Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Karten ziehen: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten herausgezogen. Für Frage (1) wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte | + | Aus einem Kartenspiel mit $32$ Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten herausgezogen. Für Frage '''(1)''' wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte |
*diese in den Stapel zurückgelegt wird, | *diese in den Stapel zurückgelegt wird, | ||
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*anschließend die nächste Karte gezogen wird. | *anschließend die nächste Karte gezogen wird. | ||
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| − | Im Folgenden bezeichnen wir mit $A_i$ das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt $i$ gezogene Karte ein Ass ist. Hierbei ist $i = 1, 2, 3$ zu setzen. Das Komplementärereignis sagt | + | Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilfragen ab '''(2)''' davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“). |
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:$$ p_{\rm 1} = \rm Pr (3 \hspace{0.1cm} Asse) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \rm ) = \rm \big({1}/{8}\big)^3 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.002}.$$ | :$$ p_{\rm 1} = \rm Pr (3 \hspace{0.1cm} Asse) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \rm ) = \rm \big({1}/{8}\big)^3 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.002}.$$ | ||
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:$$ p_{\rm 2} = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \cap \it A_{\rm 3} \rm ) = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} |\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} |( \it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \rm )).$$ | :$$ p_{\rm 2} = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \cap \it A_{\rm 3} \rm ) = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} |\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} |( \it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \rm )).$$ | ||
| − | Die bedingten Wahrscheinlichkeiten können nach der klassischen Definition berechnet werden. Man erhält somit das Ergebnis & | + | *Die bedingten Wahrscheinlichkeiten können nach der klassischen Definition berechnet werden. |
| + | *Man erhält somit das Ergebnis $k/m$ $($bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten$)$: | ||
:$$p_{\rm 2} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$ | :$$p_{\rm 2} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$ | ||
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:$$p_{\rm 3} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$ | :$$p_{\rm 3} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$ | ||
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| − | Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein? Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht. Damit erhält man für die Summe | + | '''(4)''' Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken. ⇒ $p_{\rm 4} = \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) $. |
| + | * Die zugehörigen Ereignisse ${\rm Pr}(D_1)$, ${\rm Pr}(D_2)$ und ${\rm Pr}(D_3)$ sind disjunkt: | ||
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| + | :$${\rm Pr} (D_1) = {\rm Pr} (A_1 \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$ | ||
| + | :$${\rm Pr} (D_2) = {\rm Pr} ( \overline{A_1} \cap A_2 \cap \overline{A_3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot\frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$ | ||
| + | :$${\rm Pr} (D_3) = {\rm Pr} ( \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap A_3) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$ | ||
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| + | *Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein? | ||
| + | *Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht. | ||
| + | *Damit erhält man für die Summe: | ||
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| + | :$$p_{\rm 4}= {\rm Pr} (D_1 \cup D_2 \cup D_3) \rm \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$ | ||
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| − | '''(5)''' Definiert man die Ereignisse | + | '''(5)''' Definiert man die Ereignisse $E_i =$ »Es werden genau $i$ Asse gezogen« mit den Indizes $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$, |
| − | :$$p_{\rm 5} = \rm Pr (\it | + | *so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollständiges System. |
| + | *Deshalb gilt: | ||
| + | :$$p_{\rm 5} = \rm Pr ({\it E}_2) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$ | ||
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Aktuelle Version vom 16. August 2021, 16:11 Uhr
Das gewünschte Ergebnis
„Drei Asse werden gezogen”
„Drei Asse werden gezogen”
Aus einem Kartenspiel mit $32$ Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten herausgezogen. Für Frage (1) wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte
- diese in den Stapel zurückgelegt wird,
- dieser neu gemischt wird und
- anschließend die nächste Karte gezogen wird.
Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilfragen ab (2) davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).
- Im Folgenden bezeichnen wir mit $A_i$ das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt $i$ gezogene Karte ein Ass ist.
Hierbei ist $i = 1,\ 2,\ 3$ zu setzen. - Das Komplementärereignis $\overline{\it A_i}$ sagt aus, dass zum Zeitpunkt $i$ kein Ass gezogen wird, sondern irgendeine andere Karte.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen.
- Wiederholt wird hier insbesondere der Lehrstoff des Kapitels Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
- Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Werden die Karten nach dem Ziehen zurückgelegt, so ist zu jedem Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit für ein Ass gleich groß $(1/8)$:
- $$ p_{\rm 1} = \rm Pr (3 \hspace{0.1cm} Asse) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \rm ) = \rm \big({1}/{8}\big)^3 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.002}.$$
(2) Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:
- $$ p_{\rm 2} = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \cap \it A_{\rm 3} \rm ) = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} |\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} |( \it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \rm )).$$
- Die bedingten Wahrscheinlichkeiten können nach der klassischen Definition berechnet werden.
- Man erhält somit das Ergebnis $k/m$ $($bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten$)$:
- $$p_{\rm 2} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$
- $p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.
(3) Analog zur Teilaufgabe (2) erhält man hier:
- $$p_{\rm 3} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$
(4) Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken. ⇒ $p_{\rm 4} = \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) $.
- Die zugehörigen Ereignisse ${\rm Pr}(D_1)$, ${\rm Pr}(D_2)$ und ${\rm Pr}(D_3)$ sind disjunkt:
- $${\rm Pr} (D_1) = {\rm Pr} (A_1 \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
- $${\rm Pr} (D_2) = {\rm Pr} ( \overline{A_1} \cap A_2 \cap \overline{A_3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot\frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
- $${\rm Pr} (D_3) = {\rm Pr} ( \overline{A_1} \cap \overline{A_2} \cap A_3) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$
- Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein?
- Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.
- Damit erhält man für die Summe:
- $$p_{\rm 4}= {\rm Pr} (D_1 \cup D_2 \cup D_3) \rm \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$
(5) Definiert man die Ereignisse $E_i =$ »Es werden genau $i$ Asse gezogen« mit den Indizes $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$,
- so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollständiges System.
- Deshalb gilt:
- $$p_{\rm 5} = \rm Pr ({\it E}_2) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$
