Aufgaben:Aufgabe 2.12: Zur nichtkohärenten Demodulation: Unterschied zwischen den Versionen

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Wir betrachten ein AM–moduliertes Signal:
 
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:$$ s(t) = q(t)  \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ s(t) = q(t)  \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
 
Den Empfänger erreicht aufgrund der Kanallaufzeit das Signal
 
Den Empfänger erreicht aufgrund der Kanallaufzeit das Signal
 
:$$ r(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ r(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$
Die nebenstehende Anordnung erlaubt eine perfekte Demodulation – das heißt $v(t) = q(t)$ – ohne Kenntnis der Phase $Δϕ_T$, allerdings nur dann, wenn das Quellensignal $q(t)$ gewisse Voraussetzungen erfüllt.
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Die skizzierte Anordnung erlaubt eine perfekte Demodulation – das heißt: &nbsp;$v(t) = q(t)$ – ohne Kenntnis der Phase &nbsp;$Δϕ_T$,&nbsp; allerdings nur dann,&nbsp; wenn das Quellensignal &nbsp;$q(t)$&nbsp; gewisse Voraussetzungen erfüllt.
  
 
Die beiden empfängerseitigen Trägersignale lauten:
 
Die beiden empfängerseitigen Trägersignale lauten:
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:$$ z_{\rm 2, \hspace{0.08cm}E}(t)  =  -2 \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
 
:$$ z_{\rm 2, \hspace{0.08cm}E}(t)  =  -2 \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
  
$\rm TP_1$ und $\rm TP_2$ bezeichnen zwei ideale Tiefpässe, deren Grenzfrequenz jeweils gleich der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ ist. Die nichtlineare Funktion $v = g(b)$ soll im Rahmen dieser Aufgabe ermittelt werden.
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$\rm TP_1$&nbsp; und &nbsp;$\rm TP_2$&nbsp; bezeichnen zwei ideale (rechteckförmige) Tiefpässe,&nbsp; deren Grenzfrequenz jeweils gleich der Trägerfrequenz &nbsp;$f_{\rm T}$&nbsp; ist.&nbsp;
  
Als (digitale) Quellensignale werden betrachtet:
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Als Quellensignale werden betrachtet:
* das unipolare Rechtecksgnal $q_1(t)$ mit den dimensionslosen Amplitudenwerten $0$ und $3$,
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# das unipolare Rechtecksgnal &nbsp;$q_1(t)$&nbsp; mit den dimensionslosen Amplitudenwerten &nbsp;$0$&nbsp; und &nbsp;$3$,
* das bipolare Rechtecksignal $q_2(t)$ mit den dimensionslosen Amplitudenwerten $±3$.
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# das bipolare Rechtecksignal &nbsp;$q_2(t)$&nbsp; mit den dimensionslosen Amplitudenwerten &nbsp;$±3$.
  
Diese beiden Signale ergeben hinsichtlich $s(t)$ ein [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|ASK–Signal]] bzw. ein [[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK–Signal]].
 
  
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Diese beiden Signale ergeben hinsichtlich &nbsp;$s(t)$&nbsp;
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#ein &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#ASK_.E2.80.93_Amplitude_Shift_Keying|ASK–Signal]],
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#ein &nbsp;[[Modulationsverfahren/Lineare_digitale_Modulationsverfahren#BPSK_.E2.80.93_Binary_Phase_Shift_Keying|BPSK–Signal]].
  
  
''Hinweise:''
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Die nichtlineare Funktion &nbsp;$v = g(b)$&nbsp; soll im Rahmen dieser Aufgabe ermittelt werden.
*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten|WeitereAM–Variantenn]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die   [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten#Inkoh.C3.A4rente_.28nichtkoh.C3.A4rente.29_Demodulation|Inkohärente (nichtkohärente) Demodulation]].
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*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
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Hinweise:  
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*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten|Weitere AM–Variantenn]].
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*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Weitere_AM–Varianten#Inkoh.C3.A4rente_.28nichtkoh.C3.A4rente.29_Demodulation|Inkohärente (nichtkohärente) Demodulation]].  
 
*Gegeben sind folgende trigonometrischen Umformungen:
 
*Gegeben sind folgende trigonometrischen Umformungen:
:$$ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta)  = 1/2 \cdot \left[ \cos(\alpha - \beta)+ \cos(\alpha + \beta) \right],$$
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:$$ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta)  = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)+ \cos(\alpha + \beta) \big],$$
:$$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)  = 1/2 \cdot \left[ \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \right],$$
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:$$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)  = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \big],$$
:$$ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta)  =  1/2 \cdot \left[ \sin(\alpha - \beta)+ \sin(\alpha + \beta) \right] \hspace{0.05cm}.$$
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{Wie lauten die Signale $b_1(t)$ und $b_2(t)$ in den beiden Zweigen – jeweils nach Multiplizierer und Tiefpass? Welche Aussagen treffen zu?
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+ $b_1(t) = q(t) · \cos(Δϕ_{\rm T})$.
 
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-  $b_1(t) = b_2(t) = q(t)$.
 
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{Welche Werte $b_{\rm min}$ und $b_{\rm max}$ nimmt das Signal $b(t)$ an, wenn am Eingang das unipolare Quellensignal $q_1(t)$ anliegt?
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{Welche Werte &nbsp;$b_{\rm min}$&nbsp; und &nbsp;$b_{\rm max}$&nbsp; nimmt das Signal &nbsp;$b(t)$&nbsp; an,&nbsp; wenn am Eingang das unipolare Quellensignal &nbsp;$q_1(t)$&nbsp; anliegt?
 
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{Wie muss die Kennlinie $v = g(b)$ gewählt werden, damit $v(t) = q(t)$ gilt?
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{Welche Werte $b_{\rm min}$ und $b_{\rm max}$ nimmt das Signal $b(t)$ an, wenn am Eingang das bipolare Quellensignal $q_2(t)$ anliegt?
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{Welche Werte &nbsp;$b_{\rm min}$&nbsp; und &nbsp;$b_{\rm max}$&nbsp; nimmt das Signal &nbsp;$b(t)$&nbsp; an,&nbsp; wenn am Eingang das bipolare Quellensignal &nbsp;$q_2(t)$&nbsp; anliegt?
 
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===Musterlösung===
 
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'''1.'''  Durch Anwendung der auf der Angabenseite gegebenen trigonometrischen Umformungen erhält man unter Berücksichtigung der beiden Tiefpässe (Anteile um die doppelte Trägerfrequenz werden entfernt):
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'''(1)'''&nbsp; Durch Anwendung der auf der Angabenseite gegebenen trigonometrischen Umformungen erhält man unter Berücksichtigung der beiden Tiefpässe&nbsp; <br>(die Anteile um die doppelte Trägerfrequenz werden entfernt):
$$b_1(t)  =  q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) \cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) = q(t) \cdot \cos(\Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm},$$
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:$$b_1(t)  =  q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) \cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) = q(t) \cdot \cos(\Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm},$$
$$ b_2(t)  =  q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) \cdot (-2) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) = q(t) \cdot \sin(\Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
+
:$$ b_2(t)  =  q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) \cdot (-2) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) = q(t) \cdot \sin(\Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
Richtig sind somit die erste und die vierte Antwort.
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*Richtig sind somit&nbsp; <u>die erste und die vierte Antwort</u>.
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'''(2)'''&nbsp;  Die Summe der Quadrate der beiden Teilsignale ergibt:
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:$$ b(t) = b_1^2(t) + b_2^2(t)= q^2(t) \cdot \left( \cos^2(\Delta \phi_{\rm T})+ \sin^2(\Delta \phi_{\rm T})\right) = q^2(t)\hspace{0.05cm}.$$
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*Die möglichen Amplitudenwerte sind somit: &nbsp;
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:$$b_{\rm min}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0},$$
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:$$ b_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline{ =9}.$$
  
  
'''2.'''Die Summe der Quadrate der beiden Teilsignale ergibt:
 
$$ b(t) = b_1^2(t) + b_2^2(t)= q^2(t) \cdot \left( \cos^2(\Delta \phi_{\rm T})+ \sin^2(\Delta \phi_{\rm T})\right) = q^2(t)\hspace{0.05cm}.$$
 
Die möglichen Amplitudenwerte sind somit $b_{min} = 0$ und $b_{max} = 9$.
 
  
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'''(3)'''&nbsp;  Richtig ist der&nbsp; <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
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:$$v=g(b) = \sqrt{b} \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm} v(t) = \sqrt{ q^2(t) } = q(t)\hspace{0.05cm}.$$
  
'''3.''' Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag.
 
$$\upsilon(t) = \sqrt{ q^2(t) } = q(t)\hspace{0.05cm}.$$
 
  
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'''(4)'''&nbsp;  Das Ergebnis&nbsp; $b(t) = q^2(t)$ – siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; – führt hier zum Ergebnis: 
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:$$b_{\rm min}\hspace{0.15cm}\underline{ = 9},$$
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:$$b_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline{ =9}.$$
  
'''4.''' Das Ergebnis $b(t) = q^2(t)$ – siehe Teilaufgabe b) – führt hier zu $b_{min} = 9$ und $b_{max} = 9$. Dies zeigt, dass der hier betrachtete Demodulator nur dann funktioniert, wenn für alle Zeiten $q(t) ≥ 0$ oder $q(t) ≤ 0$ gilt und dies dem Empfänger auch bekannt ist.
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Dies zeigt,&nbsp; dass der hier betrachtete Demodulator nur dann funktioniert,  
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*wenn für alle Zeiten &nbsp; $q(t) ≥ 0$ &nbsp; oder &nbsp; $q(t) ≤ 0$ &nbsp; gilt  
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*und dies dem Empfänger auch bekannt ist.
  
 
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Aktuelle Version vom 18. Februar 2022, 17:26 Uhr

ASK–Demodulation
(nichtkohärent)

Wir betrachten ein AM–moduliertes Signal:

$$ s(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

Den Empfänger erreicht aufgrund der Kanallaufzeit das Signal

$$ r(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$

Die skizzierte Anordnung erlaubt eine perfekte Demodulation – das heißt:  $v(t) = q(t)$ – ohne Kenntnis der Phase  $Δϕ_T$,  allerdings nur dann,  wenn das Quellensignal  $q(t)$  gewisse Voraussetzungen erfüllt.

Die beiden empfängerseitigen Trägersignale lauten:

$$ z_{\rm 1, \hspace{0.08cm}E}(t) = 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm},$$
$$ z_{\rm 2, \hspace{0.08cm}E}(t) = -2 \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$

$\rm TP_1$  und  $\rm TP_2$  bezeichnen zwei ideale (rechteckförmige) Tiefpässe,  deren Grenzfrequenz jeweils gleich der Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  ist. 

Als Quellensignale werden betrachtet:

  1. das unipolare Rechtecksgnal  $q_1(t)$  mit den dimensionslosen Amplitudenwerten  $0$  und  $3$,
  2. das bipolare Rechtecksignal  $q_2(t)$  mit den dimensionslosen Amplitudenwerten  $±3$.


Diese beiden Signale ergeben hinsichtlich  $s(t)$ 

  1. ein  ASK–Signal,
  2. ein  BPSK–Signal.


Die nichtlineare Funktion  $v = g(b)$  soll im Rahmen dieser Aufgabe ermittelt werden.



Hinweise:

$$ \cos(\alpha) \cdot \cos(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)+ \cos(\alpha + \beta) \big],$$
$$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \cos(\alpha - \beta)- \cos(\alpha + \beta) \big],$$
$$ \sin(\alpha) \cdot \cos(\beta) = 1/2 \cdot \big[ \sin(\alpha - \beta)+ \sin(\alpha + \beta) \big] \hspace{0.05cm}.$$


Fragebogen

1

Wie lauten die Signale  $b_1(t)$  und  $b_2(t)$  in den beiden Zweigen – jeweils nach Multiplizierer und Tiefpass?  Welche Aussagen treffen zu?

$b_1(t) = q(t) · \cos(Δϕ_{\rm T})$.
$b_2(t) = q(t) · \cos(Δϕ_{\rm T})$.
$b_1(t) = q(t) · \sin(Δϕ_{\rm T})$.
$b_2(t) = q(t) · \sin(Δϕ_{\rm T})$.
$b_1(t) = b_2(t) = q(t)$.

2

Welche Werte  $b_{\rm min}$  und  $b_{\rm max}$  nimmt das Signal  $b(t)$  an,  wenn am Eingang das unipolare Quellensignal  $q_1(t)$  anliegt?

$b_{\rm min} \ = \ $

$b_{\rm max} \ = \ $

3

Wie muss die Kennlinie  $v = g(b)$  gewählt werden,  damit  $v(t) = q(t)$  gilt?

$v=g(b) = b^2$.
$v=g(b) = \sqrt{b}$.
$v=g(b) = \arctan(b).$

4

Welche Werte  $b_{\rm min}$  und  $b_{\rm max}$  nimmt das Signal  $b(t)$  an,  wenn am Eingang das bipolare Quellensignal  $q_2(t)$  anliegt?

$b_{\rm min} \ = \ $

$b_{\rm max} \ = \ $


Musterlösung

(1)  Durch Anwendung der auf der Angabenseite gegebenen trigonometrischen Umformungen erhält man unter Berücksichtigung der beiden Tiefpässe 
(die Anteile um die doppelte Trägerfrequenz werden entfernt):

$$b_1(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) \cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t) = q(t) \cdot \cos(\Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm},$$
$$ b_2(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t + \Delta \phi_{\rm T}) \cdot (-2) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t) = q(t) \cdot \sin(\Delta \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$
  • Richtig sind somit  die erste und die vierte Antwort.


(2)  Die Summe der Quadrate der beiden Teilsignale ergibt:

$$ b(t) = b_1^2(t) + b_2^2(t)= q^2(t) \cdot \left( \cos^2(\Delta \phi_{\rm T})+ \sin^2(\Delta \phi_{\rm T})\right) = q^2(t)\hspace{0.05cm}.$$
  • Die möglichen Amplitudenwerte sind somit:  
$$b_{\rm min}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0},$$
$$ b_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline{ =9}.$$


(3)  Richtig ist der  zweite Lösungsvorschlag:

$$v=g(b) = \sqrt{b} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} v(t) = \sqrt{ q^2(t) } = q(t)\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Das Ergebnis  $b(t) = q^2(t)$ – siehe Teilaufgabe  (2)  – führt hier zum Ergebnis:

$$b_{\rm min}\hspace{0.15cm}\underline{ = 9},$$
$$b_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline{ =9}.$$

Dies zeigt,  dass der hier betrachtete Demodulator nur dann funktioniert,

  • wenn für alle Zeiten   $q(t) ≥ 0$   oder   $q(t) ≤ 0$   gilt
  • und dies dem Empfänger auch bekannt ist.