Aufgaben:Aufgabe 2.5Z: Mehrwege-Szenario

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Mobilfunk–Szenario mit 3 Pfaden

In Aufgabe A2.5 war die Verzögerungs–Doppler–Funktion vorgegeben. Daraus sollte man die anderen Systemfunktionen berechnen und interpretieren. Die Vorgabe für die Scatterfunktion $s(\tau_0, f_{\rm D})$ lautete:

$$s(\tau_0, f_{\rm D}) =\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau_0) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz}) \ - \ $$

$$\hspace{1.5cm} \ - \ \hspace{-0.2cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz}) \ - \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau_0 \hspace{-0.05cm}- \hspace{-0.05cm}1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D}\hspace{-0.05cm} + \hspace{-0.05cm}50\,{\rm Hz}) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweis: In unserem Lerntutorial wird $s(\tau_0, \hspace{0.05cm} f_{\rm D})$ auch mit $\eta_{\rm VD}(\tau_0, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$ bezeichnet.

Wir haben hier die Verzögerungsvariable $\tau$ durch $\tau_0$ ersetzt. Dabei beschreibt die neue Variable $\tau_0$ die Differenz zwischen der Laufzeit eines Pfades und der Laufzeit $\tau_1$ des Hauptpfades. Der Hauptpfad ist somit in obiger Gleichung durch $\tau_0 = 0$ gekennzeichnet.

Nun wird versucht, ein Mobilfunkszenario zu finden, bei dem tatsächlich dieses Scatterfunktion auftreten würde. Die Grundstruktur ist dabei oben als Draufsicht skizziert, und es gilt:

• Gesendet wird eine einzige Frequenz $f_{\rm S} = 2 \ \rm GHz$.
• Der mobile Empfänger $\rm (E)$ ist hier durch einen gelben Punkt dargestellt. Nicht bekannt ist, ob das Fahrzeugt steht, sich auf den Sender $\rm (S)$ zu bewegt oder sich von diesem entfernt.
• Das Signal gelangt über einen Hauptpfad (rot) und zwei Nebenpfaden (blau und grün) zum Empfänger. Reflexionen an den Hindernissen führen jeweils zu Phasendrehungen um $\pi$.
• ${\rm S}_2$ und ${\rm S}_3$ sind hier als fiktive Sender zu verstehen, aus deren Lage die Auftreffwinkel $\alpha_2$ und $\alpha_3$ der Nebenpfade ermittelt werden können.
• Für die Dopplerfrequenz gilt mit der Signalfrequenz $f_{\rm S}$, dem Winkel $\alpha$, der Geschwindigkeit $\upsilon$ und der Lichtgeschwindigkeit $c = 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s$:

$$f_{\rm D}= {v}/{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm}.$$

• Die Dämpfungsfaktoren $k_1$, $k_2$ und $k_3$ sind umgekehrt proportional zu den Pfadlängen $d_1$, $d_2$ und $d_3$. Dies entspricht dem Pfadverlustexponenten $\gamma = 2$: Die Signalleistung nimmt quadratisch mit der Distanz $d$ ab und dementsprechend die Signalamplitude linear mit $d$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Das GWSSUS–Kanalmodell.
• Bezug genommen wird insbesondere auf das Pfadverlustmodell und den Dopplereffekt.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Betrachten Sie zunächst nur die Diracfunktion bei $\tau = 0$ und $f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz$. Welche Aussagen gelten für den Empfänger?

	Der Empfänger steht.
	Der Empfänger fährt direkt auf den Sender zu.
	Der Empfänger entfernt sich in Gegenrichtung zum Sender.

2

Wie groß ist die Fahrzeuggeschwindigkeit?

$v \ = \ $ $\ \rm km/h$

3

Welche Aussagen gelten für den Dirac bei $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$ und $f_{\rm D} = +50 \ \rm Hz$?

	Dieser Dirac stammt vom blauen Pfad.
	Dieser Dirac stammt vom grünen Pfad.
	Der Winkel $\alpha_2$ (siehe Grafik) beträgt $30^\circ$.
	Der Winkel $\alpha_2$ (siehe Grafik) beträgt $60^\circ$.

4

Welche Aussagen gelten für den grünen Pfad?

	Für diesen gilt $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$ und $f_{\rm D} = \, –50 \ \rm Hz$.
	Der Winkel $\alpha_3$ beträgt $60^\circ$.
	Der Winkel $\alpha_3$ beträgt $240^\circ$.

5

Welche Relationen bestehen zwischen den beiden Nebenpfaden?

	Es gilt $d_3 = d_2$.
	Es gilt $k_3 = k_2$.
	Es gilt $\tau_3 = \tau_2$.

6

Wie groß ist die Laufzeitdifferenz $\Delta d = d_2 - d_1$?

$\Delta d \ = \ $ $\ \rm m$

7

Welches Verhältnis besteht zwischen $d_2$ und $d_1$?

$d_2/d_1 \ = \ $

8

Geben Sie die Distanzen $d_1$ und $d_2$ an.

$d_1 \ = \ $ $\ \rm m$

$d_2 \ = \ $ $\ \rm m$

Musterlösung

Musterlösung

(1)  Die Dopplerfrequenz ist für $\tau_0$ positiv. Das heißt, dass sich der Empfänger auf den Sender zu bewegt   ⇒   Aussage 2.

(2)  Die Gleichung für die Dopplerfrequenz lautet allgemein bzw. für den Winkel $\alpha = 0$.

$$f_{\rm D}= \frac{v}{c} \cdot f_{\rm S} \cdot \cos(\alpha) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}\alpha = 0 \hspace{0.05cm}{\rm :} \hspace{0.15cm}f_{\rm D}= \frac{v}{c} \cdot f_{\rm S}\hspace{0.05cm}.$$

Daraus erhält man für die Geschwindigkeit

$$v = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot c = \frac{10^2\,{\rm Hz}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}} \cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s} = 15\,{\rm m/s} \hspace{0.1cm} \underline {= 54 \,{\rm km/h}} \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:

• Die Dopplerfrequenz $f_{\rm D} = 50 \ \rm Hz$ rührt vom blauen Pfad her, da sich der Empfänger irgendwie auf den virtuellen Sender ${\rm S}_2$ (beim Reflexionspunkt) zubewegt, wenn auch nicht in direkter Richtung.
• Der Winkel $\alpha_2$ zwischen der Bewegungsrichtung und der Verbindungslinie ${\rm S_2 – E}$ beträgt $60^\circ$:

$$\cos(\alpha_2) = \frac{f_{\rm D}}{f_{\rm S}} \cdot \frac{c}{v} = \frac{50 \,{\rm Hz}\cdot 3 \cdot 10^8\,{\rm m/s}}{2 \cdot 10^9\,{\rm Hz}\cdot 15\,{\rm m/s}} = 0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \alpha_2 \hspace{0.1cm} \underline {= 60^{\circ} } \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Richtig sind die Aussagen 1 und 3. Aus $f_{\rm D} = \, –50 \ \rm Hz$ folgt $\alpha_3 = \alpha_2 ± \pi$, also $\alpha_3 \ \underline {= 240^\circ}$.

(5)  Alle Aussagen stimmen:

• Die beiden Diracfunktionen bei $± 50 \ \rm Hz$ haben die gleiche Laufzeit. Für beide Laufzeiten gilt $\tau_3 = \tau_2 = \tau_1 + \tau_0$.
• Aus der gleichen Laufzeit folgt aber auch $d_3 = d_2$ und bei gleicher Länge auch die gleichen Dämpfungsfaktoren.

(6)  Die Laufzeitdifferenz ist $\tau_0 = 1 \ \rm \mu s$, wie aus der Gleichung für $s(\tau_0, f_{\rm D})$ hervorgeht. Damit ergibt sich die Längendifferenz:

$$\Delta d = \tau_0 \cdot c = 10^{–6} {\rm s} \cdot 3 \cdot 10^8 \ \rm m/s \ \underline {= 300 \ \rm m}.$$

(7)  Der Pfadverlustexponent wurde für diese Aufgabe zu $\gamma = 2$ vorausgesetzt. Dann gilt $k_1 = K/d_1$ und $k_2 = K/d_2$.

Das Minuszeichen berücksichtigt hierbei die $180^\circ$–Phasendrehung auf den Nebenpfaden. Aus den Gewichten der Diracfunktionen kann man $k_1 = \sqrt{0.5}$ und $k_2 = -0.5$ ablesen. Daraus folgt:

$$\frac{d_2}{d_1} = \frac{k_1}{-k_2} = \frac{1/\sqrt{2}}{0.5} = \sqrt{2} \hspace{0.15cm} \underline {= 1.414} \hspace{0.05cm}.$$

Die Konstante $K$ ist lediglich eine Hilfsgröße, die nicht weiter betrachtet werden muss.

(8)  Aus $d_2/d_1 = 2^{–0.5}$ und $\Delta d = d_2 \, – d_1 = 300 \ \rm m$ folgt schließlich:

$$\sqrt{2} \cdot d_1 - d_1 = 300\,{\rm m} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} d_1 = \frac{300\,{\rm m}}{\sqrt{2} - 1} \hspace{0.15cm} \underline {= 724\,{\rm m}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} d_2 = \sqrt{2} \cdot d_1 \hspace{0.15cm} \underline {= 1024\,{\rm m}} \hspace{0.05cm}. $$