Digitalsignalübertragung/Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation

1. Digitalsignalübertragung
2. Digitalsignalübertragung bei idealisierten Bedingungen
3. Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation

• Vorherige Seite
• Nächste Seite

• Vorherige Seite
• Nächste Seite

Gemeinsames Blockschaltbild für ASK und BPSK

Im Kapitel  Lineare digitale Modulation  des Buches „Modulationsverfahren” wurden die digitalen Trägerfrequenzsysteme

Blockschaltbild,  gültig für ein ASK– und BPSK–Übertragungssystems gleichermaßen

• $\rm ASK$  ("Amplitude Shift Keying")  und
• $\rm BPSK$  ("Binary Phase Shift Keying")

bereits ausführlich beschrieben.  In diesem Kapitel wird nun die  Bitfehlerwahrscheinlichkeit  dieser Systeme berechnet,  wobei vom skizzierten gemeinsamen Blockschaltbild ausgegangen wird.

Im Folgenden gelten wieder die folgenden Voraussetzungen:

• Die Demodulation geschieht stets  kohärent.  Das heißt:   Beim Empfänger wird ein Trägersignal  $z_{\rm E}(t)$  mit gleicher Frequenz wie beim Sender zugesetzt,  aber mit doppelter Amplitude.
• Der Phasenversatz zwischen dem senderseitigen Trägersignal  $z(t)$  und dem empfangsseitigen Trägersignal  $z_{\rm E}(t)$  sei zunächst  $\Delta \phi_{\rm T} = 0$.
  
• Bei BPSK wird von den bipolaren Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu \in \{-1, +1\}$  ausgegangen und die Entscheiderschwelle liegt bei  $E = 0$.  Dagegen gilt bei ASK  $a_\nu \in \{0, 1\}$.  Die Entscheiderschwelle  $E$  ist für diesen unipolaren Fall bestmöglich zu wählen.
  
• Wir betrachten stets den  AWGN–Kanal,  das heißt,  dass für den Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f) = 1$  gilt und  $n(t)$  weißes Gaußsches Rauschen mit der  (einseitigen)  Rauschleistungsdichte  $N_0$  darstellt.
  
• Die Entzerrung linearer Kanalverzerrungen  – also der Fall  $H_{\rm K}(f) \ne \rm const.$ –  ist in gleicher Weise möglich wie bei der Basisbandübertragung.  Hierzu sei auf das Kapitel  "Berücksichtigung von Kanalverzerrungen und Entzerrung"  verwiesen.
  

Rauschbetrachtung zum BPSK–System

Wir gehen zunächst von einem bipolaren rechteckförmigen Quellensignal  $q(t)$  mit den Werten  $\pm s_0$  aus.  Dessen normiertes Spektrum lautet:   $H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T)$.

Ebenso wie bei der  Basisbandübertragung  ergibt sich die kleinstmögliche Bitfehlerwahrscheinlichkeit für das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f) = {H_{\rm S} }^\star(f) = {\rm si}(\pi f T)$.  Die  Signalverläufe  dieses BPSK–Systems mit Matched–Filter–Empfänger zeigen:

• Das Detektionsnutzsignal  $d_{\rm S}(t)$  – also ohne Rauschanteil –  ist zu allen Detektionszeitpunkten  $\nu \cdot T$ stets $\pm s_0$,  wobei die Vorzeichen durch die Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu \in \{-1, +1\}$  festgelegt sind.
  
• Wie beim vergleichbaren Basisbandsystem beträgt die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B} = {\rm Q}(s_0/\sigma_d)$,  mit dem  komplementären Gaußschen Fehlerintergral  ${\rm Q}(x)$.
  
• Unterschiedlich zum Basisbandsystem ist jedoch die Rauschleistung.  Der Rauschanteil  $b_{\rm N}(t)$  ergibt sich durch die Multiplikation des Bandpassrauschens  $n(t)$  mit dem empfangsseiten Träger  $z_{\rm E}(t) =2 \cdot \cos(2\pi f t)$  und besitzt die Rauschleistungsdichte

$${\it \Phi}_{b{\rm N}}(f)={\it \Phi}_{n}(f) \star \big[ 1^2 \cdot \delta ( f - f_{\rm T})+ 1^2 \cdot \delta ( f + f_{\rm T})\big].$$

Rauschleistungsdichten vor und nach der empfangsseitigen Multiplikation des Trägers

Die Grafik verdeutlicht diese Gleichung am Beispiel von bandbegrenztem weißen Rauschen mit der Bandbreite  $B_n$   ⇒   blaue linke Skizze:

1. Während  ${\it \Phi}_{n}(f = f_{\rm T}) = N_0/2$  gilt, ist  ${\it \Phi}_{b{\rm N}}(f=0) = N_0$.
2. Die Rauschanteile um  $\pm 2f_{\rm T}$  werden durch das nachfolgende Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  eliminiert und spielen für die weiteren Betrachtungen keine Rolle.
   
3. Bei echt weißem Rauschen gilt mit dem Grenzübergang  $B_n \to \infty$  für alle Frequenzen:

$${{\it \Phi}_{n}(f)}={N_0}/{2}, \hspace{0.3cm}{{\it \Phi}_{b{\rm N}}(f)}={N_0}.$$

Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen BPSK–Systems

Die gerade durchgeführten Betrachtungen zeigen,  dass man zur Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit des BPSK–Systems

Ersatzschaltbild der BPSK

• auf die beiden Multiplikationen mit  $z(t)$  und  $z_{\rm E}(t) = 2 \cdot z(t)$  verzichten kann, 
• wenn man die  (zweiseitige)  Leistungsspektraldichte des Eingangsrauschens  $n(t)$  von  $N_0/2$  auf  $N_0$ verdoppelt..

Damit ergibt sich bei AWGN–Rauschen für die Rauschleistung vor dem Entscheider:

$$\sigma_d^2 = N_0 \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} {\rm si}^2(\pi \hspace{0.01cm} f \hspace{0.05cm} T_{\rm B}) \,{\rm d} f = {N_0}/{T_{\rm B}},$$

also der doppelte Wert als bei der Basisbandübertragung.  

Hinweis:   Um später einen Vergleich mit der  Quadratur–Amplitudenmodulation  $\rm (QAM)$  zu ermöglichen,  wurde hier die Symboldauer  $T$  durch die Bitdauer  $T_{\rm B}$  ersetzt.  Bei der BPSK  (und auch bei der ASK)  gilt aber stets  $T_{\rm B}=T$.

$\text{Fazit:}$  Damit lautet die  BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit  mit den zwei üblichen  Gaußschen Fehlerfunktionen:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{N_0 } }\hspace{0.1cm} \right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{2 \cdot N_0 } }\hspace{0.1cm} \right ).$$

• Berücksichtigt man weiter,  dass die bei BPSK aufgewandte Energie pro Bit

$$E_{\rm B} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}$$

beträgt,  so kann diese Gleichung wie folgt umgeformt werden:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{ {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right ) ={1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{ {E_{\rm B} }/{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right ).$$

• Es ergibt sich somit genau die gleiche Formel wie bei der  Basisbandübertragung,  bei der jedoch für die „Energie pro Bit”  $E_{\rm B} = s_0^2 \cdot T_{\rm B}$  zu verwenden war und nicht wie hier  $E_{\rm B} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}$.

Anmerkung:   Diese letzte Gleichung gilt nicht nur bei Rechteck–Quellensignal   ⇒   $H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T)$,  sondern für jedes beliebige  $H_{\rm S}(f)$,  solange

• das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f) = {H_{\rm S} }^\star(f)$  exakt an den Sender angepasst ist,  und
  
• das Produkt  $H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm E}(f)$  das erste Nyquistkriterium erfüllt.
  

Fehlerwahrscheinlichkeit des optimalen ASK–Systems

Wir betrachten nun ein  ASK–System  bei gleichen Voraussetzungen wie das BPSK–System.  Dann gilt

1. Alle Detektionsnutzsignalwerte  $d_{\rm S}(\nu \cdot T)$  sind entweder  $0$  oder  $s_0$.  Dementsprechend ist deren Abstand von der Schwelle  $E = s_0/2$  jeweils  $s_0/2$.
2. Rer Rauscheffektivwert  $\sigma_d= \sqrt{N_0}/{T_{\rm B}}$  ist genau so groß wie bei BPSK.
3. Die Energie pro Bit ist nur halb so groß wie bei BPSK:   $E_{\rm B} = {1}/{4}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}.$

Damit lauten die entsprechenden Gleichungen für die  ASK–Fehlerwahrscheinlichkeit  als Funktion von  $s_0$  bzw. von  $E_{\rm B}$:

Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/2}{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T_{\rm B} }{4 \cdot N_0 } } \hspace{0.1cm}\right ),\hspace{1cm}$$

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B} }{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{\frac{E_{\rm B} }{2 \cdot N_0 } } \right ).$$

Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK abhängig vom Quotienten  $E_{\rm B}/N_0$.  Diese Darstellung eignet sich für den Vergleich dieser binären Modulationsverfahren unter der Nebenbedingung der Leistungsbegrenzung. 

Man erkennt aus dieser doppelt–logarithmischer Darstellung:

• Die ASK–Kurve liegt um  $3 \ \rm dB$  rechts von der BPSK–Kurve.

• Für die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B} = 10^{-8}$  benötigt man bei BPSK etwa  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 12 \ \rm dB$,  bei ASK dagegen ca.  $15 \ \rm dB$.

• Der Systemvergleich beim festen Abszissenwert  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$  liefert für die BPSK  $p_{\rm B} = 2 \cdot 10^{-4}$  und für die ASK  $p_{\rm B} = 6 \cdot 10^{-3}$.

Fehlerwahrscheinlichkeit bei 4–QAM und 4–PSK

Die  Quadratur–Amplitudenmodulation  $\rm (QAM)$  wurde im Buch „Modulationsverfahren” bereits ausführlich beschrieben.  Aus der  "Signalraumzuordnung"  und den  "Signalverläufen"  ist zu entnehmen:

• Die 4–QAM kann durch zwei zueinander orthogonale BPSK–Systeme mit Cosinus– bzw. Minus–Sinus–Träger dargestellt werden.
  
• Das Quellensignal  $q(t)$  mit der Bitdauer  $T_{\rm B}$   ⇒   Bitrate $R_{\rm B}$  wird in zwei Teilsignale  $q_{\rm I}(t)$   ⇒   "Inphase-Komponente"  und  $q_{\rm Q}(t)$   ⇒   "Quadratur-Komponente"  mit jeweils halber Rate aufgespaltet  ("Seriell–Parallel–Wandlung").  Die Symboldauer von  $q_{\rm I}(t)$  bzw.  $q_{\rm Q}(t)$  beträgt jeweils  $T = 2\cdot T_{\rm B}$;  die Symbolrate ist jeweils  $R_{\rm B}/2$.
  
• Die Amplituden der beiden zueinander orthogonalen Trägersignale sind um den Faktor  $\sqrt{2}$  kleiner gewählt als bei der BPSK,  so dass die Hüllkurve des Sendesignals   $s(t)$  wiederum  $s_0$  beträgt.

$\text{4-QAM–Fehlerwahrscheinlichkeit:}$ 

• Wegen der im Vergleich zur BPSK kleineren Signalamplitude und gleichzeitig niedrigeren Symbolrate gilt:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \frac{s_0/\sqrt{2} }{\sigma_d } \right ) \hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}{\sigma_d}^2 = \frac{N_0 }{2 \cdot T_{\rm B} } \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 }{2} \cdot \frac{2 \cdot T_{\rm B} }{N_0} }\hspace{0.1cm}\right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{ {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right ).$$

• Obwohl mit der  4–QAM gegenüber der BPSK die doppelte Informationsmenge übertragen werden kann,  ergibt sich in Abhängigkeit von  $E_{\rm B}/{N_0 }$  die genau gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$.

• Berücksichtigt ist hierbei,  dass auch bei der 4–QAM für die mittlere Energie pro Bit gilt:   $E_{\rm B} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}.$

• Da sich die  quaternäre Phasenmodulation  $\rm (4–PSK)$  von der 4–QAM nur um eine Phasenverdrehung von  $45^\circ$  unterscheidet,  ergibt sich bei Berücksichtigung geeigneter Entscheidungsgebiete auch für die 4–PSK die gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit.

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt zwei verschiedene Phasendiagramme von  "Binary Phase Shift Keying"  $\rm (BPSK)$:

Phasendiagramme bei BPSK mit Cosinusträger  (links)  bzw.  Minus–Sinusträger (rechts)

• Die beiden Diagramme unterscheiden sich allein durch die Trägerphase.  In beiden Fällen gilt  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$.

• In der linken Grafik erkennt man Bitfehler  (durch Kreise hervorgehoben)  durch gelbe Kreuze rechts von der vertikalen Entscheiderschwelle bzw. durch blaue Kreuze in der linken Halbebene.

• In der rechten Grafik weisen gelbe Kreuze oberhalb der horizontalen Schwelle und blaue Kreuze unterhalb auf Bitfehler hin.

• Der Abstand der Nutzabtastwerte ohne Rauschen  (markiert durch die weißen Punkte)  von der jeweiligen Entscheiderschwelle  (grün markiert)  beträgt jeweils  $s_0$.

• Die Varianz der Detektionsabtastwerte  – erkennbar am Radius der Punktwolken –  ist wegen  $E_{\rm B} = {1}/{2}\cdot s_0^2 \cdot T_{\rm B}$  gleich

$$\sigma_d^2 = \frac{N_0 }{ T_{\rm B} }= \frac{s_0^2/2 }{ E_{\rm B}/N_0}.$$

• Mit  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$   ⇒   $E_{\rm B}/N_0 = 10^{0.6} \approx 4$:

$$ {\sigma_d^2 }/{ {s_0}^2}= \big [ { 2 \cdot 10^{0.6} }\big ]^{-1} \approx 0.125\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} { {\sigma_d} }/{ {s_0} }\approx 0.35 \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( s_0/{\sigma_d } \right )= {\rm Q}\left ( \sqrt{2 \cdot 10^{0.6} } \hspace{0.08cm}\right ) = {\rm Q}(2.8) \approx 2 \cdot 10^{-3}.$$

$\text{Beispiel 2:}$  Nun betrachten wir ein Phasendiagramm der 4–QAM,  die man als zwei orthogonale BPSK–Systeme mit Cosinus– und Minus–Sinusträger auffassen kann.

Phasendiagramm bei 4–QAM

• Hier gibt es einen Bitfehler,  wenn die horizontale  oder  die vertikale Entscheiderschwelle überschritten wird.

• In der Grafik erkennt man einen solchen Bitfehler,  wenn ein Kreuz farblich nicht zu seinem Quadranten passt.

• Der Abstand der nunmehr vier Nutzabtastwerte ohne Rauschen (weiße Punkte) vom Ursprung beträgt wieder  $s_0$.

• Der Abstand zu den Entscheiderschwellen ist bei 4–QAM allerdings um den Faktor  $\sqrt{2}$  geringer als bei BPSK.

• Der Rauscheffektivwert  $\sigma_d$  ist bei 4–QAM um den gleichen Faktor  $\sqrt{2}$  kleiner als bei BPSK.

• Somit sind die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von 4–QAM und BPSK gleich,  jeweils:   $p_{\rm B} \approx 2 \cdot 10^{-3}.$

Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger

Voraussetzung für die Gültigkeit der bisherigen Gleichungen ist eine strenge Synchronität zwischen den bei Sender und Empfänger zugesetzten Trägersignalen.  Nun wird ein Phasenversatz  $\Delta \phi_{\rm T}$  zwischen den beiden Trägersignalen  $z(t)$  und  $z_{\rm E} (t)$  angenommen,  während weiterhin von Frequenzsynchronität ausgegangen wird.

Phasendiagramme bei BPSK und 4–QAM mit  $\Delta \phi_{\rm T} = 30 ^\circ$.

Die Grafik zeigt die Phasendiagramme für  $\Delta \phi_{\rm T} = 30^\circ$.  Man erkennt:

• Sowohl bei BPSK  (links)  als auch bei der 4–QAM  (rechts)  bewirkt ein Phasenversatz um  $\Delta \phi_{\rm T}$  eine entsprechende Drehung des Phasendiagramms.
  

• Bei BPSK bewirkt der Phasenversatz ein um  $\cos\Delta \phi_{\rm T}$  kleineres Nutzsignal.  Den gleichen Effekt haben wir bereits beim  Synchrondemodulator  eines analogen Übertragungssystems festgestellt.
  

• Demzufolge wird auch der Abstand des Detektionsnutzsignals von der Entscheiderschwelle um den gleichen Faktor geringer,  was zu einer höheren Fehlerwahrscheinlichkeit führt:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\cdot \cos({\rm \Delta} \phi_{\rm T})\right ) .$$

• Mit den hier zugrundeliegenden Zahlenwerten  $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/N_0) = 6 \ \rm dB$  und  $\Delta \phi_{\rm T} = 30^\circ)$  erhöht sich die Fehlerwahrscheinlichkeit der BPSK  (linkes Diagramm)  von  $p_{\rm B} \approx 0.2\%$  auf  $p_{\rm B} \approx 0.6\%$.

• Dagegen wird bei der 4–QAM  (rechtes Diagramm)  die Fehlerwahrscheinlichkeit bei gleichen Bedingungen nahezu um den Faktor  $40$  größer:   $p_{\rm B} \approx 8\%$.

• Falls  $|\Delta \phi_{\rm T}| < 45^\circ$  ist,  gilt für die 4–QAM folgende allgemeine Gleichung  (siehe  Aufgabe 1.9 ):

$$p_{\rm B} = 1/2 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\cdot \frac{\cos(45^\circ)}{\cos(45^\circ+{\rm \Delta} \phi_{\rm T})}\right) + 1/2 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{2 \cdot E_{\rm B}}{N_0 }} \hspace{0.1cm}\cdot \frac{\cos(45^\circ)}{\cos(45^\circ-{\rm \Delta} \phi_{\rm T})}\right).$$

$\text{Fazit:}$ 

• Obwohl man mit der 4–QAM über den gleichen Kanal die doppelte Information wie bei BPSK übertragen kann, weisen bei idealen Bedingungen beide Systeme die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit auf.
• Bei nicht idealen Bedingungen – zum Beispiel bei einem Phasenversatz – steigt allerdings die Fehlerwahrscheinlichkeit der 4–QAM sehr viel stärker an als bei BPSK.

Basisbandmodell für ASK und BPSK

Die Grafik zeigt oben nochmals das  Gesamtblockschaltbild  eines Trägerfrequenzsystems mit kohärenter Demodulation,  das für ASK  (unipolare Amplitudenkoeffizienten)  und BPSK  (bipolare Koeffizienten)  in gleicher Weise gültig ist.

Blockschaltbild und äquivalentes Basisbandmodell für die kohärente ASK bzw. BPSK

• Durch die Multiplikation mit dem Träger  $z(t)$  wird das Spektrum  $Q(f)$  – und dementsprechend auch das Leistungsdichtespektrum  ${\it \Phi}_q(f)$  –  beidseitig um die Trägerfrequenz  $(\pm f_{\rm T})$  verschoben.

• Nach dem Kanal wird diese Verschiebung durch den  Synchrondemodulator  wieder rückgängig gemacht.

Geht man vom  äquivalenten Basisbandmodell  entsprechend der unteren Grafik aus,  so lässt sich die Berechnung der Signale nach dem Demodulator vereinfachen:

• Man kürzt quasi den Einfluss von Modulator und Demodulator und ersetzt den Bandpasskanal mit dem Frequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  durch eine geeignete Tiefpass–Übertragungsfunktion  $H_{\rm MKD}(f)$,  wobei der Index für  "Modulator – Kanal – Demodulator" steht.
  

• Unter Berücksichtigung einer Phasendifferenz  $\Delta \phi_{\rm T}$  zwischen den Trägersignalen von Sender und Empfänger erhält man für die resultierende Übertragungsfunktion:

$$H_{\rm MKD}(f) = {1}/{2} \cdot \big [ {\rm e}^{\hspace{0.04cm}-{\rm j} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{\rm \Delta} \phi_{\rm T}} \cdot H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) +{\rm e}^{\hspace{0.04cm}{\rm j} \hspace{0.04cm}\cdot \hspace{0.04cm}{\rm \Delta} \phi_{\rm T}} \cdot H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\big ] .$$

• Bei einem reellen und um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  symmetrischen Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$  – also falls  $H_{\rm K}(f_{\rm T}-f) = H_{\rm K}(f_{\rm T}+f)$  gilt –  kann man diese Gleichung wie folgt vereinfachen:

$$H_{\rm MKD}(f) = \frac{\cos({\rm \Delta} \phi_{\rm T})}{2} \cdot \big [ H_{\rm K}(f-f_{\rm T}) + H_{\rm K}(f+f_{\rm T})\big ] .$$

• Die Signale  $b\hspace{0.08cm}'(t)$  im unteren Bild und  $b(t)$  nach dem Demodulator des Bandpass–Systems im oberen Bild sind somit bis auf die  $±2f_{\rm T}$–Anteile identisch. Diese Anteile werden jedoch durch das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  eliminiert und müssen nicht weiter berücksichtigt werden.

$\text{Fazit:}$ 

• Die Fehlerwahrscheinlichkeiten von ASK und BPSK können somit auch mit dem einfacheren Basisbandmodell berechnet werden,  und zwar auch dann,  wenn ein verzerrender Kanal  $H_{\rm K}(f)$  vorliegt.
• Zu beachten ist,  dass auch das Rauschsignal  $n(t)$  in den Tiefpassbereich transformiert werden muss.  Bei  "Weißem Rauschen"  muss hierzu  ${\it \Phi}_n(f) = N_0/2$  durch  ${\it \Phi}_{n,\hspace{0.06cm}{\rm TP} }(f) = N_0$  ersetzt werden.

$\text{Beispiel 3:}$  Die Grafik verdeutlicht das Basisbandmodell anhand der Amplitudenspektren,  wobei vereinfachend vorausgesetzt wird:

Spektren des BPSK–Systems und des zugehörigen Basisbandmodells

• ein Quellensignal mit gaußförmigem Spektrum  $Q(f)$,
• die BPSK–Modulation,
• ein rechteckiger Bandpass–Kanalfrequenzgang  $H_{\rm K}(f)$,
• eine phasensynchrone Demodulation,  und
• ein ebenfalls rechteckförmiges Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  mit  $\Delta f_{\rm E} > \Delta f_{\rm K}$.

Man erkennt:

1. Das Spektrum  $D(f)$  vor dem Entscheider wird durch das äquivalente Basisbandmodell richtig wiedergegeben,  obwohl sich die beiden Spektren  $B(f)$  bzw.  $B\hspace{0.05cm}'(f)$  (um die doppelte Trägerfrequenz)  unterscheiden.
   
   
2. Die resultierende Übertragungsfunktion  $H_{\rm MKD}(f)$  berücksichtigt auch die Bandbegrenzung durch den Kanal,  der in diesem Beispiel als rechteckförmig um die Trägerfrequenz angenommen wurde.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 1.8: Vergleich ASK und BPSK

Aufgabe 1.8Z: BPSK-Fehlerwahrscheinlichkeit

Aufgabe 1.9: BPSK und 4-QAM

Aufgabe 1.10: BPSK–Basisbandmodell

Aufgabe 1.10Z: Gauß-Bandpass