Aufgaben:Aufgabe 4.3: Natürliche und diskrete Abtastung: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | Die ideale Abtastung lässt sich im Zeitbereich durch Multiplikation des analogen Quellensignals $q(t)$ mit einem [[Signaldarstellung/Zeitdiskrete_Signaldarstellung#Diracpuls_im_Zeit-_und_im_Frequenzbereich|Diracpuls]] $p_δ(t)$ beschreiben: | ||
+ | :$$ q_{\rm A}(t) = p_{\delta}(t) \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | Diracimpulse – unendlich schmal und unendlich hoch – und dementsprechend auch der Diracpuls $p_δ(t)$ lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren. Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls $p_{\rm R}(t)$ ausgegangen werden, wobei folgender Zusammenhang gilt: | ||
+ | :$$ p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm} | ||
+ | g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$ | ||
+ | Die Dauer $T_{\rm R}$ eines Rechteckimpulses $g_{\rm R}(t)$ sollte dabei (deutlich) kleiner sein als der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte. | ||
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+ | In der Grafik ist dieses Verhältnis mit $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$ sehr groß gewählt, um den Unterschied zwischen der „natürlichen Abtastung” und der „diskreten Abtastung” besonders deutlich werden zu lassen: | ||
+ | * Bei natürlicher Abtastung ist das abgetastete Signal $q_{\rm A}(t)$ gleich dem Produkt aus Rechteckpuls $p_{\rm R}(t)$ und analogem Quellensignal $q(t)$: | ||
+ | :$$q_{\rm A}(t) = p_{\rm R}(t) \cdot q(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | * Dagegen lautet die entsprechende Gleichung für die diskrete Abtastung: | ||
+ | :$$ q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \cdot q(t)\right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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+ | In der Grafik sind diese Signale in blau (natürliche Abtastung) bzw. grün (diskrete Abtastung) skizziert. | ||
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+ | Zur Signalrekonstruktion wird ein rechteckförmiger Tiefpass $H(f)$ mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$ und der Verstärkung $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ im Durchlassbereich eingesetzt: | ||
+ | :$$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} T_{\rm A}/T_{\rm R} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| > f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$ | ||
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+ | Hinweise: | ||
+ | *Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation|"Pulscodemodulation"]]. | ||
+ | *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Modulationsverfahren/Pulscodemodulation#Nat.C3.BCrliche_und_diskrete_Abtastung|"Natürliche und diskrete Abtastung"]]. | ||
+ | *Das abgetastete Quellensignal wird mit $q_{\rm A}(t)$ bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit $Q_{\rm A}(f)$. | ||
+ | * Die Abtastung erfolgt stets bei $ν · T_{\rm A}$. | ||
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<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | { | + | {Es gelte $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$. Geben Sie hierfür das normierte Spektrum $G_{\rm R}(f)/T_{\rm A}$ an. Welcher Spektralwert tritt bei $f = 0$ auf? |
+ | |type="{}"} | ||
+ | $G_{\rm R}(f=0)/T_{\rm A} \ = \ $ { 0.5 3% } | ||
+ | |||
+ | {Wie lautet das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$ bei natürlicher Abtastung? Vorschläge: | ||
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− | - | + | - Es gilt $Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$. |
− | + | + | + Es gilt $Q_{\rm A}(f) = \big[{\rm δ}(f) · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})\big] ∗ Q(f)$. |
+ | - Es gilt $Q_{\rm A}(f) = \big[P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)\big] · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})$. | ||
+ | { Eignet sich bei natürlicher Abtastung der angegebene Tiefpass zur Interpolation? | ||
+ | |type="()"} | ||
+ | + Ja. | ||
+ | - Nein. | ||
− | { | + | { Wie lautet das Spektrum $Q_{\rm A}(f)$ bei diskreter Abtastung? Vorschläge: |
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− | $\ | + | - Es gilt $Q_{\rm A}(f) = P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)$. |
− | + | - Es gilt $Q_{\rm A}(f) = \big[{\rm δ}(f) · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})\big] ∗ Q(f)$. | |
+ | + Es gilt $Q_{\rm A}(f) = \big[P_{\rm δ}(f) ∗ Q(f)\big] · (G_{\rm R}(f)/T_{\rm A})$. | ||
+ | {Eignet sich bei diskreter Abtastung der angegebene Tiefpass zur Interpolation? | ||
+ | |type="()"} | ||
+ | - Ja. | ||
+ | + Nein. | ||
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===Musterlösung=== | ===Musterlösung=== | ||
{{ML-Kopf}} | {{ML-Kopf}} | ||
− | '''1 | + | '''(1)''' Das Spektrum des Rechteckimpulses $g_{\rm R}(t)$ mit Amplitude $1$ und Dauer $T_{\rm R}$ lautet: |
− | '''2 | + | :$$ G_{\rm R}(f) = T_{\rm R} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm} {\rm si}(x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm} |
− | '''3 | + | \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}} = \frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})$$ |
− | ''' | + | :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{T_{\rm A}} =\frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$ |
− | ''' | + | |
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+ | '''(2)''' Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>: | ||
+ | *Aus der angegebenen Gleichung im Zeitbereich ergibt sich mit dem Faltungssatz: | ||
+ | :$$q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t) \hspace{0.3cm} | ||
+ | \Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}}\cdot P_{\rm \delta}(f) \cdot G_{\rm R}(f) \right ] \star Q(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | *Der erste Lösungsvorschlag gilt nur bei idealer Abtastung (mit einem Diracpuls) und der letzte bei diskreter Abtastung. | ||
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+ | '''(3)''' Die Antwort ist <u>JA</u>: | ||
+ | * Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' erhält man mit der Spektralfunktion des Diracpulses | ||
+ | :$$Q_{\rm A}(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f)= \left [ \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \cdot \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} \delta(f - \mu \cdot f_{\rm A})\right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | *Bei erfülltem Abtasttheorem und richtigem Tiefpass liegen von den unendlich vielen Faltungsprodukten nur das Faltungsprodukt mit $μ = 0$ im Durchlassbereich. | ||
+ | *Unter Berücksichtigung des Verstärkungsfaktors $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ erhält man somit für das Spektrum am Filterausgang: | ||
+ | :$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \left [ \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{{T_{\rm A}}} \cdot \delta(f )\right ] \star Q(f)= Q(f) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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+ | '''(4)''' Richtig ist der<u> letzte Lösungsvorschlag</u>. | ||
+ | *Verlagert man den Faktor $1/T_{\rm A}$ zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz: | ||
+ | :$$ q_{\rm A}(t) = \big [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \big ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm} | ||
+ | \Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f)= \big [ P_{\rm \delta}(f)\star Q(f) \big ] \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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+ | '''(5)''' Die Antwort ist <u>NEIN</u>: | ||
+ | * Die Gewichtungsfunktion $G_{\rm R}(f)$ betrifft nun auch den inneren Kern $(μ = 0)$ des Faltungsproduktes. | ||
+ | *Alle anderen Terme $(μ ≠ 0)$ werden durch den Tiefpass eliminiert. Man erhält hier im relevanten Bereich $|f| < f_{\rm A}/2$: | ||
+ | :$$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \frac{G_{\rm R}(f )}{{T_{\rm A}}} \cdot Q(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\cdot Q(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}V(f) = Q(f) \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | *Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor,  so werden die höheren Frequenzen entsprechend der $\rm si$–Funktion gedämpft. | ||
+ | *Die höchste Signalfrequenz $(f = f_{\rm A}/2)$ wird hierbei am stärksten abgesenkt: | ||
+ | :$$V(f = f_{\rm A}/2) = Q( f_{\rm A}/2) \cdot {\rm sinc}( \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})= | ||
+ | Q( f_{\rm A}/2) \cdot \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4}\approx 0.9 \cdot Q( f_{\rm A}/2) \hspace{0.05cm}.$$ | ||
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Aktuelle Version vom 8. April 2022, 16:12 Uhr
Die ideale Abtastung lässt sich im Zeitbereich durch Multiplikation des analogen Quellensignals $q(t)$ mit einem Diracpuls $p_δ(t)$ beschreiben:
- $$ q_{\rm A}(t) = p_{\delta}(t) \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$
Diracimpulse – unendlich schmal und unendlich hoch – und dementsprechend auch der Diracpuls $p_δ(t)$ lassen sich in der Praxis jedoch nicht realisieren. Hier muss statt dessen vom Rechteckpuls $p_{\rm R}(t)$ ausgegangen werden, wobei folgender Zusammenhang gilt:
- $$ p_{\rm R}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.9cm}\text{mit}\hspace{0.9cm} g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{l} 1 \\ 1/2 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} < T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} = T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.005cm}\left|\hspace{0.06cm} t \hspace{0.05cm} \right|} > T_{\rm R}/2\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
Die Dauer $T_{\rm R}$ eines Rechteckimpulses $g_{\rm R}(t)$ sollte dabei (deutlich) kleiner sein als der Abstand $T_{\rm A}$ zweier Abtastwerte.
In der Grafik ist dieses Verhältnis mit $T_{\rm R}/T_{\rm A} = 0.5$ sehr groß gewählt, um den Unterschied zwischen der „natürlichen Abtastung” und der „diskreten Abtastung” besonders deutlich werden zu lassen:
- Bei natürlicher Abtastung ist das abgetastete Signal $q_{\rm A}(t)$ gleich dem Produkt aus Rechteckpuls $p_{\rm R}(t)$ und analogem Quellensignal $q(t)$:
- $$q_{\rm A}(t) = p_{\rm R}(t) \cdot q(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t)\hspace{0.05cm}.$$
- Dagegen lautet die entsprechende Gleichung für die diskrete Abtastung:
- $$ q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \cdot q(t)\right ]\star g_{\rm R}(t)\hspace{0.05cm}.$$
In der Grafik sind diese Signale in blau (natürliche Abtastung) bzw. grün (diskrete Abtastung) skizziert.
Zur Signalrekonstruktion wird ein rechteckförmiger Tiefpass $H(f)$ mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = f_{\rm A}/2$ und der Verstärkung $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ im Durchlassbereich eingesetzt:
- $$H(f) = \left\{ \begin{array}{l} T_{\rm A}/T_{\rm R} \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c}{\rm{f\ddot{u}r}} \\{\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{10}c} {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| < f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}, \\ {\hspace{0.04cm}\left| \hspace{0.005cm} f\hspace{0.05cm} \right| > f_{\rm A}/2}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel "Pulscodemodulation".
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite "Natürliche und diskrete Abtastung".
- Das abgetastete Quellensignal wird mit $q_{\rm A}(t)$ bezeichnet und dessen Spektralfunktion mit $Q_{\rm A}(f)$.
- Die Abtastung erfolgt stets bei $ν · T_{\rm A}$.
Fragebogen
Musterlösung
- $$ G_{\rm R}(f) = T_{\rm R} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R}) \hspace{0.3cm} {\rm mit}\hspace{0.3cm} {\rm si}(x) = \sin(x)/x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}} = \frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}} \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})$$
- $$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{T_{\rm A}} =\frac{T_{\rm R}}{T_{\rm A}}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.5} \hspace{0.05cm}.$$
(2) Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag:
- Aus der angegebenen Gleichung im Zeitbereich ergibt sich mit dem Faltungssatz:
- $$q_{\rm A}(t) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}} \cdot p_{\rm \delta}(t) \star g_{\rm R}(t)\right ]\cdot q(t) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f) = \left [ \frac{1}{T_{\rm A}}\cdot P_{\rm \delta}(f) \cdot G_{\rm R}(f) \right ] \star Q(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
- Der erste Lösungsvorschlag gilt nur bei idealer Abtastung (mit einem Diracpuls) und der letzte bei diskreter Abtastung.
(3) Die Antwort ist JA:
- Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) erhält man mit der Spektralfunktion des Diracpulses
- $$Q_{\rm A}(f) = \left [ P_{\rm \delta}(f) \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \right ] \star Q(f)= \left [ \frac{G_{\rm R}(f)}{{T_{\rm A}}} \cdot \sum_{\mu = -\infty}^{+\infty} \delta(f - \mu \cdot f_{\rm A})\right ] \star Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
- Bei erfülltem Abtasttheorem und richtigem Tiefpass liegen von den unendlich vielen Faltungsprodukten nur das Faltungsprodukt mit $μ = 0$ im Durchlassbereich.
- Unter Berücksichtigung des Verstärkungsfaktors $T_{\rm A}/T_{\rm R}$ erhält man somit für das Spektrum am Filterausgang:
- $$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \left [ \frac{G_{\rm R}(f = 0)}{{T_{\rm A}}} \cdot \delta(f )\right ] \star Q(f)= Q(f) \hspace{0.05cm}.$$
(4) Richtig ist der letzte Lösungsvorschlag.
- Verlagert man den Faktor $1/T_{\rm A}$ zum Rechteckimpuls, so erhält man bei diskreter Abtastung mit dem Faltungssatz:
- $$ q_{\rm A}(t) = \big [ p_{\rm \delta}(t)\cdot q(t) \big ] \star \frac{g_{\rm R}(t)}{T_{\rm A}}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}Q_{\rm A}(f)= \big [ P_{\rm \delta}(f)\star Q(f) \big ] \cdot \frac{G_{\rm R}(f)}{T_{\rm A}}\hspace{0.05cm}.$$
(5) Die Antwort ist NEIN:
- Die Gewichtungsfunktion $G_{\rm R}(f)$ betrifft nun auch den inneren Kern $(μ = 0)$ des Faltungsproduktes.
- Alle anderen Terme $(μ ≠ 0)$ werden durch den Tiefpass eliminiert. Man erhält hier im relevanten Bereich $|f| < f_{\rm A}/2$:
- $$V(f) = \frac{T_{\rm A}}{T_{\rm R}} \cdot \frac{G_{\rm R}(f )}{{T_{\rm A}}} \cdot Q(f) = 2 \cdot 0.5 \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\cdot Q(f) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}V(f) = Q(f) \cdot {\rm si}(\pi f T_{\rm R})\hspace{0.05cm}.$$
- Sieht man hier keine zusätzliche Entzerrung vor,  so werden die höheren Frequenzen entsprechend der $\rm si$–Funktion gedämpft.
- Die höchste Signalfrequenz $(f = f_{\rm A}/2)$ wird hierbei am stärksten abgesenkt:
- $$V(f = f_{\rm A}/2) = Q( f_{\rm A}/2) \cdot {\rm sinc}( \frac{T_{\rm R}}{2 \cdot T_{\rm A}})= Q( f_{\rm A}/2) \cdot \frac{\sin(\pi/4)}{\pi/4}\approx 0.9 \cdot Q( f_{\rm A}/2) \hspace{0.05cm}.$$