Aufgaben:Aufgabe 5.1: Fehlerabstandsverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein jedes digitales Kanalmodell kann in gleicher Weise beschrieben werden durch
 
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* die Fehlerfolge  $〈e_{\rm \nu}〉$, und
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Man erkennt daraus beispielsweise:
 
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* Der Fehlerabstand  $a_2 = 3$  bedeutet, dass zwischen dem ersten und dem zweiten Fehler zwei fehlerfreie Symbole liegen.
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* Der Fehlerabstand  $a_2 = 3$  bedeutet,  dass zwischen dem ersten und dem zweiten Fehler zwei fehlerfreie Symbole liegen.
* Dagegen  deutet  $a_3 = 1$  darauf hin, dass nach dem zweiten Fehler direkt ein dritter folgt.
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* Dagegen  deutet  $a_3 = 1$  darauf hin,  dass nach dem zweiten Fehler direkt ein dritter folgt.
  
  
Die unterschiedlichen Indizes  $(\nu$  und  $\nu\hspace{0.05cm} '$, jeweils beginnend mit  $1$)  sind erforderlich, da keine Synchronität zwischen der Fehlerabstandsfolge und der Fehlerfolge besteht.  
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Die unterschiedlichen Indizes  $(\nu$  und  $\nu\hspace{0.05cm} '$,  jeweils beginnend mit  $1)$  sind erforderlich,  da keine Synchronität zwischen der Fehlerabstandsfolge und der Fehlerfolge besteht.  
  
In der Grafik ist für zwei verschiedene Modelle  $M_1$  und  $M_2$  die Fehlerabstandsverteilung (FAV)  
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In der Grafik ist für zwei verschiedene Modelle  $M_1$  und  $M_2$  die Fehlerabstandsverteilung  $\rm (FAV)$
 
:$$V_a(k) =  {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k}  {\rm Pr}(a = \kappa)\hspace{0.05cm}$$
 
:$$V_a(k) =  {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k}  {\rm Pr}(a = \kappa)\hspace{0.05cm}$$
  
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* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Beschreibungsgr%C3%B6%C3%9Fen_digitaler_Kanalmodelle| Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle]].
 
 
   
 
   
  
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'''(1)'''&nbsp; Die Auswertung der Fehlerabstandsfolge weist auf Fehler bei $\nu = 2, 5, 6, 10, 12, 17, 18, 19, 22, 26, 27$ und $29$ hin.  
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'''(1)'''&nbsp; Die Auswertung der Fehlerabstandsfolge weist auf Fehler bei &nbsp; $\nu = 2, 5, 6, 10, 12, 17, 18, 19, 22, 26, 27$&nbsp; und&nbsp; $29$&nbsp; hin.  
 
*Daraus folgt: &nbsp; $e_{\rm 16} \ \underline {= 0}$, &nbsp; &nbsp; $e_{\rm 17} \ \underline {= 1}$, &nbsp; &nbsp; $e_{\rm 18} \ \underline {= 1}$.
 
*Daraus folgt: &nbsp; $e_{\rm 16} \ \underline {= 0}$, &nbsp; &nbsp; $e_{\rm 17} \ \underline {= 1}$, &nbsp; &nbsp; $e_{\rm 18} \ \underline {= 1}$.
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'''(3)'''&nbsp; Es gilt ${\rm Pr}(a = k) = V_a(k) \, &ndash;V_a(k+1)$. Daraus erhält man für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
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'''(3)'''&nbsp; Es gilt&nbsp; ${\rm Pr}(a = k) = V_a(k) \, &ndash;V_a(k+1)$.&nbsp; Daraus erhält man für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
 
:$${\rm Pr}(a = 1)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(1) - V_a(2) = 1 - 0.7\hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}\hspace{0.05cm},$$
 
:$${\rm Pr}(a = 1)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(1) - V_a(2) = 1 - 0.7\hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}\hspace{0.05cm},$$
 
:$${\rm Pr}(a = 2)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(2) - V_a(3) = 0.7 - 0.45 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}\hspace{0.05cm},$$
 
:$${\rm Pr}(a = 2)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(2) - V_a(3) = 0.7 - 0.45 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}\hspace{0.05cm},$$
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'''(4)'''&nbsp; Aus $V_a(k=6) = {\rm Pr}(a &#8805; 6) = 0$ folgt für den maximalen Fehlerabstand direkt $k_{\rm max} \ \underline {= 5}$.
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'''(4)'''&nbsp; Aus &nbsp; $V_a(k=6) = {\rm Pr}(a &#8805; 6) = 0$ &nbsp; folgt für den maximalen Fehlerabstand direkt  
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:$$k_{\rm max} \ \underline {= 5}.$$
  
  
'''(5)'''&nbsp; Mit den unter '''(3)''' berechneten Wahrscheinlichkeiten ergibt sich für den gesuchten Erwartungswert:
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'''(5)'''&nbsp; Mit den unter&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechneten Wahrscheinlichkeiten ergibt sich für den gesuchten Erwartungswert:
 
:$${\rm E}\big[a \big] = \sum_{k = 1}^{5} k \cdot {\rm Pr}(a = k) =  1 \cdot 0.3 +2 \cdot 0.25 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.15 +5 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 2.5}
 
:$${\rm E}\big[a \big] = \sum_{k = 1}^{5} k \cdot {\rm Pr}(a = k) =  1 \cdot 0.3 +2 \cdot 0.25 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.15 +5 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 2.5}
 
  \hspace{0.05cm}.$$
 
  \hspace{0.05cm}.$$
  
  
'''(6)'''&nbsp; Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist der Kehrwert des mittleren Fehlerabstands: &nbsp; $p_{\rm M} \ \underline {= 0.4}$.
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'''(6)'''&nbsp; Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist der Kehrwert des mittleren Fehlerabstands: &nbsp;  
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:$$p_{\rm M} \ \underline {= 0.4}.$$
  
  
'''(7)'''&nbsp; Mit Sicherheit stimmt nur die <u>Aussage 1</u>:
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'''(7)'''&nbsp; Mit Sicherheit stimmt nur die&nbsp; <u>Aussage 1</u>:
*Die erste Aussage stimmt, weil ${\rm Pr}(a = 1) = V_a(1) \, &ndash; V_a(2) = 0$ ist.
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*Die erste Aussage stimmt,&nbsp; weil&nbsp; ${\rm Pr}(a = 1) = V_a(1) \, &ndash; V_a(2) = 0$&nbsp; ist.
* Die zweite Aussage ist nicht sicher, da $V_a(6)$ nur die Summe der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(a &#8805; 6)$ angibt, aber nicht ${\rm Pr}(a = 6)$ allein.  
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*Nur mit der zusätzlichen Angabe $V_a(7) = 0$ würde die Aussage 2 zutreffen.
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* Die zweite Aussage ist nicht sicher,&nbsp; da $V_a(6)$&nbsp; nur die Summe der Wahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(a &#8805; 6)$&nbsp; angibt,&nbsp; aber nicht&nbsp; ${\rm Pr}(a = 6)$&nbsp; allein.&nbsp; <br>Nur mit der zusätzlichen Angabe&nbsp; $V_a(7) = 0$&nbsp; würde die Aussage 2 zutreffen.
* Ebenso ist für den Erwartungswert ${\rm E}[a]$ augrund fehlender Angaben keine endgültige Aussage möglich. Mit $V_a(7) = 0$ würde sich ergeben:
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* Ebenso ist für den Erwartungswert&nbsp; ${\rm E}[a]$&nbsp; augrund fehlender Angaben keine endgültige Aussage möglich.&nbsp; Mit $V_a(7) = 0$&nbsp; würde sich ergeben:
 
:$${\rm E}[a] =  2 \cdot 0.1 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.2 +5 \cdot 0.2 +6 \cdot 0.3=
 
:$${\rm E}[a] =  2 \cdot 0.1 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.2 +5 \cdot 0.2 +6 \cdot 0.3=
  4.4$$
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  4.4.$$
*Ohne diese Angabe ist nur die Aussage ${\rm E}[a] &#8805; 4.4$ möglich. Damit gilt aber für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit die Bedingung $p_{\rm M} < 1/4.4 < 0.227$.  
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*Ohne diese Angabe ist nur die Aussage&nbsp; ${\rm E}[a] &#8805; 4.4$&nbsp; möglich.&nbsp; Damit gilt aber für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit die Bedingung&nbsp; $p_{\rm M} < 1/4.4 < 0.227$.
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*Die Aussage 3 trifft also auch nicht mit Sicherheit zu.  
 
*Die Aussage 3 trifft also auch nicht mit Sicherheit zu.  
 
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Aktuelle Version vom 5. September 2022, 16:12 Uhr

Fehlerabstandsverteilungen

Ein jedes digitales Kanalmodell kann in gleicher Weise beschrieben werden durch

  • die Fehlerfolge  $〈e_{\rm \nu}〉$,  und
  • die Fehlerabstandsfolge  $〈a_{\rm \nu \hspace{0.05cm}'}〉$.


Beispielhaft betrachten wir die Folgen:

$$<\hspace{-0.1cm}e_{\nu} \hspace{-0.1cm}> \ = \ < \hspace{-0.1cm}0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, \text{...} \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.05cm},$$
$$< \hspace{-0.1cm}a_{\nu\hspace{0.05cm} '} \hspace{-0.15cm}> \ = \ <\hspace{-0.1cm}2, 3, 1, 4, 2, 5, 1, 1, 3, 4, 1, 2, \text{...} \hspace{-0.1cm}> \hspace{0.05cm}.$$

Man erkennt daraus beispielsweise:

  • Der Fehlerabstand  $a_2 = 3$  bedeutet,  dass zwischen dem ersten und dem zweiten Fehler zwei fehlerfreie Symbole liegen.
  • Dagegen deutet  $a_3 = 1$  darauf hin,  dass nach dem zweiten Fehler direkt ein dritter folgt.


Die unterschiedlichen Indizes  $(\nu$  und  $\nu\hspace{0.05cm} '$,  jeweils beginnend mit  $1)$  sind erforderlich,  da keine Synchronität zwischen der Fehlerabstandsfolge und der Fehlerfolge besteht.

In der Grafik ist für zwei verschiedene Modelle  $M_1$  und  $M_2$  die Fehlerabstandsverteilung  $\rm (FAV)$

$$V_a(k) = {\rm Pr}(a \ge k) = 1 - \sum_{\kappa = 1}^{k} {\rm Pr}(a = \kappa)\hspace{0.05cm}$$

angegeben.  Diese Tabelle soll in dieser Aufgabe ausgewertet werden.




Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  "Beschreibungsgrößen digitaler Kanalmodelle".



Fragebogen

1

Wie lauten die folgenden Fehlerwerte  $(0$  oder  $1)$?

$e_{\rm 16} \ = \ $

$e_{\rm 17} \ = \ $

$e_{\rm 18} \ = \ $

2

Wie groß ist bei beiden Modellen der Wert  $V_a(k = 1)$?

$V_a(k = 1) \ = \ $

3

Bestimmen Sie für das Modell  $M_1$  die Wahrscheinlichkeiten der Fehlerabstände.

${\rm Pr}(a = 1) \ = \ $

${\rm Pr}(a = 2) \ = \ $

${\rm Pr}(a = 3) \ = \ $

${\rm Pr}(a = 4) \ = \ $

${\rm Pr}(a = 5) \ = \ $

4

Wie groß ist der maximal mögliche Fehlerabstand beim Modell  $M_1$?

$k_{\rm max} \ = \ $

5

Berechnen Sie für das Modell  $M_1$  den mittleren Fehlerabstand.

${\rm E}\big[a \big] \ = \ $

6

Wie groß ist beim Modell  $M_1$  die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm M} = {\rm E}[e]$?

$p_{\rm M} \ = \ $

7

Welche Aussagen stimmen für das Modell  $M_2$  mit Sicherheit?

Zwei Fehler können nicht direkt aufeinander folgen.
Der häufigste Fehlerabstand ist  $a = 6$.
Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt  $p_{\rm M} = 0.25$.


Musterlösung

(1)  Die Auswertung der Fehlerabstandsfolge weist auf Fehler bei   $\nu = 2, 5, 6, 10, 12, 17, 18, 19, 22, 26, 27$  und  $29$  hin.

  • Daraus folgt:   $e_{\rm 16} \ \underline {= 0}$,     $e_{\rm 17} \ \underline {= 1}$,     $e_{\rm 18} \ \underline {= 1}$.


(2)  Aus der Definitionsgleichung folgt bereits

$$V_a(k = 1) = {\rm Pr}(a \ge 1)\hspace{0.15cm}\underline {= 1} \hspace{0.05cm}.$$


(3)  Es gilt  ${\rm Pr}(a = k) = V_a(k) \, –V_a(k+1)$.  Daraus erhält man für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

$${\rm Pr}(a = 1)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(1) - V_a(2) = 1 - 0.7\hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr}(a = 2)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(2) - V_a(3) = 0.7 - 0.45 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.25}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr}(a = 3)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(3) - V_a(4) = 0.45 - 0.25 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.2}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr}(a = 4)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(4) - V_a(5) = 0.25 - 0.10 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.15}\hspace{0.05cm},$$
$${\rm Pr}(a = 5)\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}V_a(5) - V_a(6) = 0.10 - 0 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.10}\hspace{0.05cm}.$$


(4)  Aus   $V_a(k=6) = {\rm Pr}(a ≥ 6) = 0$   folgt für den maximalen Fehlerabstand direkt

$$k_{\rm max} \ \underline {= 5}.$$


(5)  Mit den unter  (3)  berechneten Wahrscheinlichkeiten ergibt sich für den gesuchten Erwartungswert:

$${\rm E}\big[a \big] = \sum_{k = 1}^{5} k \cdot {\rm Pr}(a = k) = 1 \cdot 0.3 +2 \cdot 0.25 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.15 +5 \cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline { = 2.5} \hspace{0.05cm}.$$


(6)  Die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit ist der Kehrwert des mittleren Fehlerabstands:  

$$p_{\rm M} \ \underline {= 0.4}.$$


(7)  Mit Sicherheit stimmt nur die  Aussage 1:

  • Die erste Aussage stimmt,  weil  ${\rm Pr}(a = 1) = V_a(1) \, – V_a(2) = 0$  ist.
  • Die zweite Aussage ist nicht sicher,  da $V_a(6)$  nur die Summe der Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(a ≥ 6)$  angibt,  aber nicht  ${\rm Pr}(a = 6)$  allein. 
    Nur mit der zusätzlichen Angabe  $V_a(7) = 0$  würde die Aussage 2 zutreffen.
  • Ebenso ist für den Erwartungswert  ${\rm E}[a]$  augrund fehlender Angaben keine endgültige Aussage möglich.  Mit $V_a(7) = 0$  würde sich ergeben:
$${\rm E}[a] = 2 \cdot 0.1 +3 \cdot 0.2 +4 \cdot 0.2 +5 \cdot 0.2 +6 \cdot 0.3= 4.4.$$
  • Ohne diese Angabe ist nur die Aussage  ${\rm E}[a] ≥ 4.4$  möglich.  Damit gilt aber für die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit die Bedingung  $p_{\rm M} < 1/4.4 < 0.227$.
  • Die Aussage 3 trifft also auch nicht mit Sicherheit zu.