Modulationsverfahren/Rauscheinfluss bei Winkelmodulation

1. Modulationsverfahren
2. Winkelmodulation und WM–Demodulation
3. Rauscheinfluss bei Winkelmodulation

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Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis bei PM

Zur Untersuchung des Rauschverhaltens gehen wir wieder vom so genannten  AWGN–Kanal  aus und berechnen das Sinken–SNR  $ρ_v$  in Abhängigkeit

Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis bei Phasenmodulation

• der Frequenz ("Bandbreite")  $B_{\rm NF}$  des Cosinussignals  $q(t)$,
• der Sendeleistung  $P_{\rm S}$,
• des Kanalübertragungsfaktors  $α_{\rm K}$, und
• der  (einseitigen)  Rauschleistungsdichte  $N_0$.

Die prinzipielle Vorgehensweise wird im Abschnitt  Untersuchungen beim AWGN-Kanal  ausführlich beschrieben:

Ist die Leistungskenngröße

$$\xi = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}}$$

hinreichend groß,  so erhält man bei Phasenmodulation  $\rm (PM)$  mit dem Modulationsindex  $η$  folgende Näherung:

$$\rho_{v } \approx {\eta^2}/{2} \cdot\xi \hspace{0.05cm}.$$

Das bedeutet, dass bei Phasenmodulation das Sinken–SNR mit wachsendem  $η$  quadratisch zunimmt.

Die exakte Berechnung von  $ρ_v$  ist nicht ganz einfach und auch langwierig.  Hier soll nur der Rechenweg kurz geschildert werden:

1. Man approximiert das weiße Rauschen  $n(t)$  mit der Bandbreite  $B_{\rm HF}$  durch eine Summe von Sinusstörern im Abstand  $f_{\rm St}$ 
   (siehe zweite Skizze im nächsten Abschnitt).
2. Man berechnet für jeden Sinusstörer das S/N–Verhältnis nach der Demodulation und addiert die einzelnen Beiträge, 
   die nun alle im Tiefpassbereich  $|f| < B_{\rm NF}$  liegen.
3. Das obige einfache Ergebnis erhält man nach dem Grenzübergang  $f_{\rm St} → 0$. 
   Die Summe geht dann in ein Integral über und dieses kann näherungsweise gelöst werden.

Signal–zu–Rausch–Leistungsverhältnis bei FM

Zur Berechnung nutzt man hier die Tatsache,  dass der FM–Demodulator mit einem PM–Demodulator und einem Differenzierer realisiert werden kann.

FM–Demodulator:   PM–Demodulator und Differenzierer

• Das rechts angegebene Blockschaltbild bezieht sich allein auf die Rauschsignale   ⇒   $s(t) = 0$.

• Damit ist das Empfangssignal  $r(t) = n(t)$,  wobei für  $n(t)$  additives weißes Gaußsches Rauschen mit der Mittenfrequenz  $f_{\rm T}$  und der Bandbreite  $B_{\rm HF}$  anzusetzen ist.

Bei der Berechnung der Rauschleistungsdichte nach dem FM–Demodulator ist zu berücksichtigen:

• Die Rauschleistungsdichte  ${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm PM}}(f)$  nach dem PM–Demodulator liegt im Tiefpassbereich,  besitzt die (einseitige) Bandbreite  $B_{\rm NF}$  und ist „weiß”  (siehe linke Skizze in der unteren Grafik).
• Die Leistungsdichte am Ausgang eines linearen Systems mit Frequenzgang  $H(f)$  lautet allgemein,  wenn am Eingang die Rauschleistungsdichte  ${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm PM}}(f)$  anliegt:

$${ \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.1cm}FM} } (f) = { \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.1cm}PM} } (f) \cdot |H(f)|^2 \hspace{0.05cm}.$$

• Der Differenzierer ist ein solches lineares System.  Sein Frequenzgang  $H(f)$  steigt linear mit der Frequenz  $f$  an.  Für die Rauschleistungsdichte am Ausgang des FM–Demodulators gilt  (siehe rechte Skizze in der unteren Grafik):

$${ \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.1cm}FM} } (f) = {\rm const. } \cdot f^2 \cdot { \it \Phi}_{v {\rm , \hspace{0.1cm}PM} }(f) \hspace{0.05cm}.$$

$\rm Fazit\text{:}$  Berücksichtigt man dieses Ergebnis, so kommt man nach längerer Rechnung zu folgendem  Sinken–SNR  (falls die Leistungskenngröße  $ξ$  hinreichend groß ist):

Rauschleistungsdichtespektren bei PM (links) und FM (rechts)

$$\rho_{v } \approx \frac{3\cdot \eta^2}{2} \cdot \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S} }{N_0 \cdot B_{\rm NF} } = 3/2 \cdot{\eta^2} \cdot\xi \hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik verdeutlicht:

• Die Rauschleistungsdichte  ${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm FM} }(f)$  ist im Gegensatz zu  ${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm PM} }(f)$  nicht weiß.
• Vielmehr steigt  ${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm FM} }(f)$  zu den Grenzen  $(\pm B_{\rm NF} )$  hin mit dem Quadrat der Frequenz an.
• Bei  $f = 0$  besitzt  ${\it Φ}_{v,\hspace{0.1cm}{\rm FM} }(f)$  keine Rauschanteile.

Systemvergleich von AM, PM und FM hinsichtlich Rauschen

Wie schon im Abschnitt  "Untersuchungen beim AWGN-Kanal"  ausführlich erläutert und im Abschnitt  "Sinken-SNR und Leistungskenngröße"  auf die Amplitudenmodulation angewendet,  betrachten wir wieder die doppelt-logarithmische Darstellung des Sinken–SNR  $ρ_v$  über der Leistungskenngröße

Rauschverhalten von AM, PM und FM.  Hinweis: Die Kurven gelten quantitativ nur für harmonische Schwingungen  (eine einzige Frequenz).  Bei einem Frequenzgemisch – das in der Praxis stets vorliegt – gelten die Kurven qualitativ.

$$\xi = \frac{\alpha_{\rm K}^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot B_{\rm NF}}.$$

Diese qualitativ zu verstehenden Kurven sind wie folgt zu interpretieren:

• Die Vergleichskurve liefert die  ZSB–AM ohne Träger   ⇒   Modulationsgrad  $m → ∞$.  Hier gilt  $ρ_v = ξ$  und auch bei doppelt–logarithmischer Darstellung ergibt sich eine  $45^\circ$–Gerade durch den Ursprung.

• Die  FM–Kurve  mit  $η = 3$  liegt um  $10 · \lg \ 13.5 ≈ 11.3 \ \rm dB$  über der AM–Kurve.  Anschaulich kann man das bessere Rauschverhalten der Frequenzmodulation dadurch erklären, dass ein additiver Rauschanteil die Lage der Nulldurchgänge weniger beeinflusst als er die Amplitudenwerte verändert.

• Ist das wirksame Rauschen sehr groß und damit die Leistungskenngröße klein  $(10 · \lg \ ξ ≤ 15 \ \rm dB)$,  so ist Winkelmodulation nicht zu empfehlen.  Aufgrund des Rauschens können dann Nulldurchgänge völlig verschwinden und so deren Detektion unmöglich machen.  Man spricht vom „FM–Knick”.

• Hinsichtlich Rauschen ist bei jeder Art von Winkelmodulation ein möglichst großer Modulationsindex anzustreben.  So liegt die Kurve für  $η = 10$  um etwa  $10.4 \ \rm dB$  über der Kurve für  $η = 3$. 
• Zu berücksichtigen ist allerdings,  dass ein größeres  $η$  auch eine größere Bandbreite erfordert oder  – bei gegebener Kanalbandbreite –  stärkere nichtlineare Verzerrungen hervorruft.

• Bei gleichem Modulationsindex ist Phasenmodulation  $\rm (PM)$  stets um  $10 \cdot \lg \ 3 ≈ 4.8 \ \rm dB$  schlechter als Frequenzmodulation  $\rm (FM)$.  Dies ist einer der Gründe,  warum die analoge PM in der Praxis nur wenig Bedeutung hat.  Dagegen wird bei digitaler Modulation die Variante  "Phase Shift Keying"  $\rm (PSK)$  aufgrund anderer Vorteile häufiger eingesetzt als  "Frequency Shift Keying"  $\rm (FSK)$.

Pre-emphase und De-emphase

Ein wichtiges Ergebnis der letzten Abschnitte war,  dass das Sinken–SNR beiFrequenzmodulation  $\rm (FM)$  entsprechend  $\rho_{v } \approx 1.5 \cdot{\eta^2} \cdot\xi \hspace{0.05cm}$  in guter Näherung quadratisch vom Modulationsindex abhängt. 

• Da aber bei Frequenzmodulation der Modulationsindex  $η$  umgekehrt proportional zur Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N}$  ist,
• hängt auch das Sinken–SNR von  $f_{\rm N}$  ab.

Daraus ergeben sich folgende Konsequenzen:

• Besteht das Nachrichtensignal aus mehreren Frequenzen,  so weisen die höheren Frequenzen nach einer FM–Modulation einen kleineren Modulationsindex  $η$  auf als die niedrigeren Frequenzen.
• Das bedeutet auch:   Die höheren Frequenzanteile  $($mit kleinerem  $η)$  sind dementsprechend stärker verrauscht als niedrigere Frequenzen, wenn nicht besondere Maßnahmen getroffen werden.

"Pre-emphase"  $\rm (PE)$  und  "De-emphase"  $\rm (DE)$: jeweiliger Betragsfrequenzgang

Eine solche Maßnahme ist beispielsweise eine  "Pre-emphase". 

1. Dabei werden höhere Frequenzen durch ein Hochpass–Filternetzwerk  $H_{\rm PE}(f)$  angehoben und für diese der Modulationsindex  $η$  erhöht.
2. Die sendeseitige  "Pre-emphase"  muss beim Empfänger durch ein Netzwerk  $H_{\rm DE}(f) = 1/H_{\rm PE}(f)$  rückgängig gemacht werden.  Dieses Absenken der höheren Frequenzen nennt man  "De-emphase".

Die Grafik zeigt ein mögliches Beispiel für die Filterfunktionen von

• Preemphase (blau)   ⇒   $|H_{{\rm PE} } (f)| = \sqrt{1 + \left({f}/{f_{\rm G}}\right)^2}\hspace{0.05cm},$
• Deemphase (rot)        ⇒   $|H_{{\rm DE} } (f)| = |H_{{\rm PE} } (f)|^{-1} \hspace{0.05cm}.$

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 3.10: Berechnung der Rauschleistungen

Aufgabe 3.10Z: Amplituden- und Winkelmodulation im Vergleich

Aufgabe 3.11: Pre-emphase und De-emphase