Aufgaben:Aufgabe 3.5Z: Nochmals Kullback-Leibler-Distanz: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet: | Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet: | ||
| + | :$$P_X(X) = \big[\hspace{0.03cm}0.25\hspace{0.03cm}, \hspace{0.15cm} 0.25\hspace{0.15cm},\hspace{0.15cm} 0.25 \hspace{0.03cm}, \hspace{0.15cm} 0.25\hspace{0.03cm}\big]\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | Die Zufallsgröße $X$ ist also gekennzeichnet durch | ||
| + | * den Symbolumfang $M=4$, | ||
| + | * gleiche Wahrscheinlichkeiten $P_X(1) = P_X(2) = P_X(3) = P_X(4) = 1/4$ . | ||
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| − | :* | + | Die Zufallsgröße $Y$ ist stets eine Näherung für $X$: |
| − | : | + | *Sie wurde per Simulation aus einer Gleichverteilung gewonnen, wobei jeweils nur $N$ Zufallszahlen ausgewertet wurden. |
| + | *Das heißt: $P_Y(1)$, ... , $P_Y(4)$ sind im herkömmlichen Sinn keine Wahrscheinlichkeiten. Sie beschreiben vielmehr [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeit_und_relative_H%C3%A4ufigkeit#Bernoullisches_Gesetz_der_gro.C3.9Fen_Zahlen| relative Häufigkeiten]]. | ||
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| − | Das Ergebnis der sechsten Versuchsreihe (mit $N=1000$ | + | Das Ergebnis der sechsten Versuchsreihe (mit $N=1000)$ wird demnach durch die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion zusammengefasst: |
| − | $$P_Y(X) = [\hspace{0.05cm}0.225\hspace{0. | + | :$$P_Y(X) = \big [\hspace{0.05cm}0.225\hspace{0.15cm}, \hspace{0.05cm} 0.253\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} 0.250 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} 0.272\hspace{0.05cm}\big] |
| − | \hspace{0.05cm}$$ | + | \hspace{0.05cm}.$$ |
| − | Bei dieser Schreibweise ist | + | Bei dieser Schreibweise ist berücksichtigt, dass die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ auf dem gleichen Alphabet $X = \{1,\ 2,\ 3,\ 4\}$ basieren. |
| − | Mit diesen Voraussetzungen gilt für die relative Entropie (englisch: Informational Divergence) zwischen den Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(.)$ und $P_Y(.)$ : | + | Mit diesen Voraussetzungen gilt für die '''relative Entropie''' (englisch: "Informational Divergence") zwischen den beiden Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(.)$ und $P_Y(.)$ : |
| − | $D( P_X || P_Y) = | + | :$$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = {\rm E}_X \hspace{-0.1cm}\left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(X)}{P_Y(X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{M} P_X(\mu) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(\mu)}{P_Y(\mu)} \hspace{0.05cm}.$$ |
| − | Man bezeichnet $D( P_X || P_Y)$ als Kullback–Leibler–Distanz. Diese ist ein Maß für die Ähnlichkeit zwischen den | + | Man bezeichnet $D( P_X\hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}P_Y)$ als (erste) Kullback–Leibler–Distanz. |
| − | $P_X(.)$ und $P_Y(.)$. Die Erwartungswertbildung geschieht hier hinsichtlich der (tatsächlich gleichverteilten) Zufallsgröße $X$. | + | *Diese ist ein Maß für die Ähnlichkeit zwischen den zwei Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(.)$ und $P_Y(.)$. |
| + | *Die Erwartungswertbildung geschieht hier hinsichtlich der (tatsächlich gleichverteilten) Zufallsgröße $X$. Dies wird durch die Nomenklatur ${\rm E}_X\big[.\big]$ angedeutet. | ||
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| − | $ | + | Eine zweite Form der Kullback–Leibler–Distanz ergibt sich durch die Erwartungswertbildung hinsichtlich der Zufallsgröße $Y$ ⇒ ${\rm E}_Y\big [.\big ]$: |
| − | + | :$$D(P_Y \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) = {\rm E}_Y \hspace{-0.1cm} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_Y(X)}{P_X(X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^M P_Y(\mu) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_Y(\mu)}{P_X(\mu)} \hspace{0.05cm}.$$ | |
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| + | Hinweise: | ||
| + | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen|Einige Vorbemerkungen zu zweidimensionalen Zufallsgrößen]]. | ||
| + | *Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Relative_Entropie_.E2.80.93_Kullback.E2.80.93Leibler.E2.80.93Distanz|Relative Entropie – Kullback-Leibler-Distanz]]. | ||
| + | *Die Angaben der Entropie $H(Y)$ und der Kullback–Leibler–Distanz $D( P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm}P_Y)$ in obiger Grafik sind in „bit” zu verstehen. | ||
| + | * Die in der Grafik mit „???" versehenen Felder sollen von Ihnen in dieser Aufgabe ergänzt werden. | ||
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
| − | {Welche Entropie besitzt die Zufallsgröße $X$ ? | + | {Welche Entropie besitzt die Zufallsgröße $X$ ? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $H(X)$ | + | $H(X)\ = \ $ { 2 1% } $\ \rm bit$ |
| − | {Wie groß sind die Entropien der Zufallsgrößen $Y$ (Näherungen für $X$ | + | {Wie groß sind die Entropien der Zufallsgrößen $Y$ $($Näherungen für $X)$? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $N= | + | $N=10^3\text{:} \hspace{0.5cm} H(Y) \ = \ $ { 1.9968 1% } $\ \rm bit$ |
| − | $N= | + | $N=10^2\text{:} \hspace{0.5cm} H(Y) \ = \ $ { 1.941 1% } $\ \rm bit$ |
| − | $N=10 | + | $N=10^1\text{:} \hspace{0.5cm} H(Y) \ = \ $ { 1.6855 1% } $\ \rm bit$ |
{Berechnen Sie die folgenden Kullback–Leibler–Distanzen. | {Berechnen Sie die folgenden Kullback–Leibler–Distanzen. | ||
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
| − | $N= | + | $N=10^3\text{:} \hspace{0.5cm} D( P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) \ = \ $ { 0.00328 1% } $\ \rm bit$ |
| − | $N= | + | $N=10^2\text{:} \hspace{0.5cm} D( P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) \ = \ $ { 0.0442 1% } $\ \rm bit$ |
| − | $N=10 | + | $N=10^1\text{:} \hspace{0.5cm} D( P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) \ = \ $ { 0.345 1% } $\ \rm bit$ |
| − | {Liefert $D(P_Y||P_X)$ jeweils exakt das gleiche Ergebnis? | + | {Liefert $D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X)$ jeweils exakt das gleiche Ergebnis? |
| + | |type="()"} | ||
| + | - Ja. | ||
| + | + Nein. | ||
| + | |||
| + | {Welche Aussagen gelten für die Kullback–Leibler–Distanzen bei $N = 4$? | ||
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
| − | + | + | - Es gilt $D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = 0$. |
| − | - | + | - Es gilt $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = 0.5 \ \rm bit$. |
| + | + $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y)$ ist unendlich groß. | ||
| + | - Es gilt $D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) = 0$. | ||
| + | + Es gilt $D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) = 0.5 \ \rm bit$. | ||
| + | - $D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X)$ ist unendlich groß. | ||
| + | |||
| + | {Ändern sich sowohl $H(Y)$ als auch $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y)$ monoton mit $N$? | ||
| + | |type="()"} | ||
| + | - Ja, | ||
| + | + Nein. | ||
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</quiz> | </quiz> | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
| − | '''1 | + | |
| − | '''2 | + | '''(1)''' Bei gleichen Wahrscheinlichkeiten gilt mit $M = 4$: |
| − | '''3 | + | :$$H(X) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} M |
| − | '''4.''' | + | \hspace{0.15cm} \underline {= 2\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$ |
| − | '''5 | + | |
| − | '''6 | + | |
| − | ''' | + | |
| + | '''(2)''' Die Wahrscheinlichkeiten für die empirisch ermittelten Zufallsgrößen $Y$ weichen im Allgemeinen (nicht immer!) von der Gleichverteilung um so mehr ab, je kleiner der Parameter $N$ ist. Man erhält für die dokumentierten Versuchsreihen: | ||
| + | * $N = 1000 \ \ \Rightarrow \ \ P_Y(Y) = \big [0.225, \ 0.253, \ 0.250, \ 0.272 \big ]$: | ||
| + | :$$H(Y) = | ||
| + | 0.225 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.225} + | ||
| + | 0.253 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.253} + | ||
| + | 0.250 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.250} + | ||
| + | 0.272 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.272} | ||
| + | \hspace{0.15cm} \underline {= 1.9968\ {\rm (bit)}} \hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | * $N = 100 \ \ \Rightarrow \ \ P_Y(Y) = \big[0.24, \ 0.16, \ 0.30, \ 0.30\big]$: | ||
| + | :$$H(Y) = \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.9410\ {\rm (bit)}} \hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | * $N = 10 \ \ \Rightarrow \ \ P_Y(Y) = \big[0.5, \ 0.1, \ 0.3, \ 0.1 \big]$: | ||
| + | :$$H(Y) = \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.6855\ {\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | '''(3)''' Die Gleichung für die gesuchte Kullback–Leibler–Distanz lautet: | ||
| + | |||
| + | :$$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = \sum_{\mu = 1}^{4} P_X(\mu) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(\mu)}{P_Y(\mu)} | ||
| + | = \frac{1/4}{{\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)} \cdot | ||
| + | \left [ {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.25}{P_Y(1)} + \frac{0.25}{P_Y(2)} + \frac{0.25}{P_Y(3)} + \frac{0.25}{P_Y(4)} | ||
| + | \right ] $$ | ||
| + | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = \frac{1}{4 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)} \cdot | ||
| + | \left [ {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.25^4}{P_Y(1) \cdot P_Y(2)\cdot P_Y(3)\cdot P_Y(4)} | ||
| + | \right ] \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | |||
| + | Der Logarithmus zur Basis $ 2$ ⇒ $\log_2(.)$ wurde zur einfachen Nutzung des Taschenrechners durch den Zehnerlogarithmus ⇒ $\lg(.)$ ersetzt. | ||
| + | |||
| + | Man erhält die folgenden numerischen Ergebnisse: | ||
| + | * für $N=1000$: | ||
| + | :$$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = \frac{1}{4 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)} \cdot | ||
| + | \left [ {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.25^4}{0.225 \cdot 0.253\cdot 0.250\cdot 0.272} | ||
| + | \right ] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.00328 \,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | * für $N=100$: | ||
| + | :$$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = \frac{1}{4 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)} \cdot | ||
| + | \left [ {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.25^4}{0.24 \cdot 0.16\cdot 0.30\cdot 0.30} | ||
| + | \right ] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.0442 \,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm},$$ | ||
| + | * für $N=10$: | ||
| + | :$$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = \frac{1}{4 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)} \cdot | ||
| + | \left [ {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.25^4}{0.5 \cdot 0.1\cdot 0.3\cdot 0.1} | ||
| + | \right ] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.345 \,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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| + | '''(4)''' Richtig ist <u>'''Nein'''</u>, wie am Beispiel $N = 100$ gezeigt werden soll: | ||
| + | :$$D(P_Y \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) = \sum_{\mu = 1}^M P_Y(\mu) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_Y(\mu)}{P_X(\mu)} = 0.24\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.24}{0.25} + 0.16\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.16}{0.25} +2 \cdot 0.30\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.30}{0.25} = 0.0407\ {\rm (bit)}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | |||
| + | *In der Teilaufgabe '''(3)''' haben wir stattdessen $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = 0.0442$ erhalten. | ||
| + | *Das bedeutet auch: Die Bezeichnung „Distanz” ist etwas irreführend. | ||
| + | *Danach würde man eigentlich $D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X)$ = $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y)$ erwarten. | ||
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| + | [[Datei:P_ID2763__Inf_Z_3_4e.png|right|frame|Wahrscheinlichkeitsfunktion, Entropie und Kullback–Leibler–Distanz]] | ||
| + | '''(5)''' Mit $P_Y(X) = \big [0, \ 0.25, \ 0.5, \ 0.25 \big ]$ erhält man: | ||
| + | :$$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = 0.25\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.25}{0} + 2 \cdot 0.25\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.25}{0.25}+0.25\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.25}{0.50}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | |||
| + | *Aufgrund des ersten Terms ergibt sich für $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm}P_Y)$ ein unendlich großer Wert. | ||
| + | *Für die zweite Kullback–Leibler–Distanz gilt: | ||
| + | :$$D(P_Y \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) = 0\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0}{0.25} + 2 \cdot 0.25\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.25}{0.25}+ | ||
| + | 0.50\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.5}{0.25} | ||
| + | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | |||
| + | *Nach einer Grenzwertbetrachtung erkennt man, dass der erste Term das Ergebnis $0$ liefert. Auch der zweite Term ergibt sich zu Null, und man erhält als Endergebnis: | ||
| + | :$$D(P_Y \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) = 0.50\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm} \underline {= 0.5\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$ | ||
| + | |||
| + | Richtig sind somit die <u>Aussagen 3 und 5</u>: | ||
| + | *Aus diesem Extrembeispiel wird deutlich, dass sich $D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X)$ stets von $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y)$ unterscheidet. | ||
| + | *Nur für den Sonderfall $P_Y \equiv P_X$ sind beide Kullback–Leibler–Distanzen gleich, nämlich Null. | ||
| + | *Die nebenstehende Tabelle zeigt das vollständige Ergebnis dieser Aufgabe. | ||
| + | |||
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| + | '''(6)''' Richtig ist wiederum <u>'''Nein'''</u>. Die Tendenz ist zwar eindeutig: Je größer $N$ ist, | ||
| + | * desto mehr nähert sich $H(Y)$ im Prinzip dem Endwert $H(X) = 2 \ \rm bit$ an. | ||
| + | * um so kleiner werden die Distanzen $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y)$ und $D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X)$. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Man erkennt aus der Tabelle aber auch, dass es Ausnahmen gibt: | ||
| + | * Die Entropie $H(Y)$ ist für $N = 1000$ kleiner als für $N = 400$. | ||
| + | * Die Distanz $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm}P_Y)$ ist für $N = 1000$ größer als für $N = 400$. | ||
| + | *Der Grund hierfür ist, dass das hier dokumentierte Experiment mit $N = 400$ eher zu einer Gleichverteilung geführt hat als das Experiment mit $N = 1000$. | ||
| + | *Würde man dagegen unendlich viele Versuche mit $N = 400$ und $N = 1000$ starten und über all diese mitteln, ergäbe sich tatsächlich der eigentlich erwartete monotone Verlauf. | ||
| + | |||
{{ML-Fuß}} | {{ML-Fuß}} | ||
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Aktuelle Version vom 31. August 2021, 13:57 Uhr
Ermittelte Wahrscheinlichkeitsfunktionen
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:
- $$P_X(X) = \big[\hspace{0.03cm}0.25\hspace{0.03cm}, \hspace{0.15cm} 0.25\hspace{0.15cm},\hspace{0.15cm} 0.25 \hspace{0.03cm}, \hspace{0.15cm} 0.25\hspace{0.03cm}\big]\hspace{0.05cm}.$$
Die Zufallsgröße $X$ ist also gekennzeichnet durch
- den Symbolumfang $M=4$,
- gleiche Wahrscheinlichkeiten $P_X(1) = P_X(2) = P_X(3) = P_X(4) = 1/4$ .
Die Zufallsgröße $Y$ ist stets eine Näherung für $X$:
- Sie wurde per Simulation aus einer Gleichverteilung gewonnen, wobei jeweils nur $N$ Zufallszahlen ausgewertet wurden.
- Das heißt: $P_Y(1)$, ... , $P_Y(4)$ sind im herkömmlichen Sinn keine Wahrscheinlichkeiten. Sie beschreiben vielmehr relative Häufigkeiten.
Das Ergebnis der sechsten Versuchsreihe (mit $N=1000)$ wird demnach durch die folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion zusammengefasst:
- $$P_Y(X) = \big [\hspace{0.05cm}0.225\hspace{0.15cm}, \hspace{0.05cm} 0.253\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} 0.250 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} 0.272\hspace{0.05cm}\big] \hspace{0.05cm}.$$
Bei dieser Schreibweise ist berücksichtigt, dass die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ auf dem gleichen Alphabet $X = \{1,\ 2,\ 3,\ 4\}$ basieren.
Mit diesen Voraussetzungen gilt für die relative Entropie (englisch: "Informational Divergence") zwischen den beiden Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(.)$ und $P_Y(.)$ :
- $$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = {\rm E}_X \hspace{-0.1cm}\left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(X)}{P_Y(X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^{M} P_X(\mu) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(\mu)}{P_Y(\mu)} \hspace{0.05cm}.$$
Man bezeichnet $D( P_X\hspace{0.05cm} || \hspace{0.05cm}P_Y)$ als (erste) Kullback–Leibler–Distanz.
- Diese ist ein Maß für die Ähnlichkeit zwischen den zwei Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(.)$ und $P_Y(.)$.
- Die Erwartungswertbildung geschieht hier hinsichtlich der (tatsächlich gleichverteilten) Zufallsgröße $X$. Dies wird durch die Nomenklatur ${\rm E}_X\big[.\big]$ angedeutet.
Eine zweite Form der Kullback–Leibler–Distanz ergibt sich durch die Erwartungswertbildung hinsichtlich der Zufallsgröße $Y$ ⇒ ${\rm E}_Y\big [.\big ]$:
- $$D(P_Y \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) = {\rm E}_Y \hspace{-0.1cm} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_Y(X)}{P_X(X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 1}^M P_Y(\mu) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_Y(\mu)}{P_X(\mu)} \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Vorbemerkungen zu zweidimensionalen Zufallsgrößen.
- Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite Relative Entropie – Kullback-Leibler-Distanz.
- Die Angaben der Entropie $H(Y)$ und der Kullback–Leibler–Distanz $D( P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm}P_Y)$ in obiger Grafik sind in „bit” zu verstehen.
- Die in der Grafik mit „???" versehenen Felder sollen von Ihnen in dieser Aufgabe ergänzt werden.
Fragebogen
Musterlösung
(1) Bei gleichen Wahrscheinlichkeiten gilt mit $M = 4$:
- $$H(X) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} M \hspace{0.15cm} \underline {= 2\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Die Wahrscheinlichkeiten für die empirisch ermittelten Zufallsgrößen $Y$ weichen im Allgemeinen (nicht immer!) von der Gleichverteilung um so mehr ab, je kleiner der Parameter $N$ ist. Man erhält für die dokumentierten Versuchsreihen:
- $N = 1000 \ \ \Rightarrow \ \ P_Y(Y) = \big [0.225, \ 0.253, \ 0.250, \ 0.272 \big ]$:
- $$H(Y) = 0.225 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.225} + 0.253 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.253} + 0.250 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.250} + 0.272 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.272} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.9968\ {\rm (bit)}} \hspace{0.05cm},$$
- $N = 100 \ \ \Rightarrow \ \ P_Y(Y) = \big[0.24, \ 0.16, \ 0.30, \ 0.30\big]$:
- $$H(Y) = \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.9410\ {\rm (bit)}} \hspace{0.05cm},$$
- $N = 10 \ \ \Rightarrow \ \ P_Y(Y) = \big[0.5, \ 0.1, \ 0.3, \ 0.1 \big]$:
- $$H(Y) = \hspace{0.05cm}\text{...} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.6855\ {\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Die Gleichung für die gesuchte Kullback–Leibler–Distanz lautet:
- $$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = \sum_{\mu = 1}^{4} P_X(\mu) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(\mu)}{P_Y(\mu)} = \frac{1/4}{{\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.25}{P_Y(1)} + \frac{0.25}{P_Y(2)} + \frac{0.25}{P_Y(3)} + \frac{0.25}{P_Y(4)} \right ] $$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = \frac{1}{4 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.25^4}{P_Y(1) \cdot P_Y(2)\cdot P_Y(3)\cdot P_Y(4)} \right ] \hspace{0.05cm}.$$
Der Logarithmus zur Basis $ 2$ ⇒ $\log_2(.)$ wurde zur einfachen Nutzung des Taschenrechners durch den Zehnerlogarithmus ⇒ $\lg(.)$ ersetzt.
Man erhält die folgenden numerischen Ergebnisse:
- für $N=1000$:
- $$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = \frac{1}{4 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.25^4}{0.225 \cdot 0.253\cdot 0.250\cdot 0.272} \right ] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.00328 \,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm},$$
- für $N=100$:
- $$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = \frac{1}{4 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.25^4}{0.24 \cdot 0.16\cdot 0.30\cdot 0.30} \right ] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.0442 \,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm},$$
- für $N=10$:
- $$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = \frac{1}{4 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)} \cdot \left [ {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.25^4}{0.5 \cdot 0.1\cdot 0.3\cdot 0.1} \right ] \hspace{0.15cm} \underline {= 0.345 \,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Richtig ist Nein, wie am Beispiel $N = 100$ gezeigt werden soll:
- $$D(P_Y \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) = \sum_{\mu = 1}^M P_Y(\mu) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_Y(\mu)}{P_X(\mu)} = 0.24\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.24}{0.25} + 0.16\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.16}{0.25} +2 \cdot 0.30\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.30}{0.25} = 0.0407\ {\rm (bit)}\hspace{0.05cm}.$$
- In der Teilaufgabe (3) haben wir stattdessen $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = 0.0442$ erhalten.
- Das bedeutet auch: Die Bezeichnung „Distanz” ist etwas irreführend.
- Danach würde man eigentlich $D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X)$ = $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y)$ erwarten.
Wahrscheinlichkeitsfunktion, Entropie und Kullback–Leibler–Distanz
(5) Mit $P_Y(X) = \big [0, \ 0.25, \ 0.5, \ 0.25 \big ]$ erhält man:
- $$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = 0.25\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.25}{0} + 2 \cdot 0.25\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.25}{0.25}+0.25\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.25}{0.50}\hspace{0.05cm}.$$
- Aufgrund des ersten Terms ergibt sich für $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm}P_Y)$ ein unendlich großer Wert.
- Für die zweite Kullback–Leibler–Distanz gilt:
- $$D(P_Y \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) = 0\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0}{0.25} + 2 \cdot 0.25\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.25}{0.25}+ 0.50\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{0.5}{0.25} \hspace{0.05cm}.$$
- Nach einer Grenzwertbetrachtung erkennt man, dass der erste Term das Ergebnis $0$ liefert. Auch der zweite Term ergibt sich zu Null, und man erhält als Endergebnis:
- $$D(P_Y \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) = 0.50\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm} \underline {= 0.5\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$
Richtig sind somit die Aussagen 3 und 5:
- Aus diesem Extrembeispiel wird deutlich, dass sich $D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X)$ stets von $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y)$ unterscheidet.
- Nur für den Sonderfall $P_Y \equiv P_X$ sind beide Kullback–Leibler–Distanzen gleich, nämlich Null.
- Die nebenstehende Tabelle zeigt das vollständige Ergebnis dieser Aufgabe.
(6) Richtig ist wiederum Nein. Die Tendenz ist zwar eindeutig: Je größer $N$ ist,
- desto mehr nähert sich $H(Y)$ im Prinzip dem Endwert $H(X) = 2 \ \rm bit$ an.
- um so kleiner werden die Distanzen $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y)$ und $D(P_Y\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X)$.
Man erkennt aus der Tabelle aber auch, dass es Ausnahmen gibt:
- Die Entropie $H(Y)$ ist für $N = 1000$ kleiner als für $N = 400$.
- Die Distanz $D(P_X\hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm}P_Y)$ ist für $N = 1000$ größer als für $N = 400$.
- Der Grund hierfür ist, dass das hier dokumentierte Experiment mit $N = 400$ eher zu einer Gleichverteilung geführt hat als das Experiment mit $N = 1000$.
- Würde man dagegen unendlich viele Versuche mit $N = 400$ und $N = 1000$ starten und über all diese mitteln, ergäbe sich tatsächlich der eigentlich erwartete monotone Verlauf.
