Aufgaben:Aufgabe 5.1: Fehlerabstandsverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
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− | * die Fehlerfolge $〈e_{\rm \nu}〉$, und | + | * die Fehlerfolge $〈e_{\rm \nu}〉$, und |
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− | * Der Fehlerabstand $a_2 = 3$ bedeutet, dass zwischen dem ersten und dem zweiten Fehler zwei fehlerfreie Symbole liegen. | + | * Der Fehlerabstand $a_2 = 3$ bedeutet, dass zwischen dem ersten und dem zweiten Fehler zwei fehlerfreie Symbole liegen. |
− | * Dagegen deutet $a_3 = 1$ darauf hin, dass nach dem zweiten Fehler direkt ein dritter folgt. | + | |
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− | Die unterschiedlichen Indizes $(\nu$ und $\nu\hspace{0.05cm} '$, jeweils beginnend mit $1$ | + | Die unterschiedlichen Indizes $(\nu$ und $\nu\hspace{0.05cm} '$, jeweils beginnend mit $1)$ sind erforderlich, da keine Synchronität zwischen der Fehlerabstandsfolge und der Fehlerfolge besteht. |
− | In der Grafik ist für zwei verschiedene Modelle $M_1$ und $M_2$ die Fehlerabstandsverteilung (FAV) | + | In der Grafik ist für zwei verschiedene Modelle $M_1$ und $M_2$ die Fehlerabstandsverteilung $\rm (FAV)$ |
:$$V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa)\hspace{0.05cm}$$ | :$$V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa)\hspace{0.05cm}$$ | ||
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*Daraus folgt: $e_{\rm 16} \ \underline {= 0}$, $e_{\rm 17} \ \underline {= 1}$, $e_{\rm 18} \ \underline {= 1}$. | *Daraus folgt: $e_{\rm 16} \ \underline {= 0}$, $e_{\rm 17} \ \underline {= 1}$, $e_{\rm 18} \ \underline {= 1}$. | ||
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− | '''(3)''' Es gilt ${\rm Pr}(a = k) = V_a(k) \, –V_a(k+1)$. Daraus erhält man für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten: | + | '''(3)''' Es gilt ${\rm Pr}(a = k) = V_a(k) \, –V_a(k+1)$. Daraus erhält man für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten: |
:$${\rm Pr}(a = 1)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(1) - V_a(2) = 1 - 0.7\hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}\hspace{0.05cm},$$ | :$${\rm Pr}(a = 1)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(1) - V_a(2) = 1 - 0.7\hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}\hspace{0.05cm},$$ | ||
:$${\rm Pr}(a = 2)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(2) - V_a(3) = 0.7 - 0.45 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}\hspace{0.05cm},$$ | :$${\rm Pr}(a = 2)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(2) - V_a(3) = 0.7 - 0.45 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}\hspace{0.05cm},$$ | ||
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− | '''(4)''' Aus $V_a(k=6) = {\rm Pr}(a ≥ 6) = 0$ folgt für den maximalen Fehlerabstand direkt $k_{\rm max} \ \underline {= 5}$ | + | '''(4)''' Aus $V_a(k=6) = {\rm Pr}(a ≥ 6) = 0$ folgt für den maximalen Fehlerabstand direkt |
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− | '''(5)''' Mit den unter '''(3)''' berechneten Wahrscheinlichkeiten ergibt sich für den gesuchten Erwartungswert: | + | '''(5)''' Mit den unter '''(3)''' berechneten Wahrscheinlichkeiten ergibt sich für den gesuchten Erwartungswert: |
:$${\rm E}\big[a \big] = \sum_{k = 1}^{5} k \cdot {\rm Pr}(a = k) = 1 \cdot 0.3 +2 \cdot 0.25 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.15 +5 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 2.5} | :$${\rm E}\big[a \big] = \sum_{k = 1}^{5} k \cdot {\rm Pr}(a = k) = 1 \cdot 0.3 +2 \cdot 0.25 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.15 +5 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 2.5} | ||
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
− | '''(6)''' Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist der Kehrwert des mittleren Fehlerabstands: $p_{\rm M} \ \underline {= 0.4}$ | + | '''(6)''' Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist der Kehrwert des mittleren Fehlerabstands: |
+ | :$$p_{\rm M} \ \underline {= 0.4}.$$ | ||
− | '''(7)''' Mit Sicherheit stimmt nur die <u>Aussage 1</u>: | + | '''(7)''' Mit Sicherheit stimmt nur die <u>Aussage 1</u>: |
− | *Die erste Aussage stimmt, weil ${\rm Pr}(a = 1) = V_a(1) \, – V_a(2) = 0$ ist. | + | *Die erste Aussage stimmt, weil ${\rm Pr}(a = 1) = V_a(1) \, – V_a(2) = 0$ ist. |
− | * Die zweite Aussage ist nicht sicher, da $V_a(6)$ nur die Summe der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a ≥ 6)$ angibt, aber nicht ${\rm Pr}(a = 6)$ allein. | + | |
− | + | * Die zweite Aussage ist nicht sicher, da $V_a(6)$ nur die Summe der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a ≥ 6)$ angibt, aber nicht ${\rm Pr}(a = 6)$ allein. <br>Nur mit der zusätzlichen Angabe $V_a(7) = 0$ würde die Aussage 2 zutreffen. | |
− | * Ebenso ist für den Erwartungswert ${\rm E}[a]$ augrund fehlender Angaben keine endgültige Aussage möglich. Mit $V_a(7) = 0$ würde sich ergeben: | + | |
+ | * Ebenso ist für den Erwartungswert ${\rm E}[a]$ augrund fehlender Angaben keine endgültige Aussage möglich. Mit $V_a(7) = 0$ würde sich ergeben: | ||
:$${\rm E}[a] = 2 \cdot 0.1 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.2 +5 \cdot 0.2 +6 \cdot 0.3= | :$${\rm E}[a] = 2 \cdot 0.1 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.2 +5 \cdot 0.2 +6 \cdot 0.3= | ||
− | 4.4$$ | + | 4.4.$$ |
− | *Ohne diese Angabe ist nur die Aussage ${\rm E}[a] ≥ 4.4$ möglich. Damit gilt aber für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit die Bedingung $p_{\rm M} < 1/4.4 < 0.227$. | + | |
+ | *Ohne diese Angabe ist nur die Aussage ${\rm E}[a] ≥ 4.4$ möglich. Damit gilt aber für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit die Bedingung $p_{\rm M} < 1/4.4 < 0.227$. | ||
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*Die Aussage 3 trifft also auch nicht mit Sicherheit zu. | *Die Aussage 3 trifft also auch nicht mit Sicherheit zu. | ||
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Aktuelle Version vom 5. September 2022, 16:12 Uhr
Ein jedes digitales Kanalmodell kann in gleicher Weise beschrieben werden durch
- die Fehlerfolge $〈e_{\rm \nu}〉$, und
- die Fehlerabstandsfolge $〈a_{\rm \nu \hspace{0.05cm}'}〉$.
Beispielhaft betrachten wir die Folgen:
- $$<\hspace{-0.1cm}e_{\nu} \hspace{-0.1cm}> \ = \ < \hspace{-0.1cm}0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, \text{...} \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.05cm},$$
- $$< \hspace{-0.1cm}a_{\nu\hspace{0.05cm} '} \hspace{-0.15cm}> \ = \ <\hspace{-0.1cm}2, 3, 1, 4, 2, 5, 1, 1, 3, 4, 1, 2, \text{...} \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.05cm}.$$
Man erkennt daraus beispielsweise:
- Der Fehlerabstand $a_2 = 3$ bedeutet, dass zwischen dem ersten und dem zweiten Fehler zwei fehlerfreie Symbole liegen.
- Dagegen deutet $a_3 = 1$ darauf hin, dass nach dem zweiten Fehler direkt ein dritter folgt.
Die unterschiedlichen Indizes $(\nu$ und $\nu\hspace{0.05cm} '$, jeweils beginnend mit $1)$ sind erforderlich, da keine Synchronität zwischen der Fehlerabstandsfolge und der Fehlerfolge besteht.
In der Grafik ist für zwei verschiedene Modelle $M_1$ und $M_2$ die Fehlerabstandsverteilung $\rm (FAV)$
- $$V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa)\hspace{0.05cm}$$
angegeben. Diese Tabelle soll in dieser Aufgabe ausgewertet werden.
Hinweis: Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle".
Fragebogen
Musterlösung
- Daraus folgt: $e_{\rm 16} \ \underline {= 0}$, $e_{\rm 17} \ \underline {= 1}$, $e_{\rm 18} \ \underline {= 1}$.
(2) Aus der Definitionsgleichung folgt bereits
- $$V_a(k = 1) = {\rm Pr}(a \ge 1)\hspace{0.15cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Es gilt ${\rm Pr}(a = k) = V_a(k) \, –V_a(k+1)$. Daraus erhält man für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
- $${\rm Pr}(a = 1)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(1) - V_a(2) = 1 - 0.7\hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Pr}(a = 2)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(2) - V_a(3) = 0.7 - 0.45 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Pr}(a = 3)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(3) - V_a(4) = 0.45 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.2}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Pr}(a = 4)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(4) - V_a(5) = 0.25 - 0.10 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.15}\hspace{0.05cm},$$
- $${\rm Pr}(a = 5)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(5) - V_a(6) = 0.10 - 0 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.10}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Aus $V_a(k=6) = {\rm Pr}(a ≥ 6) = 0$ folgt für den maximalen Fehlerabstand direkt
- $$k_{\rm max} \ \underline {= 5}.$$
(5) Mit den unter (3) berechneten Wahrscheinlichkeiten ergibt sich für den gesuchten Erwartungswert:
- $${\rm E}\big[a \big] = \sum_{k = 1}^{5} k \cdot {\rm Pr}(a = k) = 1 \cdot 0.3 +2 \cdot 0.25 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.15 +5 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 2.5} \hspace{0.05cm}.$$
(6) Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist der Kehrwert des mittleren Fehlerabstands:
- $$p_{\rm M} \ \underline {= 0.4}.$$
(7) Mit Sicherheit stimmt nur die Aussage 1:
- Die erste Aussage stimmt, weil ${\rm Pr}(a = 1) = V_a(1) \, – V_a(2) = 0$ ist.
- Die zweite Aussage ist nicht sicher, da $V_a(6)$ nur die Summe der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a ≥ 6)$ angibt, aber nicht ${\rm Pr}(a = 6)$ allein.
Nur mit der zusätzlichen Angabe $V_a(7) = 0$ würde die Aussage 2 zutreffen.
- Ebenso ist für den Erwartungswert ${\rm E}[a]$ augrund fehlender Angaben keine endgültige Aussage möglich. Mit $V_a(7) = 0$ würde sich ergeben:
- $${\rm E}[a] = 2 \cdot 0.1 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.2 +5 \cdot 0.2 +6 \cdot 0.3= 4.4.$$
- Ohne diese Angabe ist nur die Aussage ${\rm E}[a] ≥ 4.4$ möglich. Damit gilt aber für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit die Bedingung $p_{\rm M} < 1/4.4 < 0.227$.
- Die Aussage 3 trifft also auch nicht mit Sicherheit zu.