ | + | + Durch Verdopplung: $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ und zusätzlich eine Verschiebung nach rechts. |
| − | + | - Durch Verdopplung: $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ und zusätzlich eine Verschiebung nach rechts. | |
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- $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ kann man aus $C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ nicht konstruieren. | - $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ kann man aus $C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ nicht konstruieren. | ||
Version vom 5. November 2021, 18:00 Uhr
Gegeben sind die AWGN–Kanalkapazitätsgrenzkurven für die Modulationsverfahren
- Binary Phase Shift Keying $\rm (BPSK)$,
- Quaternary Phase Shift Keying $\rm (4–PSK$ oder auch $\rm QPSK)$.
Die Kanalkapazitäten $C_\text{BPSK}$ und $C_\text{QPSK}$ geben gleichzeitig die maximale Coderate $R_{\rm max}$ an, mit der bei BPSK (bzw. QPSK) die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B} ≡ 0$ mit geeigneter Kanalcodierung asymptotisch erreichbar ist.
Das obere Diagramm zeigt die Abhängigkeit von der Kenngröße $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$ in $\rm dB$, wobei $E_{\rm B}$ die „Energie pro Informationsbit” angibt.
- Für große $E_{\rm B}/{N_0}$–Werte liefert die BPSK–Kurve die maximale Coderate $R ≈ 1$.
- Aus der QPSK–Kurve kann dagegen bis zu $R ≈ 2$ abgelesen werden.
Die Kapazitätskurven für digitalen Eingang (jeweils mit der Einheit „bit/Symbol”),
- grüne Kurve ⇒ $C_\text{BPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$ und
- blaue Kurve ⇒ $C_\text{QPSK} (E_{\rm B}/{N_0})$
sollen in der Teilaufgabe (3) in Bezug gesetzt werden zu zwei Shannon–Grenzkurven, die jeweils für eine Gaußsche Eingangsverteilung gültig sind:
- $$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2\cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$
- $$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$
Die beiden Kurven geben gleichzeitig die maximale Coderate $R_{\rm max}$ an, mit der durch lange Kanalcodes entsprechend dem Kanalcodierungstheorem eine fehlerfreie Übertragung möglich ist.
- Natürlich gelten für $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$ bzw. $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$ unterschiedliche Randbedingungen.
- Welche, das sollen Sie herausfinden.
Die Abszisse im unteren Diagramm ist dagegen $10 \cdot \lg (E_{\rm S}/{N_0})$ mit der „Energie pro Symbol” $(E_{\rm S})$. Zu erkennen ist, dass die beiden Grenzwerte gegenüber der oberen Darstellung nicht verändert werden:
- $$C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty) = 1 \ \rm bit/Symbol,$$
- $$C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0} \to \infty) = C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0} \to \infty) = 2 \ \rm bit/Symbol.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertdiskretem Eingang.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Maximale Coderate für QAM-Strukturen.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen für
- "Quaternary Phase Shift Keying" $\rm (QPSK)$, und
- vierstufige Quadraturamplitudenmodulation $\rm (4–QAM)$.
Letztere wird auch als π/4–QPSK bezeichnet. Beide sind aus informationstheoretischer Sicht identisch ⇒ Antwort NEIN.
(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:
- Die 4–QAM kann man als zwei BPSK–Konstellationen in orthogonalen Ebenen betrachten, wobei die Energie pro Informationsbit $(E_{\rm B})$ in beiden Fällen gleich ist.
- Da entsprechend der Teilaufgabe (1) die 4–QAM mit der QSPK identisch ist, gilt tatsächlich:
- $$C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0}).$$
(3) In der unteren Grafik sind die beiden angegebenen Shannon–Grenzkurven zusammen mit $C_{\rm BPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ und $C_{\rm QPSK}( E_{\rm B}/{N_0})$ skizziert:
- $$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) ,$$
- $$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) .$$
unterschiedliche Aussagen
Man erkennt aus dieser Skizze: Richtig sind die Lösungsvorschläge 1, 2 und 4.
- Die grün–gestrichelte Kurve $C_1( E_{\rm B}/{N_0})$ gilt für den AWGN–Kanal mit gaußverteiltem Eingang.
- Für die Coderate $R =1$ sind nach dieser Kurve $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$ erforderlich.
- Für $R =2$ benötigt man dagegen $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 5.74\ \rm dB$.
- Die blau–gestrichelte Kurve $C_2( E_{\rm B}/{N_0})$ gibt die Shannon–Grenze für $K=2$ parallele Gaußkanäle an. Hier benötigt man $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0\ \rm dB$ für $R =1$ bzw. $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 1.76\ \rm dB$ für $R =2$.
- Die eindimensionale BPSK liegt im gesamten Bereich unterhalb von $C_1$ und damit natürlich auch unterhalb von $C_2 > C_1$.
- Die zweidimensionale QPSK liegt erwartungsgemäß unter der für sie relevanten Grenzkurve $C_2$. Sie liegt aber im unteren Bereich $($bis nahezu $\text{6 dB)}$ oberhalb von $C_1$.
(4) Die $C_{\rm QPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$–Kurve kann ebenfalls aus $C_{\rm BPSK}( E_{\rm S}/{N_0})$ konstruiert werden und zwar
- zum einen durch Verdopplung:
- $$C_{\rm QPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) ,$$
- sowie durch eine Verschiebung um $3\ \rm dB$ nach rechts:
- $$C_{\rm QPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0}) = 2 \cdot C_{\rm BPSK}(10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}E_{\rm S}/{N_0} - 3\,{\rm dB}) .$$
- Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge. Der zweite Vorschlag berücksichtigt, dass bei QPSK die Energie in einer Dimension nur $E_{\rm S}/2$ beträgt.
