Aufgaben:Aufgabe 4.Zehn: QPSK–Kanalkapazität

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Gegeben sind AWGN–Kanalkapazitätskurven für die beiden Modulationsverfahren

• Binary Phase Shift Keying (BPSK),
• Quaternary Phase Shift Keying (4–PSK oder auch QPSK).

Das obere Diagramm zeigt die Abhängigkeit von 10 · lg (E_B/N₀) in dB, wobei E_B die „Energie pro Informationsbit” angibt. Für große E_B/N₀–Werte liefert die BPSK–Kurve die maximale Coderate R ≈ 1, während für die QPSK–Kurve R ≈ 2 abgelesen werden kann.

Die Kapazitätskurven für digitalen Eingang (jeweils mit der Einheit „bit/Symbol”),

• grüne Kurve C_BPSK(E_B/N₀) und
• blaue Kurve C_QPSK(E_B/N₀)

sollen in der Teilaufgabe (c) in Bezug gesetzt werden zu zwei Shannon–Grenzkurven, die jeweils für eine Gaußsche Eingangsverteilung gültig sind: $$C_1( E_{\rm B}/{N_0}) = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2\hspace{0.05cm}R\hspace{0.05cm} E_{\rm B}}{N_0}) ,$$ $$C_2( E_{\rm B}/{N_0}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { R\hspace{0.05cm} E_{\rm B}}{N_0}) .$$ Die beiden Kurven geben gleichzeitig die maximale Coderate R an, mit der durch lange Kanalcodes eine fehlerfreie Übertragung entsprechend dem Kanalcodierungstheorem möglich ist. Natürlich gelten für C₁(E_B/N₀) bzw. C₂(E_B/N₀) unterschiedliche Randbedingungen. Welche, sollen Sie herausfinden.

Die Abszisse im unteren Diagramm ist dagegen 10 · lg (E_S/N₀) mit der „Energie pro Symbol” (E_S). Die beiden Endwerte bleiben gegenüber oben unverändert.

Hinweis :

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet von Kapitel 4.3.

Fragebogen

1

Unterscheiden sich QPSK und 4–QAM aus informationstechnischer Sicht?

	Ja.
	Nein.

2

Wie lässt sich C_QPSK(E_B/N₀) aus C_BPSK(E_B/N₀) konstruieren?

	Durch Verdopplung: CQPSK(EB/N0)  =  2 · CBPSK(EB/N0).
	Zusätzlich durch eine Verschiebung nach rechts.
	Zusätzlich durch eine Verschiebung nach links.
	CQPSK(EB/N0) kann man aus CBPSK(EB/N0) nicht konstruieren.

3

Welcher Zusammenhang besteht zu den Shannon–Grenzkurven?

	Es gilt CBPSK(EB/N0) ≤ C1(EB/N0).
	Es gilt CBPSK(EB/N0) ≤ C2(EB/N0).
	Es gilt CQPSK(EB/N0) ≤ C1(EB/N0).
	Es gilt CQPSK(EB/N0) ≤ C2(EB/N0).

4

Wie lässt sich C_QPSK(E_S/N₀) aus C_BPSK(E_S/N₀) konstruieren?

	Durch Verdopplung: CQPSK (ES/N0)  =  2 · CBPSK(ES/N0).
	Zusätzlich durch eine Verschiebung nach rechts.
	Zusätzlich durch eine Verschiebung nach links.
	CQPSK(ES/N0) kann man aus CBPSK(ES/N0) nicht konstruieren.

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Die Grafik zeigt die Signalraumkonstellationen für

• QPSK (Quaternary Phase Shift Keying), und
• 4–QAM (vierstufige Quadraturamplitudenmodulation).

Letztere wird auch als π/4–QPSK bezeichnet. Beide sind aus informationstechnischer Sicht identisch ⇒ Antwort NEIN.

(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1: Die 4–QAM kann man als zwei BPSK–Konstellationen in orthogonalen Ebenen betrachten, wobei die Energie pro Informationsbit (E_B) in beiden Fällen gleich ist. Da entsprechend Teilaufgabe (a) die 4–QAM mit der QSPK identisch ist, gilt tatsächlich C_QPSK(E_B/N₀) = 2 · C_BPSK(E_B/N₀).



3. 4. 5. 6. 7.