Aufgaben:Aufgabe 4.6: Quantisierungskennlinien: Unterschied zwischen den Versionen

Nichtlineare Quantisierungskennlinien

Es wird die nichtlineare Quantisierung betrachtet und es gilt weiterhin das Systemmodell gemäß Aufgabe 4.5. Die Grafik zeigt zwei Kompressorkennlinien $q_{\rm K}(q_{\rm A})$:

Rot eingezeichnet ist die sogenannte A–Kennlinie, die vom CCITT (Comité Consultatif International Téléphonique et Télégraphique) für das Standardsystem PCM 30/32 empfohlen wurde. Für $0 ≤ q_{\rm A} ≤ 1$ gilt hier:

$$q_{\rm K}(q_{\rm A}) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q_{\rm A})} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} \\ \\ \frac{A \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}q_{\rm A}} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{10}c} {\frac{1}{A} \le q_{\rm A} \le 1} \hspace{0.05cm}, \\ \\ {q_{\rm A} < \frac{1}{A}} \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Der blau–gestrichelte Kurvenzug gilt für die sog. 13–Segment–Kennlinie. Diese ergibt sich aus der A–Kennlinie durch stückweise Linearisierung; sie wird in der Aufgabe 4.5 ausführlich behandelt.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Pulscodemodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Kompression und Expandierung.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Für die durchgehend rot gezeichnete A-Kennlinie ist der Quantisierungsparameter $A = 100$ gewählt. Mit dem vom CCITT vorgeschlagenen Wert $A = 87.56$ ergibt sich näherungsweise der gleiche Verlauf.
Für die beiden weiteren Kurven gilt $A = A_1$ (strich–punktierte Kurve) bzw. $A = A_2$ (punktierte Kurve), wobei für $A_1$ bzw. $A_2$ die beiden möglichen Zahlenwerte $50$ und $200$ vorgegeben sind. In der Teilaufgabe (3) sollen Sie entscheiden, welche Kurve zu welchem Zahlenwert gehört.

Fragebogen

Musterlösung

(1) Richtig sind die Aussagen 2 und 3:

Eine Signalverfälschung von leisen Tönen oder in Sprachpausen wird subjektiv als störender empfunden als zum Beispiel ein zusätzliches Geräusch bei Heavy Metal.
Bezüglich des Quantisierungsrauschens bzw. des SNR gibt es durch eine nichtlineare Quantisierung allerdings keine Verbesserung, wenn von einer Gleichverteilung der Amplitudenwerte ausgegangen wird.
Berücksichtigt man aber, dass bei Sprach– und Musiksignalen kleinere Amplituden sehr viel häufiger auftreten als große &Rarr; Laplaceverteilung, so ergibt sich durch die nichtlineare Quantisierung auch ein besseres SNR.

(2) Richtig sind die Aussagen 1 und 2:

Durch die Linearisierung in den einzelnen Segmenten ist in diesen bei der 13–Segment–Kennlinie die Intervallbreite der verschiedenen Quantisierungsstufen konstant, was sich bei der Realisierung günstig auswirkt.
Dagegen gibt es bei der nichtlinearen Quantisierung gemäß der A–Kennlinie keine Quantisierungsintervalle gleicher Breite. Das bedeutet: Die Aussage 3 ist falsch.

(3) Richtig ist NEIN:

Für $q_{\rm A} = 1$ erhält man unabhängig von $A$ den Wert $q_{\rm A} = 1$.
Allein mit dieser Vorgabe kann $A$ also nicht ermittelt werden.

(4) Richtig is twiederum NEIN:

Für $q_{\rm A} = 1/A$ liefern beide Bereichsgleichungen den gleichen Wert $q_{\rm K}= 1/[1 + \ln(A)]$.
Auch damit kann $A$ nicht bestimmt werden.

(5) Mit dieser Forderung ist $A$ nun berechenbar:

$$0.875 = \frac{1 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A/2)} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} = \frac{1\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} {\rm ln}(2) \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A)} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )}\approx \frac{1-0.693 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A)} {1 \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm ln}(A) = \frac{0.875 - 0.307 } {1 -0.875 }= 4.544 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} A \hspace{0.15cm}\underline {\approx 94} \hspace{0.05cm}.$$

(6) Richtig ist die Aussage 2:

Die Kurve für $A_1 = 200$ liegt oberhalb der Kurve mit $A = 100$, die Kurve mit $A_2 = 50$ unterhalb.
Dies zeigt die folgende Rechnung für $q_{\rm A} = 0.5$:

$$A= 100\text{:}\hspace{0.2cm} q_{\rm K}= \frac{1 + \ln(100) - \ln(2)}{1 + \ln(100)}= \frac{1+4.605- 0.693} {1 +4.605}\approx 0.876 \hspace{0.05cm},$$

$$A= 200\text{:}\hspace{0.2cm} q_{\rm K}= \frac{1+5.298- 0.693} {1 +5.298}\approx 0.890 \hspace{0.05cm},$$

$$A= 50\text{:}\hspace{0.4cm} q_{\rm K}= \frac{1+3.912- 0.693} {1 +3.912}\approx 0.859 \hspace{0.05cm}.$$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Impulsantwort $h_K(t)$ ergibt sich als das Empfangssignal r(t), wenn am Eingang ein Diracimpuls anliegt ⇒ $s(t) = δ(t)$. Daraus folgt
-$$ h_{\rm K}(t) = 0.6 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot \delta (t - \tau) \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist also der Lösungsvorschlag 1.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 2 und 3</u>:
+*Eine Signalverfälschung von leisen Tönen oder in Sprachpausen wird subjektiv als störender empfunden als zum Beispiel ein zusätzliches Geräusch bei Heavy Metal.
+*Bezüglich des Quantisierungsrauschens bzw. des SNR gibt es durch eine nichtlineare Quantisierung allerdings keine Verbesserung, wenn von einer Gleichverteilung der Amplitudenwerte ausgegangen wird.
+*Berücksichtigt man aber, dass bei Sprach– und Musiksignalen kleinere Amplituden sehr viel häufiger auftreten als große &nbsp; &Rarr; &nbsp; ''Laplaceverteilung'', so ergibt sich durch die nichtlineare Quantisierung auch ein besseres SNR.
-'''2.'''  Der Kanalfrequenzgang $H_K(f)$ ist definitionsgemäß die Fouriertransformierte der Impulsantwort $h_K(t)$. Mit dem Verschiebungssatz ergibt sich hierfür:
-$$H_{\rm K}(f) = 0.6 + 0.4 \cdot {\rm e}^{ \hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm}2 \pi f \tau}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f= 0) = 0.6 + 0.4 = 1 \hspace{0.05cm}.$$
+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 1 und 2</u>:
-Der erste Lösungsvorschlag ist dementsprechend falsch im Gegensatz zu den beiden anderen: $H_K(f)$ ist komplexwertig und der Betrag ist periodisch mit $1/τ$, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
+*Durch die Linearisierung in den einzelnen Segmenten ist in diesen bei der 13–Segment–Kennlinie die Intervallbreite der verschiedenen Quantisierungsstufen konstant, was sich bei der Realisierung günstig auswirkt.
-$$|H_{\rm K}(f)|^2 =  \left [0.6 + 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau) \right ]^2 + \left [ 0.4 \cdot \sin(2 \pi f \tau) \right ]^2 =$$
+*Dagegen gibt es bei der nichtlinearen Quantisierung gemäß der A–Kennlinie keine Quantisierungsintervalle gleicher Breite. Das bedeutet: Die Aussage 3 ist falsch.
-$$ =  \left [0.6^2 + 0.4^2 \cdot \left ( \cos^2(2 \pi f \tau) + \sin^2(2 \pi f \tau)\right ) \right ] + 2 \cdot 0.6 \cdot 0.4 \cdot \cos(2 \pi f \tau)$$
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}|H_{\rm K}(f)| = \sqrt { 0.52 + 0.48 \cdot \cos(2 \pi f \tau) } \hspace{0.05cm}.$$
-Für $f = 0$ ist $|H_K(f)| = 1$. Im jeweiligen Frequenzabstand $1/τ$ wiederholt sich dieser Wert.
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>NEIN</u>:
+*Für $q_{\rm A} = 1$ erhält man unabhängig von $A$ den Wert $q_{\rm A} = 1$.
+*Allein mit dieser Vorgabe kann $A$ also nicht ermittelt werden.
+'''(4)'''&nbsp; Richtig is twiederum  <u>NEIN</u>:
+*Für $q_{\rm A} = 1/A$ liefern beide Bereichsgleichungen den gleichen Wert $q_{\rm K}= 1/[1 + \ln(A)]$.
+*Auch damit kann $A$ nicht bestimmt werden.
+'''(5)'''&nbsp; Mit dieser Forderung ist $A$ nun berechenbar:
+:$$0.875 = \frac{1 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A/2)} {1
+\hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )} =
+\frac{1\hspace{0.05cm}-\hspace{0.05cm} {\rm ln}(2)
+\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A)} {1 \hspace{0.05cm}+
+\hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )}\approx \frac{1-0.693
+\hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm} {\rm ln}(A)} {1 \hspace{0.05cm}+
+\hspace{0.05cm}{\rm ln}(A )}\hspace{0.3cm}
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm ln}(A) = \frac{0.875 - 0.307 } {1
+-0.875 }= 4.544 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} A \hspace{0.15cm}\underline {\approx
+} \hspace{0.05cm}.$$
+'''(6)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Aussage 2</u>:
+*Die Kurve für $A_1 = 200$ liegt oberhalb der Kurve mit $A = 100$, die Kurve mit $A_2 = 50$ unterhalb.
+*Dies zeigt die folgende Rechnung für $q_{\rm A} = 0.5$:
+:$$A= 100\text{:}\hspace{0.2cm} q_{\rm K}= \frac{1 + \ln(100) - \ln(2)}{1 + \ln(100)}=
+\frac{1+4.605- 0.693} {1 +4.605}\approx
+.876  \hspace{0.05cm},$$
+:$$A= 200\text{:}\hspace{0.2cm} q_{\rm K}= \frac{1+5.298- 0.693} {1 +5.298}\approx
+.890  \hspace{0.05cm},$$
+:$$A= 50\text{:}\hspace{0.4cm} q_{\rm K}= \frac{1+3.912- 0.693} {1 +3.912}\approx
+.859  \hspace{0.05cm}.$$
-'''3.'''  Wir setzen zunächst vereinbarungsgemäß K = 1. Insgesamt kommt man über vier Wege von $s(t)$ zum Ausgangssignal $b(t)$. Um die vorgegebene $h_{KR}(t)$–Gleichung zu erfüllen, muss entweder $τ_0 = 0$ gelten oder $τ_1 = 0$. Mit $τ_0 = 0$ erhält man für die Impulsantwort:
-$$h_{\rm KR}(t)  =  0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau) +$$
-$$ +  0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t -\tau_1) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau-\tau_1) \hspace{0.05cm}.$$
-Um die „Hauptenergie” auf einen Zeitpunkt bündeln zu können, müsste dann $τ_1 = τ$ gewählt werden. Mit $h_0 = 0.6$ und $h_1 = 0.4$ erhält man dann $A_0 ≠ A_2$:
-$$ h_{\rm KR}(t) = 0.36 \cdot \delta (t ) +0.48 \cdot \delta (t - \tau) + 0.16 \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
-Dagegen ergibt sich mit $h_0 = 0.6$, $h_1 = 0.4$, $τ_0 = τ$ und $τ_1 = 0$:
-$$h_{\rm KR}(t)  =  0.6 \cdot h_0 \cdot \delta (t - \tau ) + 0.4 \cdot h_0 \cdot \delta (t - 2\tau) +$$
-$$  +  0.6 \cdot h_1 \cdot \delta (t) + 0.4 \cdot h_1 \cdot \delta (t - \tau)=$$
-$$ =  0.24 \cdot \delta (t ) +0.52 \cdot \delta (t - \tau) + 0.24 \cdot \delta (t - 2\tau) \hspace{0.05cm}.$$
-Hier ist die Zusatzbedingung $A_0 = A_2$ erfüllt. Somit lautet das gesuchte Ergebnis:
-$$\underline{\tau_0 = \tau = 1\,{\rm \mu s} \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}\tau_1 =0} \hspace{0.05cm}.$$
-'''4.''' Für den Normierungsfaktor muss gelten:
-$$ K= \frac{1}{h_0^2 + h_1^2} = \frac{1}{0.6^2 + 0.4^2} = \frac{1}{0.52} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.923} \hspace{0.05cm}.$$
-Damit erhält man für die gemeinsame Impulsantwort (es gilt 0.24/0.52 = 6/13):
-$$ h_{\rm KR}(t) = \frac{6}{13} \cdot \delta (t ) + 1.00 \cdot \delta (t - \tau) + \frac{6}{13} \cdot \delta (t - 2\tau)\hspace{0.05cm}.$$
-'''5.''' Für das Empfangssignal $r(t)$ und für das RAKE–Ausgangssignal $b(t)$ gilt:
-$$r(t)  =  0.6 \cdot s(t) + 0.4 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s})\hspace{0.05cm},$$
-$$b(t)  =  \frac{6}{13} \cdot s(t) + 1.00 \cdot s (t - 1\,{\rm \mu s}) + \frac{6}{13} \cdot s (t - 2\,{\rm \mu s}) \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind die Aussagen 1 und 4, wie die folgende Grafik zeigt. Die Überhöhung des Ausgangssignals  ⇒  $b(t) > 1$ ist auf den Normierungsfaktor K = 25/13 zurückzuführen. Mit K = 1 wäre der Maximalwert von $b(t)$ tatsächlich 1.
-[[Datei:P_ID1902__Mod_Z_5_5e.png]]

	Das größere SNR – auch bei gleichwahrscheinlichen Amplituden.
	Bei Audio sind kleine Amplituden wahrscheinlicher als große.
	Die Verfälschung kleiner Amplituden ist subjektiv störender.

	Die A–Kennlinie beschreibt einen kontinuierlichen Verlauf.
	Die 13–Segment–Kurve nähert die A–Kennlinie stückweise linear an.
	Bei der Realisierung zeigt die A–Kennlinie wesentliche Vorteile.

	Es gilt $A_1 = 50$ und $A_2 = 200$.
	Es gilt $A_1 = 200$ und $A_2 = 50$.

	Ja.
	Nein.

	Ja.
	Nein.

Aufgaben:Aufgabe 4.6: Quantisierungskennlinien: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 20. Juli 2017, 16:13 Uhr

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