Stochastische Signaltheorie/Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte

1. Stochastische Signaltheorie
2. Zufallsgrößen mit statistischen Bindungen
3. Kreuzkorrelationsfunktion und Kreuzleistungsdichte

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Definition der Kreuzkorrelationsfunktion

Bei vielen technischen Anwendungen interessiert man sich für ein quantitatives Maß zur Beschreibung der statistischen Verwandtschaft zwischen verschiedenen Prozessen bzw. zwischen deren Mustersignalen.

Ein solches Maß ist die  "Kreuzkorrelationsfunktion",  die hier unter den Voraussetzungen von  "Stationarität"  und  "Ergodizität"  angegeben wird.

$\text{Definition:}$  Für die  Kreuzkorrelationsfunktion  $\rm (KKF)$  zweier stationärer und ergodischer Prozesse mit den Musterfunktionen  $x(t)$  und  $y(t)$  gilt:

$$\varphi_{xy}(\tau)={\rm E} \big[{x(t)\cdot y(t+\tau)}\big]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M} }\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2} }_{-T_{\rm M}/{\rm 2} }x(t)\cdot y(t+\tau)\,\rm d \it t.$$

• Die erste Definitionsgleichung kennzeichnet die  Erwartungswertbildung  („Scharmittelung”),
• während die zweite Gleichung die  „Zeitmittelung”  über eine  (möglichst große)  Messdauer  $T_{\rm M}$  beschreibt.

Ein Vergleich mit der  AKF-Definition  zeigt viele Gemeinsamkeiten.  Setzt man  $y(t) = x(t)$,  so erhält man  $φ_{xy}(τ) = φ_{xx}(τ)$,  also die Autokorrelationsfunktion,  für die in unserem Tutorial allerdings meist die vereinfachte Schreibweise  $φ_x(τ)$  verwendet wird.

$\text{Beispiel 1:}$  Wir betrachten ein Zufallssignal  $x(t)$  mit dreieckförmiger AKF  $φ_x(τ)$   ⇒   blaue Kurve. 

Kreuzkorrelationsfunktion eines Binärsignals

Diese AKF–Form ergibt sich zum Beispiel für ein Binärsignal

• mit gleichwahrscheinlichen bipolaren Amplitudenkoeffizienten  $(\pm1)$ 
• bei rechteckförmigem Grundimpuls.

Wir betrachten ein zweites Signal  $y(t) = \alpha \cdot x (t - t_{\rm 0})$,  das sich von  $x(t)$  durch den Dämpfungsfaktor  $(α =0.5)$  und eine Laufzeit  $(t_0 = 3 \ \rm ms)$  unterscheidet. 

Dieses gedämpfte und verschobene Signal besitzt die rot gezeichnete AKF

$$\varphi_{y}(\tau) = \alpha^2 \cdot \varphi_{x}(\tau) .$$

Die Verschiebung um  $t_0$  ist in der AKF nicht zu erkennen im Gegensatz zur  (grün dargestellten)  Kreuzkorrelationsfunktion (KKF),  für die folgende Beziehung gilt:

$$\varphi_{xy}(\tau) = \alpha \cdot \varphi_{x}(\tau- t_{\rm 0}) .$$

Eigenschaften der Kreuzkorrelationsfunktion

Im Folgenden sind wesentliche Eigenschaften der Kreuzkorrelationsfunktion  $\rm (KKF)$  zusammengestellt und es werden wichtige Unterschiede zur Autokorrelationsfunktion  $\rm (AKF)$  herausgearbeitet.

• Die Bildung der Kreuzkorrelationsfunktion ist  »nicht kommutativ«.  Vielmehr gibt es stets zwei unterschiedliche Funktionen,  nämlich

$$\varphi_{xy}(\tau)={\rm E} \big[{x(t)\cdot y(t+\tau)}\big]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}x(t)\cdot y(t+\tau)\,\, \rm d \it t,$$

$$\varphi_{yx}(\tau)={\rm E} \big[{y(t)\cdot x(t+\tau)}\big]=\lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/{\rm 2}}_{-T_{\rm M}/{\rm 2}}y(t)\cdot x(t+\tau)\,\, \rm d \it t .$$

• Zwischen den beiden Funktionen besteht der Zusammenhang  $φ_{yx}(τ) = φ_{xy}(-τ)$.  Im  $\text{Beispiel 1}$  des letzten Abschnitts hätte  $φ_{yx}(τ)$  sein Maximum bei  $τ = -3 \ \rm ms$.
• Im Allgemeinen tritt das  »KKF-Maximum«  nicht bei $τ = 0$ auf  $($Ausnahme:   $y = α · x)$  und dem KKF-Wert  $φ_{xy}(τ = 0)$  kommt keine besondere,  physikalisch interpretierbare Bedeutung zu wie bei der AKF,  bei der dieser Wert die Prozessleistung wiedergibt.
• Der Betrag der KKF ist nach der  Cauchy-Schwarzschen Ungleichung  für alle  $τ$–Werte kleiner oder gleich dem geometrischen Mittel der beiden Signalleistungen:

$$\varphi_{xy}( \tau) \le \sqrt {\varphi_{x}( \tau = 0) \cdot \varphi_{y}( \tau = 0)}.$$

• Im  $\text{Beispiel 1}$  auf der letzten Seite gilt das Gleichheitszeichen:

$$\varphi_{xy}( \tau = t_{\rm 0}) = \sqrt {\varphi_{x}( \tau = 0) \cdot \varphi_{y}( \tau = 0)} = \alpha \cdot \varphi_{x}( \tau = {\rm 0}) .$$

• Beinhalten  $x(t)$  und  $y(t)$  keinen gemeinsamen periodischen Anteil, so gibt der  »KKF–Grenzwert«  für  $τ → ∞$  das Produkt beider Mittelwerte an:

$$\lim_{\tau \rightarrow \infty} \varphi _{xy} ( \tau ) = m_x \cdot m_y .$$

• Sind zwei Signale  $x(t)$  und  $y(t)$  »unkorreliert«,  so gilt  $φ_{xy}(τ) ≡ 0$,  das heißt,  es ist  $φ_{xy}(τ) = 0$  für alle Werte von  $τ$.  Diese Annahme ist beispielsweise bei der gemeinsamen Betrachtung eines Nutz- und eines Störsignals in den meisten Fällen gerechtfertigt.
• Es ist jedoch stets zu beachten, dass die KKF nur die  »linearen statistischen Bindungen«  zwischen den Signalen  $x(t)$  und  $y(t)$  beinhaltet.  Bindungen anderer Art – wie beispielsweise für den Fall  $y(t) = x^2(t)$  – werden dagegen bei der KKF–Bildung nicht berücksichtigt.

Anwendungen der Kreuzkorrelationsfunktion

Die Anwendungen der Kreuzkorrelationsfunktion in Nachrichtensystemen sind vielfältig. Hier einige Beispiele:

$\text{Beispiel 2:}$  Bei  Amplitudenmodulation,  aber auch bei  BPSK-Systemen  ("Binary Phase Shift Keying")  wird zur Demodulation  (Rücksetzung des Signals in den ursprünglichen Frequenzbereich)  sehr häufig der so genannte  Synchrondemodulator  verwendet,  wobei auch beim Empfänger ein Trägersignal zugesetzt werden muss,  und zwar frequenz– und phasensynchron zum Sender.

⇒   Bildet man die KKF zwischen dem Empfangssignal und dem empfangsseitigen Trägersignal,  so lässt sich anhand der Spitze der KKF die phasensynchrone Lage zwischen den beiden Signalen erkennen,  und es kann bei Auseinanderdriften nachgeregelt werden.

$\text{Beispiel 3:}$  Das Mehrfachzugriffsverfahren  CDMA  ("Code Division Multiple Access")  wird zum Beispiel im Mobilfunkstandard  UMTS  angewendet.  Es erfordert eine strenge Phasensynchronität,  und zwar bezüglich der zugesetzten  "Pseudonoise-Folgen"  beim Sender  ("Bandspreizung")  und beim Empfänger  ("Bandstauchung").

⇒   Auch dieses Synchronisationsproblem löst man meist mittels der Kreuzkorrelationsfunktion.

$\text{Beispiel 4:}$  Mit Hilfe der Kreuzkorrelationsfunktion kann festgestellt werden,  ob in einem verrauschten Empfangssignal  $r(t) = α · s(t – t_0) + n(t)$  ein bekanntes Signal  $s(t)$  vorhanden ist oder nicht, und wenn ja, zu welchem Zeitpunkt  $t_0$  es auftritt.

• Aus dem berechneten Wert für  $t_0$  lässt sich dann beispielsweise eine Fahrgeschwindigkeit ermitteln  ("Radartechnik"). 
• Diese Aufgabenstellung kann auch mit dem so genannten Matched–Filter gelöst werden,  das in einem  späteren Kapitel  noch beschrieben wird und das viele Gemeinsamkeiten mit der Kreuzkorrelationsfunktion aufweist.

$\text{Beispiel 5:}$  Beim so genannten  Korrelationsempfänger  verwendet man die KKF zur Signaldetektion.  Hierbei bildet man die Kreuzkorrelation

• zwischen dem durch Rauschen und eventuell auch durch Verzerrungen verfälschten Empfangssignal  $r(t)$ 
• und allen möglichen Sendesignalen  $s_i(t)$,  wobei für den Laufindex  $i = 1$, ... , $I$  gelten soll. 

⇒   Entscheidet man  $N$  Binärsymbole gemeinsam, so ist   $I = {\rm 2}^N$.  Man entscheidet sich dann für die Symbolfolge mit dem größten KKF-Wert und erreicht so die minimale Fehlerwahrscheinlichkeit entsprechend der  "Maximum-Likelihood-Entscheidungsregel".

Kreuzleistungsdichtespektrum

Für manche Anwendungen kann es durchaus vorteilhaft sein, die Korrelation zwischen zwei Zufallssignalen im Frequenzbereich zu beschreiben.

$\text{Definition:}$  Die beiden  Kreuzleistungsdichtespektren  ${\it Φ}_{xy}(f)$  und  ${\it Φ}_{yx}(f)$  ergeben sich aus den dazugehörigen Kreuzkorrelationsfunktionen  $\varphi_{xy}({\it \tau})$  bzw.  $\varphi_{yx}({\it \tau})$  durch die Fouriertransformation:

$${\it \Phi}_{xy}(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_{xy}({\it \tau}) \cdot {\rm e}^{ {\rm -j}\pi f \tau} \rm d \it \tau, $$

$${\it \Phi}_{yx}(f)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi_{yx}({\it \tau}) \cdot {\rm e}^{ {\rm -j}\pi f \tau} \rm d \it \tau.$$

Manchmal wird hierfür auch der Begriff  "spektrale Kreuzleistungsdichte"  verwendet.

Es gilt hier der gleiche Zusammenhang wie zwischen

• einem deterministischen Signal  $x(t)$  und seinem Spektrum  $X(f)$,  bzw.
• der Autokorrelationsfunktion  ${\it φ}_x(τ)$  eines ergodischen Prozesses  $\{x_i(t)\}$  und dem dazugehörigen Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_x(f)$.

Ebenso beschreibt hier die  Fourierrücktransformation   ⇒   „Zweites Fourierintegral” den Übergang vom Spektralbereich in den Zeitbereich.

$\text{Beispiel 6:}$  Wir nehmen Bezug zum  $\text{Beispiel 1}$ 

Zur Definition der Kreuzkorrelationsfunktion

• mit der „rechteckförmigen Zufallsgrößen”  $x(t)$   
• und der gedämpften und verschobenen Funktion  $y(t) = α · x(t – t_0)$.

Wie im Kapitel  Leistungsdichtespektrum  beschrieben:

• Da die Autokorrelationsfunktion  ${\it φ}_x(τ)$  dreieckförmig verläuft,
• hat das Leistungsdichtespektrum  ${\it Φ}_x(f)$  einen  ${\rm si}^2$-förmigen Verlauf.

Welche Aussagen können wir aus dieser Grafik für die Spektralfunktionen ableiten?

1. Im  $\text{Beispiel 1}$  haben wir festgestellt, dass sich die Autokorrelationsfunktion  ${\it φ}_y(τ)$  von  ${\it φ}_x(τ)$  nur um den konstanten Faktor  $α^2$  unterscheidet.
2. Damit ist klar, dass  ${\it Φ}_y(f)$  von  ${\it \Phi}_x(f)$  ebenfalls nur um diesen konstanten Faktor  $α^2$  abweicht.  Beide Spektralfunktionen sind reell.
3. Dagegen besitzt das Kreuzleistungsdichtespektrum einen komplexen Funktionsverlauf:

$${\it \Phi}_{xy}(f) ={\it \Phi}^\star_{yx}(f)= \alpha \cdot {\it \Phi}_{x}(f) \hspace{0.05cm}\cdot {\rm e}^{- {\rm j } \hspace{0.02cm}\pi f t_0}.$$

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.14: AKF und KKF bei Rechtecksignalen

Aufgabe 4.14Z: Auffinden von Echos