Applets:Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen (neues Applet): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 26. Oktober 2023, 10:34 Uhr

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Inhaltsverzeichnis

1 Programmbeschreibung
2 Theoretischer Hintergrund
- 2.1 Anwendung
- 2.2 Konstruktion
3 Zur Handhabung des Applets
4 Über die Autoren
5 Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Programmbeschreibung

Dieses Applet ermöglicht die Darstellung der Hadamard-Matrizen $\mathbf{H}_J$ zur Konstruktion der Walsh-Funktionen $w_j$. Dabei können der Faktor $J$ der Bandspreizung sowie die Markierung der einzelnen Walsh-Funktionen (durch blaue Umrandung der Zeilen der Matrix) verändert werden.

Theoretischer Hintergrund

Anwendung

Die Walsh-Funktionen sind eine Gruppe von periodischen orthogonalen Funktionen. Ihr Anwendungsbereich in der digitalen Signalverarbeitung liegt vor allem in der Verwendung zur Bandspreizung bei CDMA-Systemen, beispielsweise dem Mobilfunkstandard UMTS.

Aufgrund ihrer Orthogonalitätseigenschaften und der günstigen PKKF-Bedingungen (periodische KKF) stellen die Walsh-Funktionen für einen verzerrungsfreien Kanal und ein synchrones CDMA-System optimale Spreizfolgen dar. Nimmt man zwei beliebige Zeilen und bildet die Korrelation (Mittelung über die Produkte), so ergibt sich stets der PKKF–Wert Null.
Bei asynchronem Betrieb (Beispiel: Uplink eines Mobilfunksystems) oder De–Orthogonalisierung aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind dagegen Walsh–Funktionen allein zur Bandspreizung nicht unbedingt geeignet – siehe Aufgabe 5.4.
Hinsichtlich PAKF (periodische AKF) sind diese Folgen weniger gut: Jede einzelne Walsh–Funktion hat eine andere PAKF und jede einzelne PAKF ist ungünstiger als bei einer vergleichbaren PN–Sequenz. Das bedeutet: Die Synchronisierung ist bei Walsh–Funktionen schwieriger als mit PN–Sequenzen.

Konstruktion

Die Konstruktion der Walsh-Funktionen kann rekursiv mithilfe der Hadamard-Matrizen erfolgen. Eine Hadamard-Matrix $\mathbf{H}_J$ der Ordnung $J$ ist eine $J\times J$-Matrix, die zeilenweise die $\pm 1$-Gewichte der Walsh-Folgen enthält. Die Ordnungen der Hadamard-Matrizen sind dabei auf Zweierpotenzen festgelegt, d.h. es gilt $J = 2^G$ für eine natürliche Zahl $G$. Ausgehend von $\mathbf{H}_1 = [+1]$ und

$$ \mathbf{H}_2 = \left[ \begin{array}{rr} +1 & +1\\ +1 & -1 \\ \end{array}\right] $$

gilt der folgende Zusammenhang zur Generierung weiterer Hadamard-Matrizen:

$$ \mathbf{H}_{2N} = \left[ \begin{array}{rr} +\mathbf{H}_N & +\mathbf{H}_N\\ +\mathbf{H}_N & -\mathbf{H}_N \\ \end{array}\right] $$

$\text{Beispiel:}$ Die Grafik zeigt die Hadamard–Matrix $\mathbf H_8$ (rechts) und die damit $J -1$ konstruierbaren Spreizfolgen.

Walsh–Spreizfolgen $(J = 8)$ und Hadamard–Matrix $\mathbf H_8$

$J - 1$ deshalb, da die ungespreizte Folge $w_0(t)$ meist nicht verwendet wird.
Beachten Sie bitte in der Grafik die farbliche Zuordnung zwischen den Zeilen der Hadamard–Matrix und den Spreizfolgen $w_j(t)$.
Die Matrix $\mathbf H_4$ ist gelb hinterlegt.

Zur Handhabung des Applets

(A) Auswahl von $G$ ⇒ Faktor der Bandspreizung: $J= 2^G$

(B) Auswahl der zu markierenden Walsh-Funktion $w_j$

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

Die erste Version wurde 2007 von Thomas Großer im Rahmen seiner Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
2018/2019 wurde das Programm von Carolin Mirschina (Ingenieurspraxis, Betreuer: Tasnád Kernetzky ) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Applet in neuem Tab öffnen Open English Version

@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
-{{LntAppletLink|qfunction}}
+{{LntAppletLinkDeEn|walsh|walsh_en}}
@@ Zeile 6: / Zeile 7: @@
 ==Programmbeschreibung==
 <br>
-Dieses Applet ermöglicht die Darstellung der Hadamard-Matrizen $\mathbf{H}_J$ zur Konstruktion der Walsh-Funktionen $w_j$. Dabei können der Faktor $J$ der Bandspreizung sowie die Markierung der einzelnen Walsh-Funktionen (durch blaue Umrandung der Zeilen der Matrix) verändert werden.
+Dieses Applet ermöglicht die Darstellung der Hadamard-Matrizen&nbsp; $\mathbf{H}_J$&nbsp; zur Konstruktion der Walsh-Funktionen&nbsp; $w_j$.&nbsp; Dabei können der Faktor&nbsp; $J$&nbsp; der Bandspreizung sowie die Markierung der einzelnen Walsh-Funktionen (durch blaue Umrandung der Zeilen der Matrix) verändert werden.
 ==Theoretischer Hintergrund==
+<br>
+===Anwendung===
+<br>
+Die&nbsp; '''Walsh-Funktionen'''&nbsp; sind eine Gruppe von periodischen orthogonalen Funktionen. Ihr Anwendungsbereich in der digitalen Signalverarbeitung liegt vor allem in der Verwendung zur Bandspreizung bei CDMA-Systemen, beispielsweise dem Mobilfunkstandard UMTS.
+*Aufgrund ihrer Orthogonalitätseigenschaften und der günstigen PKKF-Bedingungen (periodische KKF) stellen die Walsh-Funktionen für einen verzerrungsfreien Kanal und ein synchrones CDMA-System optimale Spreizfolgen dar. Nimmt man zwei beliebige Zeilen und bildet die Korrelation (Mittelung über die Produkte), so ergibt sich stets der PKKF–Wert Null.
+*Bei asynchronem Betrieb (Beispiel: &nbsp; Uplink eines Mobilfunksystems) oder De–Orthogonalisierung aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind dagegen Walsh–Funktionen allein zur Bandspreizung nicht unbedingt geeignet – siehe &nbsp;[[Aufgaben:5.4_Walsh–Funktionen_(PKKF,_PAKF)|Aufgabe 5.4]].
+*Hinsichtlich PAKF (periodische AKF) sind diese Folgen weniger gut: &nbsp; Jede einzelne Walsh–Funktion hat eine andere PAKF und jede einzelne PAKF ist ungünstiger als bei einer vergleichbaren PN–Sequenz. Das bedeutet: &nbsp; Die Synchronisierung ist bei Walsh–Funktionen schwieriger als mit PN–Sequenzen.
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-Die Walsh-Funktionen sind eine Gruppe von periodischen orthogonalen Funktionen. Ihr Anwendungsbereich in der digitalen Signalverarbeitung liegt vor allem in der Verwendung zur Bandspreizung bei CDMA-Systemen, beispielsweise dem Mobilfunkstandard UMTS. Aufgrund ihrer Orthogonalitätseigenschaften und der günstigen PKKF-Bedingungen stellen die Walsh-Funktionen für einen verzerrungsfreien Kanal und ein synchrones CDMA-System optimale Spreizfolgen dar.
+===Konstruktion===
 <br>
+Die Konstruktion der Walsh-Funktionen kann rekursiv mithilfe der '''Hadamard-Matrizen''' erfolgen. Eine Hadamard-Matrix $\mathbf{H}_J$ der Ordnung $J$ ist eine $J\times J$-Matrix, die zeilenweise die  $\pm 1$-Gewichte der Walsh-Folgen enthält. Die Ordnungen der Hadamard-Matrizen sind dabei auf Zweierpotenzen festgelegt, d.h. es gilt $J = 2^G$ für eine natürliche Zahl $G$. Ausgehend von $\mathbf{H}_1 = [+1]$ und
-Die Konstruktion der Walsh-Funktionen kann rekursiv mithilfe der Hadamard-Matrizen erfolgen. Eine Hadamard-Matrix $H_J$ der Ordnung $J$ ist eine $J\times J$-Matrix, die zeilenweise die  $\pm 1$-Gewichte der Walsh-Folgen enthält. Die Ordnungen der Hadamard-Matrizen sind dabei auf Zweierpotenzen festgelegt, d.h. es gilt $J = 2^G$ für eine natürliche Zahl $G$. Ausgehend von $H_1 = (+1)$ und
+:$$
+\mathbf{H}_2 =
-\begin{equation}
+\left[ \begin{array}{rr}
-H_2 =
-\left( \begin{array}{rr}
 +1 & +1\\
 +1 & -1 \\
-\end{array}\right)
+\end{array}\right]
-\end{equation}
+$$
 gilt der folgende Zusammenhang zur Generierung weiterer Hadamard-Matrizen:
-\begin{equation}
+:$$
- H_{2N} =
+ \mathbf{H}_{2N} =
-\left( \begin{array}{rr}
+\left[ \begin{array}{rr}
-+H_N & +H_N\\
++\mathbf{H}_N & +\mathbf{H}_N\\
-+H_N & -H_N \\
++\mathbf{H}_N & -\mathbf{H}_N \\
-\end{array}\right)
+\end{array}\right]
-\end{equation}
+$$
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+{{GraueBox|TEXT=
-==Material, das Sie eventuell noch verwenden könnten==
+$\text{Beispiel:}$&nbsp; Die Grafik zeigt die Hadamard–Matrix &nbsp;$\mathbf H_8$&nbsp; (rechts) und die damit &nbsp;$J -1$&nbsp; konstruierbaren Spreizfolgen.
-Spreizfolgen mit sehr günstigen PKKF–Eigenschaften sind die so genannten '''Walsh–Funktionen''', deren Konstruktion auf der '''Hadamard–Matrix''' basiert und durch Rekursion in einfacher Weise durchführbar ist. Ausgehend von der Matrix &nbsp;$\mathbf H_2$&nbsp; können weitere Hadamard–Matrizen &nbsp;$\mathbf H_{2J}$&nbsp; wie folgt generiert werden:
+[[Datei:P_ID1882__Mod_T_5_3_S7_neu.png|right|frame| Walsh–Spreizfolgen &nbsp;$(J = 8)$&nbsp; und Hadamard–Matrix &nbsp;$\mathbf H_8$&nbsp;]]
-:$${\mathbf{H}_{2}} =  \left[ \begin{array}{ccc} +1 & +1 \\ +1 & -1 \end{array} \right] \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}{\mathbf{H}_{2J}} =  \left[ \begin{array}{ccc} \mathbf{H}_J & \mathbf{H}_J \\ \mathbf{H}_J & -\mathbf{H}_J \end{array} \right] \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}
-{\mathbf{H}_{4}} = \left[ \begin{array}{cccc} +1 & +1 & +1 & +1 \\ +1 & -1 & +1 & -1 \\
-+1 & +1 & -1 & -1 \\+1 & -1 & -1 & +1 \end{array} \right] .$$
-Die &nbsp;$J$&nbsp; Zeilen einer solchen Matrix beschreiben die &nbsp;$J$&nbsp; möglichen Spreizfolgen (jeweils der Länge &nbsp;$J$), die mit  &nbsp;$w_0(t)$ bis $w_{J–1}(t)$&nbsp; durchnummeriert werden.
-[[Datei:P_ID1882__Mod_T_5_3_S7_neu.png|right|frame| Walsh–Spreizfolgen &nbsp;$(J = 8)$&nbsp; und Hadamard–Matrix &nbsp;$\mathbf H_8$&nbsp;]]
-Die Grafik zeigt die Hadamard–Matrix &nbsp;$\mathbf H_8$&nbsp; (rechts) und die damit &nbsp;$J -1$&nbsp; konstruierbaren Spreizfolgen.
 *$J - 1$ deshalb, da die ungespreizte Folge &nbsp;$w_0(t)$&nbsp; meist nicht verwendet wird.
 *Beachten Sie bitte in der Grafik die farbliche Zuordnung zwischen den Zeilen der Hadamard–Matrix und den Spreizfolgen &nbsp;$w_j(t)$.
-*Die Matrix &nbsp;$\mathbf H_4$&nbsp; ist gelb hinterlegt.
+*Die Matrix &nbsp;$\mathbf H_4$&nbsp; ist gelb hinterlegt.}}
 <br clear=all>
-Die Animation &nbsp;[[Applets:Walsh|Zur Erzeugung von Walsh–Funktionen]]&nbsp; zeigt den Konstruktionsalgorithmus solcher Folgen. Weiter gilt:
-*Nimmt man zwei beliebige Zeilen und bildet die Korrelation (Mittelung über die Produkte), so ergibt sich stets der PKKF–Wert Null. Somit sind Walsh–Funktionen für einen verzerrungsfreien Kanal und ein synchrones CDMA–System aufgrund ihrer Orthogonalität optimale Spreizfolgen.
-*Bei asynchronem Betrieb (Beispiel: &nbsp; Uplink eines Mobilfunksystems) oder De–Orthogonalisierung aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind dagegen Walsh–Funktionen allein zur Bandspreizung nicht unbedingt geeignet – siehe &nbsp;[[Aufgaben:5.4_Walsh–Funktionen_(PKKF,_PAKF)|Aufgabe 5.4]].
-*Hinsichtlich PAKF (periodische AKF) sind diese Folgen weniger gut: &nbsp; Jede einzelne Walsh–Funktion hat eine andere PAKF und jede einzelne PAKF ist ungünstiger als bei einer vergleichbaren PN–Sequenz. Das bedeutet: &nbsp; Die Synchronisierung ist bei Walsh–Funktionen schwieriger als mit PN–Sequenzen.
 ==Zur Handhabung des Applets==
 <br>
+[[Datei:Walsh Handhabung.png|right|550px]]
-&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl des Faktors zur Bandspreizung als Zweierpotenz von $G$
+&nbsp; &nbsp; '''(A)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl von&nbsp; $G$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Faktor der Bandspreizung:&nbsp;  $J= 2^G$
-&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl der jeweiligen Walsh-Funktion $w_j$
+&nbsp; &nbsp; '''(B)''' &nbsp; &nbsp; Auswahl der zu markierenden Walsh-Funktion&nbsp; $w_j$
+<br clear=all>
-[[Datei:Walsh Handhabung.png|center|550px]]
-<br>
 ==Über die Autoren==
 Dieses interaktive Berechnungstool  wurde am&nbsp; [http://www.lnt.ei.tum.de/startseite Lehrstuhl für Nachrichtentechnik]&nbsp; der&nbsp; [https://www.tum.de/ Technischen Universität München]&nbsp; konzipiert und realisiert.
 *Die erste Version wurde 2007 von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Thomas_Gro.C3.9Fer_.28Diplomarbeit_LB_2006.2C_danach_freie_Mitarbeit_bis_2010.29|Thomas Großer]]&nbsp; im Rahmen seiner Diplomarbeit mit &bdquo;FlashMX&ndash;Actionscript&rdquo; erstellt (Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Mitarbeiter_und_Dozenten#Prof._Dr.-Ing._habil._G.C3.BCnter_S.C3.B6der_.28am_LNT_seit_1974.29|Günter Söder]]).
-*2018/2019 wurde das Programm  von&nbsp; ''Marwen Ben Ammar''&nbsp;   und&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Xiaohan_Liu_.28Bachelorarbeit_2018.29|Xiaohan Liu]]&nbsp; (Bachelorarbeit, Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/Beteiligte_der_Professur_Leitungsgebundene_%C3%9Cbertragungstechnik#Tasn.C3.A1d_Kernetzky.2C_M.Sc._.28bei_L.C3.9CT_seit_2014.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet.
+*2018/2019 wurde das Programm  von&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_Studierende#Carolin_Mirschina_.28Ingenieurspraxis_Math_2019.2C_danach_Werkstudentin.29|Carolin Mirschina]]&nbsp; (Ingenieurspraxis, Betreuer:&nbsp; [[Biografien_und_Bibliografien/An_LNTwww_beteiligte_LÜT-Angehörige#Dr.-Ing._Tasn.C3.A1d_Kernetzky_.28bei_L.C3.9CT_von_2014-2022.29|Tasnád Kernetzky]] ) auf  &bdquo;HTML5&rdquo; umgesetzt und neu gestaltet.
 ==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
 <br>
-{{LntAppletLink|qfunction}}
+{{LntAppletLinkDeEn|walsh|walsh_en}}