Digitalsignalübertragung/Lineare Nyquistentzerrung: Unterschied zwischen den Versionen

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== Struktur des optimalen Nyquistentzerrers ==
 
== Struktur des optimalen Nyquistentzerrers ==
 
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In diesem Abschnitt gehen wir von folgendem Blockschaltbild eines Binärsystems aus.<br>
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In diesem Abschnitt gehen wir von folgendem Blockschaltbild eines Binärsystems aus.&nbsp; Hierzu ist anzumerken:
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[[Datei:P ID1423 Dig T 3 5 S1 version1.png|right|frame|Blockschaltbild des optimalen Nyquistentzerrers|class=fit]]
  
[[Datei:P ID1423 Dig T 3 5 S1 version1.png|Blockschaltbild des optimalen Nyquistentzerrers|class=fit]]<br>
+
*Die&nbsp; "Diracquelle"&nbsp; liefert die zu übertragende Nachricht in binärer bipolarer Form  &nbsp; &rArr; &nbsp; Amplitudenkoeffizienten &nbsp;$a_\nu \in \{ -1, \hspace{0.05cm}+1\}$.&nbsp; Die Quelle wird als redundanzfrei vorausgesetzt.<br>
  
Hierzu ist anzumerken:
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*Die&nbsp; "Sendeimpulsform" &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; wird durch den Senderfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm S}(f)$&nbsp; berücksichtigt.&nbsp; Bei allen Beispielen ist &nbsp;$H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T)$&nbsp; zugrunde gelegt &nbsp; &rArr; &nbsp; NRZ&ndash;Rechteck&ndash;Sendeimpulse.<br>
*Die Diracquelle liefert die zu übertragende Nachricht (Amplitudenkoeffizienten <i>a<sub>&nu;</sub></i>) in binärer bipolarer Form. Sie wird als redundanzfrei vorausgesetzt.<br>
 
  
*Die Sendeimpulsform <i>g<sub>s</sub></i>(<i>t</i>) wird durch den Senderfrequenzgang <i>H</i><sub>S</sub>(<i>f</i>) berücksichtigt. Bei allen Beispielen ist <i>H</i><sub>S</sub>(<i>f</i>) = si(&pi; <i>f</i> <i>T</i>) zugrunde gelegt.<br>
+
*Bei manchen Herleitungen werden Sender und Kanal durch den&nbsp; "gemeinsamen Frequenzgang" &nbsp;$H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)$&nbsp; zusammengefasst.<br>
  
*Bei manchen Herleitungen werden Sender und Kanal &ndash; hierfür wird meist ein Koaxialkabel angenommen &ndash; durch den gemeinsamen Frequenzgang <i>H</i><sub>SK</sub>(<i>f</i>) = <i>H</i><sub>S</sub>(<i>f</i>) &middot; <i>H</i><sub>K</sub>(<i>f</i>) zusammengefasst.<br>
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*Das Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; setzt sich multiplikativ aus dem &nbsp;[[Stochastische_Signaltheorie/Matched-Filter|Matched&ndash;Filter]]&nbsp; $H_{\rm MF}(f) = H_{\rm SK}^\star(f)$&nbsp; und dem &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Lineare_Nyquistentzerrung#Wirkungsweise_des_Transversalfilters|Transversalfilter]]&nbsp; $H_{\rm TF}(f)$ zusammen,&nbsp; zumindest kann es gedanklich so aufgespalten werden.
  
*Das Empfangsfilter <i>H</i><sub>E</sub>(<i>f</i>) setzt sich multiplikativ aus dem Matched&ndash;Filter <i>H</i><sub>MF</sub>(<i>f</i>) = <i>H</i><sub>SK</sub><sup>&#8727;</sup>(<i>f</i>) und dem Transversalfilter <i>H</i><sub>TF</sub>(<i>f</i>) zusammen, zumindest kann es gedanklich so aufgespalten werden.
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*Der Gesamtfrequenzgang zwischen Diracquelle und Schwellenwertentscheider soll die &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich|"erste Nyquistbedingung"]]&nbsp; erfüllen.&nbsp; Es muss also gelten:
 
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:$$H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f)
*Der Gesamtfrequenzgang zwischen der Diracquelle und dem Schwellenwertentscheider soll die [http://www.lntwww.de/Digitalsignal%C3%BCbertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#Erstes_Nyquistkriterium_im_Frequenzbereich erste Nyquistbedingung] erfüllen. Es muss also gelten:
 
 
 
::<math>H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f)
 
 
  = H_{\rm Nyq}(f)
 
  = H_{\rm Nyq}(f)
  \hspace{0.05cm}.</math>
+
  \hspace{0.05cm}.$$
 
 
*Mit dieser Bedingung ergibt sich die maximale Augenöffnung (keine Impulsinterferenzen). Deshalb gelten für das Detektions&ndash;SNR und den Systemwirkungsgrad bei binärer Signalisierung:
 
  
::<math>\rho_d = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{\sigma_d^2} =  \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{N_0}\cdot \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}
+
*Mit dieser Bedingung  gibt es keine Impulsinterferenzen und man erhält die maximale Augenöffnung.&nbsp; Deshalb gelten für das &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Optimaler_Bin.C3.A4rempf.C3.A4nger_-_Realisierung_mit_Matched-Filter|"Detektions&ndash;SNR"]]&nbsp; und den &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Systemoptimierung_bei_Spitzenwertbegrenzung|"Systemwirkungsgrad"]]&nbsp; bei binärer Signalisierung:
 +
:$$\rho_d = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{\sigma_d^2} =  \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{N_0}\cdot \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}
 
   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 
  \eta = \frac{\rho_d }{\rho_{d,\hspace{0.05cm} {\rm max}}}
 
  \eta = \frac{\rho_d }{\rho_{d,\hspace{0.05cm} {\rm max}}}
 
= \frac{\rho_d }{2 \cdot s_0^2 \cdot T/N_0}
 
= \frac{\rho_d }{2 \cdot s_0^2 \cdot T/N_0}
 
= \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}
 
= \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}
\hspace{0.05cm}.</math>
+
\hspace{0.05cm}.$$
  
*Die Optimierungsaufgabe beschränkt sich also darauf, das Empfangsfilter <i>H</i><sub>E</sub>(<i>f</i>) so zu bestimmen, dass die normierte Rauschleistung vor dem Entscheider den kleinstmöglichen Wert annimmt:
+
*Die Optimierungsaufgabe beschränkt sich also darauf,&nbsp; das Empfangsfilter &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; so zu bestimmen,&nbsp; dass die normierte Rauschleistung vor dem Entscheider den kleinstmöglichen Wert annimmt:
  
 
::<math>\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/
 
::<math>\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/
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\,{\rm d} f \stackrel {!}{=} {\rm Minimum}\hspace{0.05cm}.</math>
 
\,{\rm d} f \stackrel {!}{=} {\rm Minimum}\hspace{0.05cm}.</math>
  
*Wir bezeichnen die Konfiguration als  Optimale Nyquistentzerrung (ONE). Obwohl diese auch &ndash; und besonders effektiv &ndash; bei Mehrstufensystemen anwendbar ist, setzen wir zunächst <i>M</i> = 2.<br><br>
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{{BlaueBox|TEXT= 
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$\text{Definition:}$&nbsp; Wir bezeichnen die hier beschriebene Konfiguration als  &nbsp;'''Optimale Nyquistentzerrung'''&nbsp; $\rm (ONE)$. }}
  
== Wirkungsweise des Transversalfilters (1) ==
+
 
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Obwohl diese auch &ndash; und besonders effektiv &ndash; bei Mehrstufensystemen anwendbar ist,&nbsp; setzen wir zunächst &nbsp;$M = 2$.
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== Wirkungsweise des Transversalfilters==
 
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[[Datei:P ID1424 Dig T 3 5 S2 version2.png|right|frame|Transversalfilter (zweiter Ordnung) als Teil des optimalen Nyquistentzerrers|class=fit]]
 
Verdeutlichen wir uns zunächst die Aufgabe des symmetrischen Transversalfilters
 
Verdeutlichen wir uns zunächst die Aufgabe des symmetrischen Transversalfilters
 
+
:$$H_{\rm TF}(f) \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ
:<math>H_{\rm TF}(f) \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ
 
 
  \hspace{0.4cm}  
 
  \hspace{0.4cm}  
 
h_{\rm TF}(t) = \sum_{\lambda = -N}^{+N} k_\lambda \cdot \delta(t - \lambda \cdot T)
 
h_{\rm TF}(t) = \sum_{\lambda = -N}^{+N} k_\lambda \cdot \delta(t - \lambda \cdot T)
  \hspace{0.05cm}.</math>
+
$$
  
<i>N</i> gibt die Ordnung des Filters an. Für die Filterkoeffizienten gilt <i>k</i><sub>&ndash;&lambda;</sub> = <i>k</i><sub>&lambda;</sub>. Dieses Filter ist somit durch die Koeffizienten <i>k</i><sub>0</sub>, ... , <i>k<sub>N</sub></i> vollständig bestimmt. Die Grafik zeigt ein Filter zweiter Ordnung (<i>N</i> = 2).<br>
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mit folgenden Eigenschaften:
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*$N$&nbsp; gibt die&nbsp; "Ordnung"&nbsp; des Filters an &nbsp; &rArr; &nbsp; die Grafik zeigt ein Filter zweiter Ordnung &nbsp;$(N=2)$.
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*Für die Filterkoeffizienten gilt &nbsp;$k_{-\lambda} = k_{\lambda}$ &nbsp; &rArr; &nbsp; symmetrische Struktur &nbsp; &rArr; &nbsp; $H_{\rm TF}(f)$ ist reell.
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*$H_{\rm TF}(f)$&nbsp; ist somit durch die Koeffizienten &nbsp;$k_0$, ... , $k_N$&nbsp; vollständig bestimmt.  
  
[[Datei:P ID1424 Dig T 3 5 S2 version2.png|Transversalfilter als Teil des optimalen Nyquistentzerrers|class=fit]]<br>
 
  
Für den Eingangsimpuls <i>g<sub>m</sub></i>(<i>t</i>) setzen wir ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit voraus, dass dieser
+
Für den Eingangsimpuls &nbsp;$g_m(t)$&nbsp; setzen wir ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit voraus, dass dieser  
  
*symmetrisch um <i>t</i> = 0 ist (Ausgang des Matched&ndash;Filters),<br>
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*symmetrisch um &nbsp;$t=0$&nbsp;  ist&nbsp; $($Ausgang des Matched&ndash;Filters$)$,<br>
*zu den Zeiten <i>&nu;</i><i>T</i> und &ndash;<i>&nu;</i><i>T</i> den Wert <i>g<sub>m</sub></i>(<i>&nu;</i>) besitzt.<br><br>
 
  
Damit sind die Eingangsimpulswerte:
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*zu den Zeiten &nbsp;$\nu \cdot T$&nbsp; und &nbsp;$-\nu \cdot T$&nbsp; jeweils den Wert &nbsp;$g_m(\nu)$ besitzt.<br>
  
:<math>...\hspace{0.2cm} , g_m(3),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}\hspace
+
 
 +
Damit lauten die Eingangsimpulswerte:
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:$$\text{...}\hspace{0.2cm} , g_m(3),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}\hspace
 
{0.15cm}g_m(0),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(3),\hspace{0.1cm}
 
{0.15cm}g_m(0),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(3),\hspace{0.1cm}
... \hspace{0.05cm}.</math>
+
\text{...}\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
Für den Detektionsgrundimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp;  am Filterausgang ergeben sich demzufolge zu den Zeitpunkten &nbsp;$\nu \cdot T$&nbsp; mit den Abkürzungen &nbsp;$g_0 =g_d(t= 0)$, &nbsp; $g_1 =g_d(t= \pm T)$, &nbsp; $g_2 =g_d(t= \pm 2T)$&nbsp; folgende Werte:
 +
:$$ t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.9cm}g_0  =  k_0 \cdot g_m(0) + k_1 \cdot 2
 +
\cdot g_m(1) \hspace{1.23cm}+k_2 \cdot 2 \cdot g_m(2),\hspace{0.05cm} $$
 +
:$$ t = \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.45cm}g_1  =  k_0 \cdot g_m(1) + k_1
 +
\cdot \big [g_m(0)+g_m(2)]+ k_2 \cdot [g_m(1)+g_m(3) \big ], $$
 +
:$$ t = \pm 2T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2  =  k_0 \cdot g_m(2) + k_1
 +
\cdot \big [g_m(1)+g_m(3)\big ]+ k_2  \cdot \big [g_m(2)+g_m(4)\big ]
 +
\hspace{0.05cm}. $$
 +
 
 +
Aus diesem System mit drei linear unabhängigen Gleichungen kann man nun die Filterkoeffizienten &nbsp;$k_0$, &nbsp;$k_1$&nbsp; und&nbsp; $k_2$&nbsp; so bestimmen,&nbsp; dass der Detektionsgrundimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; folgende Stützstellen aufweist:
 +
:$$\text{...}\hspace{0.15cm} , g_3,\hspace{0.25cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_1 = 0
 +
,\hspace{0.15cm}g_0 = 1,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_2
 +
= 0 ,\hspace{0.25cm}g_3 ,\hspace{0.15cm} \text{...}$$
 +
 
 +
{{GraueBox|TEXT= 
 +
$\text{Beispiel 1:}$&nbsp; Wir gehen von dem symmetrischen Eingangssignal entsprechend dem oberen Diagramm in der Grafik aus.&nbsp; Mit der Abkürzung &nbsp;$g_m(\nu)= g_m(\pm \nu \cdot T)$&nbsp; gibt es folgende Abtastwerte im Abstand der Symboldauer &nbsp;$T$:
 +
:$$g_m(t) = {\rm e}^{  - \sqrt{2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \vert /T} }\hspace{0.3cm}
 +
\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_m(0) = 1 ,\hspace{0.35cm}g_m(1)=
 +
0.243,\hspace{0.35cm}g_m(2)= 0.135,\hspace{0.35cm}g_m(3)= 0.086,
 +
\hspace{0.35cm}g_m(4)= 0.059 \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
&rArr; &nbsp; Für den Ausgangsimpuls soll &nbsp;$g_d(t =0) = 1$&nbsp; und&nbsp;  $g_d(t =\pm T) = 0$&nbsp; gelten.&nbsp; Hierzu eignet sich ein Laufzeitfilter erster Ordnung mit den Koeffizienten &nbsp;$k_0$&nbsp; und&nbsp;  $k_1$,&nbsp; die folgende Bedingungen erfüllen müssen:
 +
[[Datei:P ID1425 Dig T 3 5 S2b version1.png|right|frame|Eingangs- und Ausgangsimpuls des optimalen Nyquistentzerrers]]
 +
:$$t = \pm T\hspace{-0.1cm}  :  \hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot
 +
\big [1.000 +0.135 \big  ] = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow
 +
\hspace{0.3cm}{k_1} =
 +
-0.214 \cdot {k_0}\hspace{0.05cm},$$
 +
:$$ t = 0 \hspace{-0.1cm}  :  \hspace{0.6cm}g_0 = k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2 \cdot
 +
0.243= 1\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}0.896 \cdot {k_0}
 +
= 1 \hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
Daraus erhält man die optimalen Filterkoeffizienten &nbsp;$k_0 = 1.116$&nbsp; und&nbsp; $k_1 = 0.239$.
 +
*Das mittlere Diagramm zeigt, dass damit der erste Vorläufer und der erste Nachläufer kompensiert werden können und zugleich &nbsp;$g_d(0) =1$&nbsp; gilt&nbsp; (gelbe Hinterlegung).
 +
 +
*Die weiteren Detektionsgrundimpulswerte&nbsp; (blaue Kreise)&nbsp; sind aber von Null verschieden und bewirken Impulsinterferenzen.<br>
 +
 
  
Für den Detektionsgrundimpuls <i>g<sub>d</sub></i>(<i>t</i>) am Filterausgang ergeben sich demzufolge zu den Zeitpunkten <i>&nu;</i><i>T</i> mit den Abkürzungen <i>g</i><sub>0</sub> = <i>g<sub>d</sub></i>(<i>t</i> = 0), <i>g</i><sub>1</sub> = <i>g<sub>d</sub></i>(<i>t</i> = &plusmn;<i>T</i>), <i>g</i><sub>2</sub> = <i>g<sub>d</sub></i>(<i>t</i> = &plusmn;2<i>T</i>) folgende Werte:
+
&rArr; &nbsp; Das untere Diagramm zeigt,&nbsp;  dass mit einem Filter zweiter Ordnung &nbsp;$(N = 2)$&nbsp; Nulldurchgänge bei &nbsp;$\pm T$&nbsp; und bei &nbsp;$\pm 2T$&nbsp; erzwungen werden,&nbsp; wenn die Koeffizienten &nbsp;$k_0 = 1.127$, &nbsp;$k_1 = 0.219$&nbsp; und&nbsp; $k_2 = 0.075$&nbsp; geeignet gewählt sind.&nbsp; Das Gleichungssystem zur Bestimmung der optimalen Koeffizienten lautet dabei:
 +
:$$t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.85cm}g_0  =  k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2
 +
\cdot  0.243 + k_2 \cdot 2 \cdot 0.135 = 1\hspace{0.05cm},$$
 +
:$$t= \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.45cm}g_1  =  k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot
 +
\big [1.000+0.135 \big ]+ k_2  \cdot \big [0.243+0.086 \big ] = 0\hspace{0.05cm},$$
 +
:$$t = \pm 2 T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2  =  k_0 \cdot 0.135 + k_1 \cdot
 +
\big [0.243+0.086\big ]+ k_2 \cdot \big [1.000 + 0.059 \big ]= 0 \hspace{0.05cm}.$$}}<br>
  
:<math> t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0  k_0 \cdot g_m(0) + k_1 \cdot 2
+
{{BlaueBox|TEXT=
\cdot g_m(1) \hspace{1.23cm}+k_2 \cdot 2 \cdot g_m(2),\hspace{0.05cm} </math>
+
$\text{Fazit:}$&nbsp; Die Ergebnisse können wie folgt verallgemeinert werden:
:<math> t = \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1  =  k_0 \cdot g_m(1) + k_1
+
#Mit einem Laufzeitfilter &nbsp;$N$&ndash;ter Ordnung kann der Hauptwert zu &nbsp;$g_d(0)=1$&nbsp; (normiert)&nbsp; gemacht werden
\cdot [g_m(0)+g_m(2)]+ k_2 \cdot [g_m(1)+g_m(3)], </math>
+
# Außerdem können die ersten $N$&nbsp; Nachläufer &nbsp;$g_{\nu}$&nbsp; und die ersten $N$&nbsp;  Vorläufer &nbsp;$g_{-\nu}$&nbsp; zu Null gemacht werden.<br>
:<math> t = \pm 2T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2  =  k_0 \cdot g_m(2) + k_1
+
#Weitere Vor&ndash; und Nachläufer &nbsp;$(\nu \gt N)$&nbsp; lassen sich so nicht kompensieren.  
\cdot [g_m(1)+g_m(3)]+ k_2  \cdot [g_m(2)+g_m(4)]
+
#Es ist sogar möglich,&nbsp; dass die Vor&ndash; und Nachläufer außerhalb des Kompensationsbereichs vergrößert werden oder sogar neu entstehen.<br>
\hspace{0.05cm}. </math>
+
#Im Grenzübergang &nbsp;$N \to \infty$&nbsp; (in der Praxis heißt das: &nbsp; ein Filter mit sehr vielen Koeffizienten)&nbsp; ist eine vollständige Nyquistentzerrung und damit eine impulsinterferenzfreie Übertragung möglich.}}
  
Aus diesem System mit drei linear unabhängigen Gleichungen kann man nun die Filterkoeffizienten <i>k</i><sub>0</sub>, <i>k</i><sub>1</sub> und <i>k</i><sub>2</sub> so bestimmen, dass der Detektionsgrundimpuls <i>g<sub>d</sub></i>(<i>t</i>) durch die normierten Stützstellen
 
  
:<math>...\hspace{0.15cm} , g_3,\hspace{0.25cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_1 = 0
+
== Beschreibung im Frequenzbereich ==
,\hspace{0.15cm}g_0 = 1,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_2
+
<br>
= 0 ,\hspace{0.25cm}g_3 ,\hspace{0.15cm} ...</math>
+
Die Tatsache,&nbsp; dass sich der optimale Nyquistentzerrer multiplikativ aus
 +
*dem Matched&ndash;Filter &nbsp;$H_{\rm MF}(f) = H_{\rm S}^\star (f)\cdot H_{\rm K}^\star(f)$&nbsp; &ndash; also angepasst an den Empfangsgrundimpuls &nbsp;$g_r(t)$&nbsp; &ndash; und<br>
 +
*einem Transversalfilter &nbsp;$H_{\rm MF}(f)$&nbsp; mit unendlich vielen Filterkoeffizienten<br><br>
 +
 
 +
zusammensetzt,&nbsp; folgt aus dem ersten Nyquistkriterium.&nbsp; Durch Anwendung der &nbsp;[https://de.wikipedia.org/wiki/Variationsrechnung "Variationsrechnung"]&nbsp; erhält man den Frequenzgang des Transversalfilters &ndash; siehe [ST85]<ref name='ST85'>  Söder, G.; Tröndle, K.:&nbsp; "Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme."&nbsp; Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.</ref>:
 +
[[Datei:Dig_T_3_5_S3b_version2.png|right|frame|(Betrags&ndash;) Frequenzgang des Transversalfilter (links) und des gesamten optimalen Nyquistentzerrers (rechts)|class=fit]]
 +
$$H_{\rm TF}(f) = \frac{1}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty}  |H_{\rm SK}(f -
 +
\frac{\kappa}{T})
 +
|^2},$$
 +
$$\text{wobei }H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f)\cdot H_{\rm K}(f).$$
 +
 
 +
Die linke Grafik zeigt &nbsp;$20 \cdot \lg \ H_{\rm TF}(f)$&nbsp; im Bereich &nbsp;$| f | \le 1/T$.&nbsp; Vorausgesetzt sind rechteckförmige NRZ&ndash;Sendeimpulse und ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star$.
 +
 
 +
Man erkennt aus obiger Gleichung und Grafik:
 +
*$H_{\rm TF}(f)$&nbsp; ist reell &nbsp; &rArr; &nbsp; symmetrische Transversalfilterstruktur &nbsp; &rArr; &nbsp; $k_{-\lambda} =k_{+\lambda} $.<br>
 +
 
 +
*$H_{\rm TF}(f)$&nbsp; ist gleichzeitig eine mit der Frequenz &nbsp;$1/T$&nbsp; periodische Funktion &nbsp; &rArr; &nbsp;Koeffizienten des Filters ergeben sich aus der &nbsp;[[Signaldarstellung/Fourierreihe|"Fourierreihe"]]&nbsp; (angewandt auf die Spektralfunktion):
 +
:$$k_\lambda =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)}\frac{\cos(2 \pi f \lambda T)}  {\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty}  |H_{\rm SK}(f -
 +
{\kappa}/{T})
 +
|^2} \hspace{0.2cm} {\rm d} f$$
 +
:$$ \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}H_{\rm TF}(f) =
 +
\sum\limits_{\lambda = -\infty}^{+\infty} k_\lambda \cdot {\rm
 +
e}^{-{\rm  j}2 \pi f \lambda T}\hspace{0.05cm}.$$
 +
 
 +
In der rechten Grafik ist der Frequenzgang &nbsp; $20 \cdot \lg \ |H_{\rm E}(f)|$ &nbsp; des gesamten Empfangsfilters einschließlich Matched&ndash;Filter dargestellt.&nbsp; Es gilt:
 +
 
 +
:$$H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f) = \frac{H_{\rm SK}^{\star}(f)}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty}  |H_{\rm SK}(f -
 +
{\kappa}/{T})
 +
|^2}.$$
 +
 
 +
Zu diesen Darstellungen ist anzumerken:
 +
*Für &nbsp;$a_\star = 0 \ \rm dB$&nbsp;  (idealer Kanal,&nbsp; grüne Null&ndash;Linie)&nbsp; kann auf das Transversalfilter&nbsp; $H_{\rm TF}(f)$&nbsp; verzichtet werden und es gilt für NRZ&ndash;Rechteckimpulse,&nbsp; wie bereits im Abschnitt  &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisband%C3%BCbertragung#Optimaler_Bin.C3.A4rempf.C3.A4nger_-_Realisierung_mit_Matched-Filter|"Optimaler Binärempfänger &ndash; Realisierung mit Matched-Filter"]]&nbsp; hergeleitet:
 +
:$$H_{\rm E}(f) =H_{\rm S}(f) = {\rm si} (\pi f T).$$
 +
*Während der Transversalfilter&ndash;Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm TF}(f)$&nbsp; bei &nbsp;$a_\star \ne 0 \ \rm dB$&nbsp; symmetrisch zur Nyquistfrequenz &nbsp;$f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$&nbsp; ist,&nbsp; ist diese Symmetrie beim Empfangsfilter&ndash;Gesamtfrequenzgang &nbsp;$H_{\rm E}(f)$&nbsp; nicht mehr gegeben.<br>
 +
 
 +
*Die Maxima der Frequenzgänge &nbsp;$H_{\rm TF}(f)$&nbsp; und &nbsp;$|H_{\rm E}(f)|$&nbsp; hängen signifikant von der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star$&nbsp; ab.&nbsp; Aus dem blauen bzw. roten  Funktionsverlauf kann abgelesen werden:
 +
:$$a_{\star} = 40\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[H_{\rm
 +
TF}(f)\big]\hspace{0.1cm} \approx 80\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm
 +
Max}\big[\ |H_{\rm E}(f)| \  \big] \approx 40\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$
 +
:$$a_{\star} = 80\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[H_{\rm TF}(f)\big]
 +
\approx 160\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[\ |H_{\rm E}(f)|\ \big]
 +
\approx 80\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$
  
vollständig gegeben ist. Auf der nächsten Seite wird die Optimierung der Filterkoeffizienten an einem einfachen Beispiel verdeutlicht.<br>
 
  
== Wirkungsweise des Transversalfilters (2) ==
+
== Approximation des optimalen Nyquistentzerrers ==
 
<br>
 
<br>
{{Beispiel}}''':''' Wir gehen von dem symmetrischen Eingangssignal entsprechend dem oberen Diagramm aus. Mit der Abkürzung <i>g<sub>m</sub></i>(<i>&nu;</i>) = <i>g<sub>m</sub></i>(&plusmn; <i>&nu;</i> &middot; <i>T</i>) gibt es folgende Abtastwerte im Abstand der Symboldauer <i>T</i>:
+
Wir betrachten nun den Gesamtfrequenzgang zwischen Diracquelle und Entscheider:  
 +
*Dieser setzt sich multiplikativ aus den Frequenzgängen von Sender, Kanal und Empfänger zusammen.
 +
 +
*Entsprechend der Herleitung muss der Gesamtfrequenzgang die Nyquistbedingung erfüllen:
 +
[[Datei:P ID1428 Dig T 3 5 S3c version1.png|right|frame|Optimaler Nyquistfrequenzgang&nbsp; (Übertragungssystem mit Koaxialkabel)|class=fit]]
  
:<math>g_m(t) = {\rm exp }\left ( - \sqrt{2 \cdot |t|/T}\right )</math>
+
:$$H_{\rm Nyq}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f) =
 +
\frac{|H_{\rm SK}(f)|^2}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty}  |H_{\rm SK}(f -
 +
{\kappa}/{T})
 +
|^2}\hspace{0.05cm}.$$
  
:<math>\Rightarrow \hspace{0.3cm} g_m(0) = 1 ,\hspace{0.15cm}g_m(1)=
+
Die Grafik zeigt folgende Eigenschaften des&nbsp; '''optimalen Nyquistentzerrers'''&nbsp; $\rm (ONE)$:
0.243,\hspace{0.15cm}g_m(2)= 0.135,\hspace{0.15cm}g_m(3)= 0.086,
+
*Ist die Kabeldämpfung hinreichend groß &nbsp;$(a_\star \ge 10 \ \rm dB)$,&nbsp; so kann man den Gesamtfrequenzgang mit guter Näherung durch den &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Eigenschaften_von_Nyquistsystemen#1.2FT.E2.80.93Nyquistspektren|"Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpass"]]&nbsp; beschreiben.<br>
\hspace{0.15cm}g_m(4)= 0.059 \hspace{0.05cm}.</math>
 
  
Für den Ausgangsimpuls soll <i>g<sub>d</sub></i>(0) = 1 und <i>g<sub>d</sub></i>(&plusmn;<i>T</i>) = 0 gelten. Hierzu eignet sich ein Laufzeitfilter erster Ordnung mit den Koeffizienten <i>k</i><sub>0</sub> und <i>k</i><sub>1</sub>, die folgende Bedingungen erfüllen müssen:
+
*Je größer &nbsp;$a_\star$&nbsp; ist,&nbsp; desto kleiner ist der Rolloff&ndash;Faktor &nbsp;$r$&nbsp; und um so steiler verläuft der Flankenabfall.&nbsp; Für die charakteristische Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star = 40 \ \rm dB$&nbsp; (blaue Kurve)&nbsp; ergibt sich &nbsp;$r \approx 0.4$,&nbsp; für &nbsp;$a_\star = 80 \ \rm dB$&nbsp; (rote Kurve)&nbsp; $r \approx 0.18$.<br>
  
:<math>t = \pm T\hspace{-0.1cm}  : \hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot
+
*Oberhalb der Frequenz &nbsp;$f_{\rm Nyq} \cdot (1 + r)$&nbsp; besitzt &nbsp;$H_{\rm Nyq}(f)$&nbsp; keine Anteile.&nbsp; Bei idealem Kanal &nbsp; &rArr; &nbsp; &nbsp;$a_\star = 0 \ \rm dB$&nbsp; (grüne Kurve)&nbsp;  reicht &nbsp;$H_{\rm Nyq}(f)= {\rm si}^2(\pi f T)$&nbsp; allerdings theoretisch bis ins Unendliche.
[1.000 +0.135] = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow
+
 
\hspace{0.3cm}{k_1} =
+
 
-0.214 \cdot {k_0}\hspace{0.05cm},</math>
+
&rArr; &nbsp; Das interaktive HTML5/JavaScript&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|"Frequenzgang und Impulsantwort"]]&nbsp; verdeutlicht unter anderem die Eigenschaften des  Cosinus&ndash;Rolloff&ndash;Tiefpasses.
:<math> t = 0 \hspace{-0.1cm} :  \hspace{0.2cm}g_0 = k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2 \cdot
+
 
0.243= 1\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}0.896 \cdot {k_0}
+
 
= 1 \hspace{0.05cm}.</math>
+
== Berechnung der normierten Störleistung ==
 +
<br>
 +
Wir betrachten nun noch die (normierte) Störleistung am Entscheider.&nbsp; Für diese gilt:
 +
 
 +
:$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/
 +
(2T)} =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} |H_{\rm E}(f)|^2
 +
\,{\rm d} f .$$
 +
 
 +
[[Datei:P ID1429 Dig T 3 5 S5 version1.png|right|frame|Zur Berechnung der normierten Störleistung beim optimalen Nyquistentzerrer&nbsp; $\rm (ONE)$|class=fit]]
 +
*Das linke Diagramm der Grafik zeigt &nbsp;$|H_{\rm E}(f)|^2$&nbsp;  im linearen Maßstab für die charakteristische Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star = 80 \ \rm dB$. Beachten Sie, dass &nbsp;$|H_{\rm E}(f = 0)|^2 = 1$&nbsp; ist.  
  
[[Datei:P ID1425 Dig T 3 5 S2b version1.png|rechts|Eingangs- und Ausgangsimpuls des optimalen Nyquistentzerrers]]<br>
+
*Da die Frequenz in dieser Darstellung auf &nbsp;$1/T$&nbsp; normiert wurde,&nbsp; entspricht die normierte Störleistung genau der (rot hinterlegten) Fläche unter dieser Kurve.&nbsp; Die numerische Auswertung ergibt:
  
Daraus erhält man die optimalen Filterkoeffizienten <i>k</i><sub>0</sub> = 1.116 und <i>k</i><sub>1</sub> = 0.239. Das mittlere Diagramm zeigt, dass damit der erste Vorläufer und der erste Nachläufer kompensiert werden können und zugleich <i>g<sub>d</sub></i>(0) = 1 gilt (gelbe Hinterlegung). Die weiteren Detektionsgrundimpulswerte (blaue Kreise) sind aber von 0 verschieden und bewirken Impulsinterferenzen.<br><br>
+
:$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = 1.68 \cdot 10^7\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm
 +
lg}\hspace{0.1cm}\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 \approx
 +
72.25\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
  
Das untere Diagramm zeigt, dass mit einem Filter zweiter Ordnung (<i>N</i> = 2) Nulldurchgänge bei &plusmn;<i>T</i> und bei &plusmn;2<i>T</i> erzwungen werden, wenn die Koeffizienten <i>k</i><sub>0</sub> = 1.127, <i>k</i><sub>1</sub> = 0.219 und <i>k</i><sub>2</sub> = 0.075 geeignet gewählt sind. Das Gleichungssystem zur Bestimmung der optimalen Koeffizienten lautet dabei:
+
*Es kann gezeigt werden,&nbsp; dass die normierte Störleistung allein  mit dem  Transversalfilter&ndash;Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm TF}(f)$&nbsp; berechnet werden kann,&nbsp; wie in der rechten Grafik dargestellt:
 +
:$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot
 +
\int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f
 +
\hspace{0.3cm}(= k_0)\hspace{0.05cm}.$$
  
:<math>t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_0  k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2
+
*Die roten Flächen sind in beiden Bildern exakt gleich.
\cdot  0.243 + k_2 \cdot 2 \cdot 0.135 = 1\hspace{0.05cm},\\
+
<br clear=all>
t= \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_1  =  k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot
+
{{BlaueBox|TEXT=   
[1.000+0.135]+ k_2  \cdot [0.243+0.086] = 0\hspace{0.05cm},
+
$\text{Fazit:}$&nbsp; Die normierten Störleistung des optimalen Nyquistentzerrers ist gleich dem Fourierkoeffizienten &nbsp;$k_0$, wenn man den reellen, symmetrischen und periodischen Transversalfilter&ndash;Frequenzgang &nbsp;$H_{\rm TF}(f)$&nbsp; als Fourierreihe darstellt.
\\
 
t = \pm 2 T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2  =  k_0 \cdot 0.135 + k_1 \cdot
 
[0.243+0.086]+ k_2 \cdot [1.000 + 0.059]= 0 \hspace{0.05cm}.</math>{{end}}<br>
 
  
Die Ergebnisse können wie folgt verallgemeinert werden:
+
[[Datei:P ID1430 Dig T 3 5 S5b version3.png|right|frame|Koeffizienten des optimalen Nyquistentzerrers&nbsp; $\rm (ONE)$|class=fit]]
*Mit einem Laufzeitfilter <i>N</i>&ndash;ter Ordnung können der Hauptwert <i>g<sub>d</sub></i>(0) zu 1 (normiert) sowie die ersten <i>N</i> Nachläufer und die ersten <i>N</i> Vorläufer zu Null gemacht werden.<br>
+
*In der zweiten Spalte der Tabelle ist &nbsp;$10 \cdot \lg  \ (k_0)$&nbsp; abhängig von der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star$&nbsp; eines Koaxialkabels angegeben.  
  
*Weitere Vor&ndash; und Nachläufer (|<i>&nu;</i>| > <i>N</i>) lassen sich so nicht kompensieren. Es ist auch möglich, dass diese außerhalb des Kompensationsbereichs vergrößert werden oder sogar neu entstehen.<br>
+
*Aufgrund der gewählten Normierung gilt die Tabelle auch für &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_Übertragung#Augen.C3.B6ffnung_bei_redundanzfreien_Mehrstufensystemen|"redundanzfreie Mehrstufensysteme"]];&nbsp;  hierbei bezeichnet &nbsp;$M$&nbsp; die Stufenzahl.<br>
  
*Im Grenzübergang <i>N</i> &#8594; &#8734; (in der Praxis heißt das: ein Filter mit sehr vielen Koeffizienten) ist eine vollständige Nyquistentzerrung und damit eine impulsinterferenzfreie Übertragung möglich.<br>
+
*Die Koeffizienten &nbsp;$k_1$, &nbsp;$k_2$, &nbsp;$k_3$, ... des Transversalfilters weisen für &nbsp;$a_\star \ne 0 \ \rm dB$&nbsp; alternierende Vorzeichen auf.
 +
 +
*Für &nbsp;$a_\star = 40 \ \rm dB$&nbsp; sind vier Koeffizienten betragsmäßig größer als &nbsp;$k_0/10$,&nbsp; für &nbsp;$a_\star = 80 \ \rm dB$&nbsp; sogar sieben.}}
  
== Beschreibung im Frequenzbereich (1) ==
+
== Vergleich anhand des Systemwirkungsgrades ==
 
<br>
 
<br>
Die Tatsache, dass sich der optimale Nyquistentzerrer multiplikativ aus
+
Für einen Systemvergleich eignet sich der &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Optimierung_der_Basisbandübertragungssysteme#Systemoptimierung_bei_Leistungsbegrenzung|"Systemwirkungsgrad"]],&nbsp; der das erreichbare Detektions&ndash;SNR &nbsp;$\rho_d$&nbsp; in Bezug zum maximalen SNR &nbsp;$\rho_{d, \ {\rm max}}$&nbsp; setzt,&nbsp; das allerdings nur bei idealem Kanal &nbsp;$H_{\rm K}(f) \equiv 1$&nbsp; erreichbar ist.
*dem Matched&ndash;Filter <i>H</i><sub>MF</sub>(<i>f</i>) = <i>H</i><sub>S</sub><sup>&#8727;</sup>(<i>f</i>) &middot; <i>H</i><sub>K</sub><sup>&#8727;</sup>(<i>f</i>) &ndash; also angepasst an den Empfangsgrundimpuls &ndash;<br>
+
[[Datei:P ID1431 Dig T 3 5 S6 version1.png|right|frame|Vergleich binärer und mehrstufiger Ünertragungssysteme gemäß &nbsp;$\text{GTP}$&nbsp; bzw. &nbsp;$\text{ONE}$|class=fit]]
 +
Für den Systemwirkungsgrad gilt bei &nbsp;$M$&ndash;stufiger Übertragung und optimaler Nyquistentzerrung:
 +
:$$\eta = \frac{\rho_d}{s_0^2 \cdot T / N_0}=\frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}M}{(M-1)^2 \cdot k_0}.$$
 +
 
 +
*Die (normierte) Störleistung &nbsp;$k_0$&nbsp; kann aus der &nbsp;[[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung#Berechnung_der_normierten_St.C3.B6rleistung| '''Tabelle''']]&nbsp; auf der letzten Seite abgelesen werden.
 +
 
 +
* Beachten Sie die Normierung der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star$&nbsp; in der ersten Spalte.
 +
 
 +
*Die Tabelle aus&nbsp; [ST85]<ref name='ST85'/>&nbsp; ermöglicht einen Systemvergleich für die charakteristische Kabeldämpfung &nbsp;$a_\star = 80 \ \rm dB$.
 +
 
 +
 
 +
Verglichen werden:
 +
 
 +
* der&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Berücksichtigung_von_Kanalverzerrungen_und_Entzerrung|"gaußförmige Gesamtfrequenzgang"]] &nbsp;$\text{(GTP)}$,&nbsp; der auch bei Optimierung zu einem impulsinterferenzbehafteten System führt, <br>
  
*und einem Transversalfilter <i>H</i><sub>TF</sub>(<i>f</i>) mit unendlich vielen Filterkoeffizienten<br><br>
+
*der &nbsp;[[Digitalsignalübertragung/Lineare_Nyquistentzerrung#Struktur_des_optimalen_Nyquistentzerrers|"optimale Nyquistentzerrer"]] &nbsp;$\text{(ONE)}$,&nbsp; mit dem Impulsinterferenzen per se ausgeschlossen werden.
 +
<br clear=all>
 +
{{BlaueBox|TEXT= 
 +
$\text{Fazit:}$&nbsp; Die Ergebnisse dieses Systemvergleichs können wie folgt zusammengefasst werden:
 +
#Im binären Fall &nbsp;$(M = 2)$&nbsp; ist das impulsinterferenzfreie System &nbsp;$\text{(ONE)}$&nbsp; um etwa &nbsp;$6 \ \rm dB$&nbsp; besser als das impulsinterferenzbehaftete System &nbsp;$\text{(GTP)}$.<br>
 +
#Wendet man die optimale Nyquistentzerrung bei Mehrstufensystemen an, so ist gegenüber &nbsp;$\text{GTP}$&nbsp; ein weiterer, deutlicher  Störabstandsgewinn möglich.
 +
#Für &nbsp;$M =4$&nbsp; beträgt dieser Gewinn etwa &nbsp;$18.2 \ \rm dB$.<br>
 +
#Das schmalbandige &nbsp;$\text{GTP}$&ndash;System kann allerdings deutlich verbessert werden,&nbsp; wenn man einen Empfänger mit Entscheidungsrückkopplung verwendet.&nbsp;
 +
#Dieser wird im nächsten Kapitel behandelt.}}<br>
 +
 
 +
&rArr; &nbsp; Wir verweisen an dieser Stelle auf das interaktive SWF&ndash;Applet [[Applets:Lineare_Nyquistentzerrung|"Lineare Nyquistentzerrung"]].
  
zusammensetzt, folgt aus dem ersten Nyquistkriterium. Durch Anwendung der <i>Variationsrechnung</i> erhält man den Frequenzgang des Transversalfilters (siehe Söder, G.; Tröndle, K.: ''Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme.'' Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.):
 
  
:<math>H_{\rm TF}(f) = \frac{1}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty}  |H_{\rm SK}(f -
 
\frac{\kappa}{T})
 
|^2} \hspace{0.3cm}{\rm{mit}}\hspace{0.3cm}H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f)\cdot H_{\rm K}(f)
 
\hspace{0.05cm}.</math>
 
  
Die Grafik zeigt diesen Verlauf in logarithmierter Form für rechteckförmige NRZ&ndash;Sendeimpulse und ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung
+
==Aufgaben zum Kapitel==
*<i>a</i><sub>&#8727;</sub> = 0 dB &nbsp;&#8658;&nbsp; grüne Null&ndash;Linie,<br>
+
<br>
*<i>a</i><sub>&#8727;</sub> = 40 dB &nbsp;&#8658;&nbsp; blauer Funktionsverlauf,<br>
+
[[Aufgaben:3.6_Transversalfilter_des_Optimalen_Nyquistentzerrers| Aufgabe 3.6: Transversalfilter des Optimalen Nyquistentzerrers]]
*<i>a</i><sub>&#8727;</sub> = 80 dB &nbsp;&#8658;&nbsp; roter Funktionsverlauf.<br><br>
 
  
[[Datei:P ID1426 Dig T 3 5 S3 version1.png|Logarithmierter Frequenzgang des Transversalfilters|class=fit]]<br>
+
[[Aufgaben:3.6Z_Optimaler_Nyquistentzerrer_für_Exponentialimpuls| Aufgabe 3.6Z: Optimaler Nyquistentzerrer für Exponentialimpuls]]
  
Man erkennt aus obiger Gleichung und dieser Skizze:
+
[[Aufgaben:3.7_Nochmals_Optimale_Nyquistentzerrung|Aufgabe 3.7: Nochmals Optimale Nyquistentzerrung]]
*<i>H</i><sub>TF</sub>(<i>f</i>) ist reell, woraus sich die symmetrische Struktur des Transversalfilters ergibt: <i>k</i><sub>&ndash;&lambda;</sub> = <i>k</i><sub>&lambda;</sub>.<br>
 
  
*<i>H</i><sub>TF</sub>(<i>f</i>) ist eine mit der Frequenz 1/<i>T</i> periodische Funktion.<br>
+
[[Aufgaben:3.7Z_Regeneratorfeldlänge|Aufgabe 3.7Z: Regeneratorfeldlänge]]
  
*Die Koeffizienten ergeben sich somit aus der Fourierreihe (angewandt auf die Spektralfunktion):
+
==Quellenverzeichnis==
  
::<math>k_\lambda =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)}\frac{\cos(2 \pi f \lambda T)}  {\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty}  |H_{\rm SK}(f -
+
<references/>
{\kappa}/{T})
 
|^2} \hspace{0.2cm} {\rm d} f \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}H_{\rm TF}(f) =
 
\sum\limits_{\lambda = -\infty}^{+\infty} k_\lambda \cdot {\rm
 
e}^{-{\rm  j}2 \pi f \lambda T}\hspace{0.05cm}.</math>
 
  
Die Bildbeschreibung wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.<br>
 
  
 
{{Display}}
 
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Aktuelle Version vom 22. Juni 2022, 14:09 Uhr

Struktur des optimalen Nyquistentzerrers


In diesem Abschnitt gehen wir von folgendem Blockschaltbild eines Binärsystems aus.  Hierzu ist anzumerken:

Blockschaltbild des optimalen Nyquistentzerrers
  • Die  "Diracquelle"  liefert die zu übertragende Nachricht in binärer bipolarer Form   ⇒   Amplitudenkoeffizienten  $a_\nu \in \{ -1, \hspace{0.05cm}+1\}$.  Die Quelle wird als redundanzfrei vorausgesetzt.
  • Die  "Sendeimpulsform"  $g_s(t)$  wird durch den Senderfrequenzgang  $H_{\rm S}(f)$  berücksichtigt.  Bei allen Beispielen ist  $H_{\rm S}(f) = {\rm si}(\pi f T)$  zugrunde gelegt   ⇒   NRZ–Rechteck–Sendeimpulse.
  • Bei manchen Herleitungen werden Sender und Kanal durch den  "gemeinsamen Frequenzgang"  $H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)$  zusammengefasst.
  • Das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  setzt sich multiplikativ aus dem  Matched–Filter  $H_{\rm MF}(f) = H_{\rm SK}^\star(f)$  und dem  Transversalfilter  $H_{\rm TF}(f)$ zusammen,  zumindest kann es gedanklich so aufgespalten werden.
  • Der Gesamtfrequenzgang zwischen Diracquelle und Schwellenwertentscheider soll die  "erste Nyquistbedingung"  erfüllen.  Es muss also gelten:
$$H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f) = H_{\rm Nyq}(f) \hspace{0.05cm}.$$
  • Mit dieser Bedingung gibt es keine Impulsinterferenzen und man erhält die maximale Augenöffnung.  Deshalb gelten für das  "Detektions–SNR"  und den  "Systemwirkungsgrad"  bei binärer Signalisierung:
$$\rho_d = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{\sigma_d^2} = \frac{2 \cdot s_0^2 \cdot T}{N_0}\cdot \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \eta = \frac{\rho_d }{\rho_{d,\hspace{0.05cm} {\rm max}}} = \frac{\rho_d }{2 \cdot s_0^2 \cdot T/N_0} = \frac{1}{\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2} \hspace{0.05cm}.$$
  • Die Optimierungsaufgabe beschränkt sich also darauf,  das Empfangsfilter  $H_{\rm E}(f)$  so zu bestimmen,  dass die normierte Rauschleistung vor dem Entscheider den kleinstmöglichen Wert annimmt:
\[\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/ T} =T \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f \stackrel {!}{=} {\rm Minimum}\hspace{0.05cm}.\]

$\text{Definition:}$  Wir bezeichnen die hier beschriebene Konfiguration als  Optimale Nyquistentzerrung  $\rm (ONE)$.


Obwohl diese auch – und besonders effektiv – bei Mehrstufensystemen anwendbar ist,  setzen wir zunächst  $M = 2$.

Wirkungsweise des Transversalfilters


Transversalfilter (zweiter Ordnung) als Teil des optimalen Nyquistentzerrers

Verdeutlichen wir uns zunächst die Aufgabe des symmetrischen Transversalfilters

$$H_{\rm TF}(f) \hspace{0.4cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \hspace{0.4cm} h_{\rm TF}(t) = \sum_{\lambda = -N}^{+N} k_\lambda \cdot \delta(t - \lambda \cdot T) $$

mit folgenden Eigenschaften:

  • $N$  gibt die  "Ordnung"  des Filters an   ⇒   die Grafik zeigt ein Filter zweiter Ordnung  $(N=2)$.
  • Für die Filterkoeffizienten gilt  $k_{-\lambda} = k_{\lambda}$   ⇒   symmetrische Struktur   ⇒   $H_{\rm TF}(f)$ ist reell.
  • $H_{\rm TF}(f)$  ist somit durch die Koeffizienten  $k_0$, ... , $k_N$  vollständig bestimmt.


Für den Eingangsimpuls  $g_m(t)$  setzen wir ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit voraus, dass dieser

  • symmetrisch um  $t=0$  ist  $($Ausgang des Matched–Filters$)$,
  • zu den Zeiten  $\nu \cdot T$  und  $-\nu \cdot T$  jeweils den Wert  $g_m(\nu)$ besitzt.


Damit lauten die Eingangsimpulswerte:

$$\text{...}\hspace{0.2cm} , g_m(3),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}\hspace {0.15cm}g_m(0),\hspace{0.15cm}g_m(1),\hspace{0.15cm}g_m(2),\hspace{0.15cm}g_m(3),\hspace{0.1cm} \text{...}\hspace{0.05cm}.$$

Für den Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  am Filterausgang ergeben sich demzufolge zu den Zeitpunkten  $\nu \cdot T$  mit den Abkürzungen  $g_0 =g_d(t= 0)$,   $g_1 =g_d(t= \pm T)$,   $g_2 =g_d(t= \pm 2T)$  folgende Werte:

$$ t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.9cm}g_0 = k_0 \cdot g_m(0) + k_1 \cdot 2 \cdot g_m(1) \hspace{1.23cm}+k_2 \cdot 2 \cdot g_m(2),\hspace{0.05cm} $$
$$ t = \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.45cm}g_1 = k_0 \cdot g_m(1) + k_1 \cdot \big [g_m(0)+g_m(2)]+ k_2 \cdot [g_m(1)+g_m(3) \big ], $$
$$ t = \pm 2T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_0 \cdot g_m(2) + k_1 \cdot \big [g_m(1)+g_m(3)\big ]+ k_2 \cdot \big [g_m(2)+g_m(4)\big ] \hspace{0.05cm}. $$

Aus diesem System mit drei linear unabhängigen Gleichungen kann man nun die Filterkoeffizienten  $k_0$,  $k_1$  und  $k_2$  so bestimmen,  dass der Detektionsgrundimpuls  $g_d(t)$  folgende Stützstellen aufweist:

$$\text{...}\hspace{0.15cm} , g_3,\hspace{0.25cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_0 = 1,\hspace{0.15cm}g_1 = 0 ,\hspace{0.15cm}g_2 = 0 ,\hspace{0.25cm}g_3 ,\hspace{0.15cm} \text{...}$$

$\text{Beispiel 1:}$  Wir gehen von dem symmetrischen Eingangssignal entsprechend dem oberen Diagramm in der Grafik aus.  Mit der Abkürzung  $g_m(\nu)= g_m(\pm \nu \cdot T)$  gibt es folgende Abtastwerte im Abstand der Symboldauer  $T$:

$$g_m(t) = {\rm e}^{ - \sqrt{2 \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}\vert\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} \vert /T} }\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} g_m(0) = 1 ,\hspace{0.35cm}g_m(1)= 0.243,\hspace{0.35cm}g_m(2)= 0.135,\hspace{0.35cm}g_m(3)= 0.086, \hspace{0.35cm}g_m(4)= 0.059 \hspace{0.05cm}.$$

⇒   Für den Ausgangsimpuls soll  $g_d(t =0) = 1$  und  $g_d(t =\pm T) = 0$  gelten.  Hierzu eignet sich ein Laufzeitfilter erster Ordnung mit den Koeffizienten  $k_0$  und  $k_1$,  die folgende Bedingungen erfüllen müssen:

Eingangs- und Ausgangsimpuls des optimalen Nyquistentzerrers
$$t = \pm T\hspace{-0.1cm} : \hspace{0.2cm}g_1 = k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot \big [1.000 +0.135 \big ] = 0\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{k_1} = -0.214 \cdot {k_0}\hspace{0.05cm},$$
$$ t = 0 \hspace{-0.1cm} : \hspace{0.6cm}g_0 = k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2 \cdot 0.243= 1\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}0.896 \cdot {k_0} = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Daraus erhält man die optimalen Filterkoeffizienten  $k_0 = 1.116$  und  $k_1 = 0.239$.

  • Das mittlere Diagramm zeigt, dass damit der erste Vorläufer und der erste Nachläufer kompensiert werden können und zugleich  $g_d(0) =1$  gilt  (gelbe Hinterlegung).
  • Die weiteren Detektionsgrundimpulswerte  (blaue Kreise)  sind aber von Null verschieden und bewirken Impulsinterferenzen.


⇒   Das untere Diagramm zeigt,  dass mit einem Filter zweiter Ordnung  $(N = 2)$  Nulldurchgänge bei  $\pm T$  und bei  $\pm 2T$  erzwungen werden,  wenn die Koeffizienten  $k_0 = 1.127$,  $k_1 = 0.219$  und  $k_2 = 0.075$  geeignet gewählt sind.  Das Gleichungssystem zur Bestimmung der optimalen Koeffizienten lautet dabei:

$$t = 0\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.85cm}g_0 = k_0 \cdot 1.000 + k_1 \cdot 2 \cdot 0.243 + k_2 \cdot 2 \cdot 0.135 = 1\hspace{0.05cm},$$
$$t= \pm T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.45cm}g_1 = k_0 \cdot 0.243 + k_1 \cdot \big [1.000+0.135 \big ]+ k_2 \cdot \big [0.243+0.086 \big ] = 0\hspace{0.05cm},$$
$$t = \pm 2 T\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}g_2 = k_0 \cdot 0.135 + k_1 \cdot \big [0.243+0.086\big ]+ k_2 \cdot \big [1.000 + 0.059 \big ]= 0 \hspace{0.05cm}.$$


$\text{Fazit:}$  Die Ergebnisse können wie folgt verallgemeinert werden:

  1. Mit einem Laufzeitfilter  $N$–ter Ordnung kann der Hauptwert zu  $g_d(0)=1$  (normiert)  gemacht werden
  2. Außerdem können die ersten $N$  Nachläufer  $g_{\nu}$  und die ersten $N$  Vorläufer  $g_{-\nu}$  zu Null gemacht werden.
  3. Weitere Vor– und Nachläufer  $(\nu \gt N)$  lassen sich so nicht kompensieren.
  4. Es ist sogar möglich,  dass die Vor– und Nachläufer außerhalb des Kompensationsbereichs vergrößert werden oder sogar neu entstehen.
  5. Im Grenzübergang  $N \to \infty$  (in der Praxis heißt das:   ein Filter mit sehr vielen Koeffizienten)  ist eine vollständige Nyquistentzerrung und damit eine impulsinterferenzfreie Übertragung möglich.


Beschreibung im Frequenzbereich


Die Tatsache,  dass sich der optimale Nyquistentzerrer multiplikativ aus

  • dem Matched–Filter  $H_{\rm MF}(f) = H_{\rm S}^\star (f)\cdot H_{\rm K}^\star(f)$  – also angepasst an den Empfangsgrundimpuls  $g_r(t)$  – und
  • einem Transversalfilter  $H_{\rm MF}(f)$  mit unendlich vielen Filterkoeffizienten

zusammensetzt,  folgt aus dem ersten Nyquistkriterium.  Durch Anwendung der  "Variationsrechnung"  erhält man den Frequenzgang des Transversalfilters – siehe [ST85][1]:

(Betrags–) Frequenzgang des Transversalfilter (links) und des gesamten optimalen Nyquistentzerrers (rechts)

$$H_{\rm TF}(f) = \frac{1}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - \frac{\kappa}{T}) |^2},$$ $$\text{wobei }H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f)\cdot H_{\rm K}(f).$$

Die linke Grafik zeigt  $20 \cdot \lg \ H_{\rm TF}(f)$  im Bereich  $| f | \le 1/T$.  Vorausgesetzt sind rechteckförmige NRZ–Sendeimpulse und ein Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$.

Man erkennt aus obiger Gleichung und Grafik:

  • $H_{\rm TF}(f)$  ist reell   ⇒   symmetrische Transversalfilterstruktur   ⇒   $k_{-\lambda} =k_{+\lambda} $.
  • $H_{\rm TF}(f)$  ist gleichzeitig eine mit der Frequenz  $1/T$  periodische Funktion   ⇒  Koeffizienten des Filters ergeben sich aus der  "Fourierreihe"  (angewandt auf die Spektralfunktion):
$$k_\lambda =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)}\frac{\cos(2 \pi f \lambda T)} {\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2} \hspace{0.2cm} {\rm d} f$$
$$ \hspace{0.25cm}\Rightarrow \hspace{0.25cm}H_{\rm TF}(f) = \sum\limits_{\lambda = -\infty}^{+\infty} k_\lambda \cdot {\rm e}^{-{\rm j}2 \pi f \lambda T}\hspace{0.05cm}.$$

In der rechten Grafik ist der Frequenzgang   $20 \cdot \lg \ |H_{\rm E}(f)|$   des gesamten Empfangsfilters einschließlich Matched–Filter dargestellt.  Es gilt:

$$H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f) = \frac{H_{\rm SK}^{\star}(f)}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2}.$$

Zu diesen Darstellungen ist anzumerken:

$$H_{\rm E}(f) =H_{\rm S}(f) = {\rm si} (\pi f T).$$
  • Während der Transversalfilter–Frequenzgang  $H_{\rm TF}(f)$  bei  $a_\star \ne 0 \ \rm dB$  symmetrisch zur Nyquistfrequenz  $f_{\rm Nyq} = 1/(2T)$  ist,  ist diese Symmetrie beim Empfangsfilter–Gesamtfrequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  nicht mehr gegeben.
  • Die Maxima der Frequenzgänge  $H_{\rm TF}(f)$  und  $|H_{\rm E}(f)|$  hängen signifikant von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$  ab.  Aus dem blauen bzw. roten Funktionsverlauf kann abgelesen werden:
$$a_{\star} = 40\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[H_{\rm TF}(f)\big]\hspace{0.1cm} \approx 80\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[\ |H_{\rm E}(f)| \ \big] \approx 40\,{\rm dB}\hspace{0.05cm},$$
$$a_{\star} = 80\,{\rm dB}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[H_{\rm TF}(f)\big] \approx 160\,{\rm dB}, \hspace{0.2cm}{\rm Max}\big[\ |H_{\rm E}(f)|\ \big] \approx 80\,{\rm dB}\hspace{0.05cm}.$$


Approximation des optimalen Nyquistentzerrers


Wir betrachten nun den Gesamtfrequenzgang zwischen Diracquelle und Entscheider:

  • Dieser setzt sich multiplikativ aus den Frequenzgängen von Sender, Kanal und Empfänger zusammen.
  • Entsprechend der Herleitung muss der Gesamtfrequenzgang die Nyquistbedingung erfüllen:
Optimaler Nyquistfrequenzgang  (Übertragungssystem mit Koaxialkabel)
$$H_{\rm Nyq}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f) \cdot H_{\rm E}(f) = \frac{|H_{\rm SK}(f)|^2}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} |H_{\rm SK}(f - {\kappa}/{T}) |^2}\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt folgende Eigenschaften des  optimalen Nyquistentzerrers  $\rm (ONE)$:

  • Ist die Kabeldämpfung hinreichend groß  $(a_\star \ge 10 \ \rm dB)$,  so kann man den Gesamtfrequenzgang mit guter Näherung durch den  "Cosinus–Rolloff–Tiefpass"  beschreiben.
  • Je größer  $a_\star$  ist,  desto kleiner ist der Rolloff–Faktor  $r$  und um so steiler verläuft der Flankenabfall.  Für die charakteristische Kabeldämpfung  $a_\star = 40 \ \rm dB$  (blaue Kurve)  ergibt sich  $r \approx 0.4$,  für  $a_\star = 80 \ \rm dB$  (rote Kurve)  $r \approx 0.18$.
  • Oberhalb der Frequenz  $f_{\rm Nyq} \cdot (1 + r)$  besitzt  $H_{\rm Nyq}(f)$  keine Anteile.  Bei idealem Kanal   ⇒    $a_\star = 0 \ \rm dB$  (grüne Kurve)  reicht  $H_{\rm Nyq}(f)= {\rm si}^2(\pi f T)$  allerdings theoretisch bis ins Unendliche.


⇒   Das interaktive HTML5/JavaScript–Applet  "Frequenzgang und Impulsantwort"  verdeutlicht unter anderem die Eigenschaften des Cosinus–Rolloff–Tiefpasses.


Berechnung der normierten Störleistung


Wir betrachten nun noch die (normierte) Störleistung am Entscheider.  Für diese gilt:

$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = \frac{\sigma_d^2}{N_0/ (2T)} =T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} |H_{\rm E}(f)|^2 \,{\rm d} f .$$
Zur Berechnung der normierten Störleistung beim optimalen Nyquistentzerrer  $\rm (ONE)$
  • Das linke Diagramm der Grafik zeigt  $|H_{\rm E}(f)|^2$  im linearen Maßstab für die charakteristische Kabeldämpfung  $a_\star = 80 \ \rm dB$. Beachten Sie, dass  $|H_{\rm E}(f = 0)|^2 = 1$  ist.
  • Da die Frequenz in dieser Darstellung auf  $1/T$  normiert wurde,  entspricht die normierte Störleistung genau der (rot hinterlegten) Fläche unter dieser Kurve.  Die numerische Auswertung ergibt:
$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = 1.68 \cdot 10^7\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 \approx 72.25\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
  • Es kann gezeigt werden,  dass die normierte Störleistung allein mit dem Transversalfilter–Frequenzgang  $H_{\rm TF}(f)$  berechnet werden kann,  wie in der rechten Grafik dargestellt:
$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot \int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f \hspace{0.3cm}(= k_0)\hspace{0.05cm}.$$
  • Die roten Flächen sind in beiden Bildern exakt gleich.


$\text{Fazit:}$  Die normierten Störleistung des optimalen Nyquistentzerrers ist gleich dem Fourierkoeffizienten  $k_0$, wenn man den reellen, symmetrischen und periodischen Transversalfilter–Frequenzgang  $H_{\rm TF}(f)$  als Fourierreihe darstellt.

Koeffizienten des optimalen Nyquistentzerrers  $\rm (ONE)$
  • In der zweiten Spalte der Tabelle ist  $10 \cdot \lg \ (k_0)$  abhängig von der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$  eines Koaxialkabels angegeben.
  • Die Koeffizienten  $k_1$,  $k_2$,  $k_3$, ... des Transversalfilters weisen für  $a_\star \ne 0 \ \rm dB$  alternierende Vorzeichen auf.
  • Für  $a_\star = 40 \ \rm dB$  sind vier Koeffizienten betragsmäßig größer als  $k_0/10$,  für  $a_\star = 80 \ \rm dB$  sogar sieben.

Vergleich anhand des Systemwirkungsgrades


Für einen Systemvergleich eignet sich der  "Systemwirkungsgrad",  der das erreichbare Detektions–SNR  $\rho_d$  in Bezug zum maximalen SNR  $\rho_{d, \ {\rm max}}$  setzt,  das allerdings nur bei idealem Kanal  $H_{\rm K}(f) \equiv 1$  erreichbar ist.

Vergleich binärer und mehrstufiger Ünertragungssysteme gemäß  $\text{GTP}$  bzw.  $\text{ONE}$

Für den Systemwirkungsgrad gilt bei  $M$–stufiger Übertragung und optimaler Nyquistentzerrung:

$$\eta = \frac{\rho_d}{s_0^2 \cdot T / N_0}=\frac{{\rm log_2}\hspace{0.1cm}M}{(M-1)^2 \cdot k_0}.$$
  • Die (normierte) Störleistung  $k_0$  kann aus der   Tabelle  auf der letzten Seite abgelesen werden.
  • Beachten Sie die Normierung der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_\star$  in der ersten Spalte.
  • Die Tabelle aus  [ST85][1]  ermöglicht einen Systemvergleich für die charakteristische Kabeldämpfung  $a_\star = 80 \ \rm dB$.


Verglichen werden:


$\text{Fazit:}$  Die Ergebnisse dieses Systemvergleichs können wie folgt zusammengefasst werden:

  1. Im binären Fall  $(M = 2)$  ist das impulsinterferenzfreie System  $\text{(ONE)}$  um etwa  $6 \ \rm dB$  besser als das impulsinterferenzbehaftete System  $\text{(GTP)}$.
  2. Wendet man die optimale Nyquistentzerrung bei Mehrstufensystemen an, so ist gegenüber  $\text{GTP}$  ein weiterer, deutlicher Störabstandsgewinn möglich.
  3. Für  $M =4$  beträgt dieser Gewinn etwa  $18.2 \ \rm dB$.
  4. Das schmalbandige  $\text{GTP}$–System kann allerdings deutlich verbessert werden,  wenn man einen Empfänger mit Entscheidungsrückkopplung verwendet. 
  5. Dieser wird im nächsten Kapitel behandelt.


⇒   Wir verweisen an dieser Stelle auf das interaktive SWF–Applet "Lineare Nyquistentzerrung".


Aufgaben zum Kapitel


Aufgabe 3.6: Transversalfilter des Optimalen Nyquistentzerrers

Aufgabe 3.6Z: Optimaler Nyquistentzerrer für Exponentialimpuls

Aufgabe 3.7: Nochmals Optimale Nyquistentzerrung

Aufgabe 3.7Z: Regeneratorfeldlänge

Quellenverzeichnis

  1. 1,0 1,1 Söder, G.; Tröndle, K.:  "Digitale Übertragungssysteme - Theorie, Optimierung & Dimensionierung der Basisbandsysteme."  Berlin – Heidelberg: Springer, 1985.