Aufgaben:Aufgabe 1.2: Signalklassifizierung: Unterschied zwischen den Versionen

Vorgegebene Signalverläufe

Nebenstehend sind drei Signalverläufe dargestellt:

Das blaue Signal $x_1(t)$ wird zum Zeitpunkt $t = 0$ eingeschaltet und besitzt für $t > 0$ den Wert $1\,\text{V}$.
Das rote Signal $x_2(t)$ ist für $t < 0$ identisch Null, springt bei $t = 0$ auf $1\,\text{V}$ und fällt danach mit der Zeitkonstanten $1\,\text{ms}$ ab. Für $t > 0$ gilt:

\[x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}.\]

Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten $t$:

\[x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/(1\,\text{ms})}.\]

Diese drei Signale sollen nun von Ihnen nach den folgenden Kriterien klassifiziert werden:

deterministisch bzw. stochastisch,
kausal bzw. akausal,
energiebegrenzt bzw. leistungsbegrenzt,
wertkontinuierlich bzw. wertdiskret,
zeitkontinuierlich bzw. zeitdiskret.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Klassifizierung von Signalen.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Zutreffend sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden; sie sind deshalb auch deterministisch.
Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten $t$ eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten. Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
Die Signalamplituden von $x_2(t)$ und $x_3(t)$ können alle beliebigen Werte zwischen $0$ und $1\,\text{V}$ annehmen; sie sind deshalb wertkontinuierlich.
Dagegen sind beim Signal $x_1(t)$ nur die zwei Signalwerte $0$ und $1\,\text{V}$ möglich; es liegt ein wertdiskretes Signal vor.

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten $t < 0$ nicht existiert bzw. identisch Null ist. Dies gilt für die Signale $x_1(t)$ und $x_2(t)$.
Dagegen gehört $x_3(t)$ zur Klasse der akausalen Signale.

(3) Nach der allgemeinen Definition gilt:

\[E_2=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x^2_2(t)\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t.\]

Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze Null und die obere Integrationsgrenze $+\infty$. Man erhält:

\[E_2=\int^\infty_0 (1{\rm V})^2\cdot{\rm e}^{-2t/(1\rm ms)}\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 5 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm} \rm V^2s \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} \rm V^2s}. \]

Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein. Daraus folgt $P_2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.

(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Wie bereits in der letzten Teilaufgabe berechnet wurde, besitzt $x_2(t)$ eine endliche Energie:

$$E_2= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}. $$

Die Energie des Signals $x_3(t)$ ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich $t < 0$ den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich $t > 0$. Also ist

$$E_3= 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}.$$

Beim Signal $x_1(t)$ divergiert das Energieintegral: $E_1 \rightarrow \infty$. Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf ⇒ $P_1= 0.5 \hspace{0.1cm} {\rm V}^2$.
Das Ergebnis berücksichtigt auch, dass das Signal $x_1(t)$ in der Hälfte der Zeit $(t < 0)$ identisch Null ist.
Das Signal $x_1(t)$ ist dementsprechend leistungsbegrenzt.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Signaldarstellung/Klassifizierung von Signalen}}
-[[Datei:P_ID341_Sig_A_1_2.png|right|Vorgegebene Signalverläufe]]
+[[Datei:P_ID341_Sig_A_1_2.png|right|frame|Vorgegebene Signalverläufe]]
 Nebenstehend sind drei Signalverläufe dargestellt:
-*Das Signal <math>x_1(t)</math> wird genau zum Zeitpunkt $t = 0$ eingeschaltet und besitzt für $t > 0$ den Wert $1\,\text{V}$.
+*Das blaue Signal&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; wird zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; eingeschaltet und besitzt für&nbsp; $t > 0$&nbsp; den Wert&nbsp; $1\,\text{V}$.
-*Das rote Signal <math>x_2(t)</math> ist für $t < 0$ identisch $0$, springt bei $t = 0$ auf $1\,\text{V}$ an und fällt danach mit der Zeitkonstanten $1\,\text{ms}$ ab. Für $t > 0$ gilt:
+*Das rote Signal&nbsp; <math>x_2(t)</math>&nbsp; ist für&nbsp; $t < 0$&nbsp; identisch Null, springt bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; auf&nbsp; $1\,\text{V}$&nbsp; und fällt danach mit der Zeitkonstanten&nbsp; $1\,\text{ms}$&nbsp; ab. Für&nbsp; $t > 0$&nbsp; gilt:
-:<math>x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}.</math>
+::<math>x_2(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {t}/(1\,\text{ms})}.</math>
-*Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten $t$:
+*Entsprechend gilt für das grün dargestellte Signal für alle Zeiten&nbsp; $t$:
-:<math>x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|t|}/(1\,\text{ms})}.</math>
+::<math>x_3(t) = 1\,\text{V} \cdot {\rm e}^{- {|\hspace{0.05cm}t\hspace{0.05cm}|}/(1\,\text{ms})}.</math>
 Diese drei Signale sollen nun von Ihnen nach den folgenden Kriterien klassifiziert werden:
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 *wertkontinuierlich bzw. wertdiskret,
 *zeitkontinuierlich bzw. zeitdiskret.
 ''Hinweis:''
-* Die Aufgabe geört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen|Klassifizierung von Signalen]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Klassifizierung_von_Signalen|Klassifizierung von Signalen]].
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
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 - <math>x_3(t)</math>.
-{Berechnen Sie die auf den Einheitswiderstand $R = 1 Ω$ bezogene Energie <math>E_2</math> des Signals <math>x_2(t)</math>. Wie groß ist die Leistung <math>P_2</math> dieses Signals?
+{Berechnen Sie die auf den Einheitswiderstand&nbsp; $R = 1\  Ω$&nbsp; bezogene Energie&nbsp; <math>E_2</math>&nbsp; des Signals&nbsp; <math>x_2(t)</math>. <br>Wie groß ist die Leistung&nbsp; <math>P_2</math>&nbsp; dieses Signals?
 |type="{}"}
-<math>E_2 = </math>{ 0.5 5% }  $&nbsp; \cdot 10^{-3}\,\text{V}^2\text{s}$
+<math>E_2 \ = \ </math>{ 0.5 5% }  $\ \cdot 10^{-3}\,\text{V}^2\text{s}$
-<math>P_2 = </math>{ 0. }  $&nbsp; \cdot \text{Vs}$
+<math>P_2 \ = \  </math>{ 0. }  $\ \cdot \text{Vs}$
 {Welche der Signale besitzen eine endliche Energie?
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Zutreffend sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp;  Zutreffend sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
-*Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden; sie sind deshalb auch deterministisch.
+*Alle Signale können in analytischer Form vollständig beschrieben werden;&nbsp; sie sind deshalb auch deterministisch.
-*Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten $t$ eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten. Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
+*Alle Signale sind außerdem für alle Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; eindeutig definiert, nicht nur zu gewissen Zeitpunkten.&nbsp; Deshalb handelt es sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
-*Die Signalamplituden von <math>x_2(t)</math> und <math>x_3(t)</math> können alle beliebigen Werte zwischen $0$ und $1\,\text{V}$ annehmen; sie sind deshalb wertkontinuierlich.
+*Die Signalamplituden von&nbsp; <math>x_2(t)</math>&nbsp; und&nbsp; <math>x_3(t)</math>&nbsp; können alle beliebigen Werte zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1\,\text{V}$&nbsp; annehmen;&nbsp; sie sind deshalb wertkontinuierlich.
-*Dagegen sind beim Signal <math>x_1(t)</math> nur die zwei Signalwerte $0$ und $1\,\text{V}$ möglich, und es liegt ein wertdiskretes Signal vor.
+*Dagegen sind beim Signal&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; nur die zwei Signalwerte&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1\,\text{V}$&nbsp; möglich;&nbsp; es liegt ein wertdiskretes Signal vor.
-'''2.''' Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten $t < 0$ nicht existiert bzw. identisch $0$ ist. Dies gilt für die <u>beiden ersten Signale</u> <math>x_1(t)</math> und <math>x_2(t)</math>. Dagegen gehört <math>x_3(t)</math> zur Klasse der akausalen Signale.
+'''(2)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
+*Ein Signal bezeichnet man als kausal, wenn es für Zeiten&nbsp; $t < 0$&nbsp; nicht existiert bzw. identisch Null ist.&nbsp; Dies gilt für die Signale&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; und&nbsp; <math>x_2(t)</math>.
+*Dagegen gehört&nbsp; <math>x_3(t)</math>&nbsp; zur Klasse der akausalen Signale.
-'''3.'''  Nach der allgemeinen Definition gilt:
-<math>E_2=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x^2_2(t)\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t.</math>
-Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze $0$ und es kann auf die Grenzwertbildung verzichtet werden. Man erhält:
+'''(3)'''&nbsp;  Nach der allgemeinen Definition gilt:
+::<math>E_2=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x^2_2(t)\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t.</math>
+Im vorliegenden Fall ist die untere Integrationsgrenze Null und die obere Integrationsgrenze&nbsp; $+\infty$.&nbsp; Man erhält:
-<math>E_2=\int^\infty_0 (1{\rm V})^2\cdot{\rm e}^{-2t/(1\rm ms)}\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 5 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm} \rm V^2s  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} \rm V^2s}.  </math>
+::<math>E_2=\int^\infty_0 (1{\rm V})^2\cdot{\rm e}^{-2t/(1\rm ms)}\,\hspace{0.1cm}{\rm d}t = 5 \cdot 10^{-4}\hspace{0.1cm} \rm V^2s  \hspace{0.15cm}\underline{= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} \rm V^2s}.  </math>
+Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein.&nbsp; Daraus folgt&nbsp; $P_2\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}$.
-Bei endlicher Energie ist die zugehörige Leistung stets verschwindend klein. Daraus folgt $P_2 = 0$.
-'''4.'''  Wie bereits in der letzten Teilaufgabe berechnet wurde, besitzt <math>x_2(t)</math> eine endliche Energie:&nbsp;
+'''(4)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-$E_2= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2}s.  $
+*Wie bereits in der letzten Teilaufgabe berechnet wurde, besitzt&nbsp; <math>x_2(t)</math>&nbsp; eine endliche Energie:&nbsp;
+:$$E_2= 0.5 \cdot 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}.  $$
-Die Energie des Signals <math>x_3(t)</math> ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich $t < 0$ den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich $t > 0$. Also ist $E_3= 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}$ &nbsp; ⇒  &nbsp; Richtig sind hier die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>.
+*Die Energie des Signals&nbsp; <math>x_3(t)</math>&nbsp; ist doppelt so groß, da nun der Zeitbereich&nbsp; $t < 0$&nbsp; den gleichen Beitrag liefert wie der Zeitbereich&nbsp; $t > 0$.&nbsp; Also ist
+:$$E_3= 10^{-3}\hspace{0.1cm} {\rm V^2s}.$$
-Beim Signal <math>x_1(t)</math> divergiert das Energieintegral: $E_1 \rightarrow \infty$. Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf &nbsp;&rArr;&nbsp;  $P_1= 0.5 \hspace{0.1cm} {\rm V}^2$ und ist dementsprechend <u>leistungsbegrenzt</u>. Das Ergebnis berücksichtigt, dass das Signal <math>x_1(t)</math> in der Hälfte der Zeit ($t < 0$) identisch $0$ ist.
+*Beim Signal&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; divergiert das Energieintegral:&nbsp; $E_1 \rightarrow \infty$. Dieses Signal weist eine endliche Leistung auf &nbsp; &rArr; &nbsp;  $P_1= 0.5 \hspace{0.1cm} {\rm V}^2$.
+*Das Ergebnis berücksichtigt auch, dass das Signal&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; in der Hälfte der Zeit&nbsp; $(t < 0)$&nbsp; identisch Null ist.
+* Das Signal&nbsp; <math>x_1(t)</math>&nbsp; ist dementsprechend&nbsp;  <u>leistungsbegrenzt</u>.
 {{ML-Fuß}}

	Alle hier betrachteten Signale sind deterministisch.
	Alle hier betrachteten Signale sind von stochastischer Natur.
	Es handelt sich stets um zeitkontinuierliche Signale.
	Es handelt sich stets um wertkontinuierliche Signale.

	\(x_1(t)\),
	\(x_2(t)\),
	\(x_3(t)\).

	\(x_1(t)\),
	\(x_2(t)\),
	\(x_3(t)\).

Aufgaben:Aufgabe 1.2: Signalklassifizierung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 9. April 2021, 12:43 Uhr

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