Modulationsverfahren/Lineare digitale Modulation

1. Modulationsverfahren
2. Digitale Modulationsverfahren
3. Lineare digitale Modulation

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Unterschiede zwischen analogen und digitalen Modulationsverfahren

Die Grafik zeigt oben ein analoges Übertragungssystem und darunter gezeichnet ein Digitalsystem.  Die wesentlichen Unterschiede sind rot hervorgehoben:

Analoges und digitales Übertragungssystem

• Während beim oberen System am Modulatoreingang das analoge Quellensignal  $q(t)$  anliegt, ist beim unteren Digitalsystem das modulierende Signal  $q_{\rm D}(t)$  ein Digitalsignal, gekennzeichnet durch die Amplitudenkoeffizienten  $a_ν$, den Grundimpuls  $g_q(t)$  sowie die Symboldauer  $T$:

$$q_{\rm D}(t) = \sum_{\nu=-\infty}^{+\infty}a_\nu \cdot g_q(t - \nu \cdot T) \hspace{0.05cm}.$$

• Die A/D–Wandlung kann zum Beispiel mittels  Pulscodemodulation  erfolgen und umfasst die Funktionen Abtastung, Quantisierung, Binärcodierung und Signalformung.  Der Grundimpuls  $g_q(t)$  wird oft als NRZ–rechteckförmig angenommen mit Amplitude  $s_0$  und Dauer  $T$.  Für die Spektralfunktion gilt mit  ${\rm si}(x) = \sin(x)/x$:

$$G_q(f) = s_0 · T · {\rm si}(π f T).$$

• Die Modulatoren können bei beiden Systemen gleich sein.  Sie verändern einen der drei Signalparameter des Trägersignals $z(t)$ gemäß dem Modulatoreingangssignal.  Die digitalen Varianten von AM, PM und FM heißen  Amplitude Shift Keying  $\rm (ASK)$,  Phase Shift Keying  $\rm (PSK)$  und  Frequency Shift Keying  $\rm (FSK)$.

• Dagegen unterscheidet sich der Demodulator des Digitalsystems grundsätzlich von einem analogen Demodulator durch die erforderliche Entscheiderkomponente (in Hardware oder Software).  Das Signal  $v_{\rm D}(t)$  ist ebenso wie  $q_{\rm D}(t)$  digital und muss anschließend noch in das analoge Sinkensignal  $v(t)$  D/A–gewandelt werden.

• Das entscheidende Gütekriterium ist bei beiden Systemen das  Sinken–SNR   ⇒   Quotient der Leistungen von Quellensignal $q(t)$ und Fehlersignal  $ε(t) = v(t) \ – \ q(t)$.  Bei einem Digitalsystem begnügt man sich meist mit dem Qualitätsmerkmal  Bitfehlerquote  $($englisch:   Bit Error Rate,  $\rm BER)$, das sich auf die Digitalsignale  $q_{\rm D}(t)$  und  $v_{\rm D}(t)$  bezieht.  Diese ist in ein  $\rm SNR$  umrechenbar.

ASK – Amplitude Shift Keying

Signale und Leistungsdichtespektren bei ASK

Die Grafik zeigt das digitale Quellensignal  $q(t)$  – auf den Index „D” wird ab sofort verzichtet –  sowie das ASK–Sendesignal

$$s_{\rm ASK}(t) = q(t) · \sin(2π · f_{\rm T} · t),$$

wobei hier von unipolaren Amplitudenkoeffizienten  $a_ν ∈ \{0, \ 1\}$  und einem sinusförmigen Träger ausgegangen wird. 

Dieses Verfahren wird zum Beispiel bei optischen Übertragungssystemen eingesetzt  (da es bekanntlich keine negativen Lichtimpulse gibt)  und ist auch unter der Bezeichnung  „On–Off–Keying”  bekannt.

In der rechten Bildhälfte sind – allerdings nicht maßstäblich – die dazugehörigen Leistungsdichtespektren  $($abgekürzt:  $\rm LDS)$ dargestellt.  Bei rechteckförmigem Grundimpuls  $g_q(t)$  und gleichwahrscheinlichen unipolaren Amplitudenkoeffizienten gilt:

$$\begin{align*}{{\it \Phi}_{q}(f)}& = \frac{{s_0}^2 \cdot T}{4} \cdot {\rm si}^2 (\pi f T) + \frac{{s_0}^2 }{4} \cdot \delta (f)\hspace{0.05cm},\\ {{\it \Phi}_{s}(f)}& = \frac{1}{4} \cdot \big [ {{\it \Phi}_{q}(f- f_{\rm T})}+ {{\it \Phi}_{q}(f+ f_{\rm T})}\big]\hspace{0.05cm}.\end{align*}$$

Zu diesen Gleichungen ist anzumerken:

• Der Gleichanteil  $m_q = s_0/2$  des Quellensignals führt im Leistungsdichtespektrum  $ϕ_q(f)$  zu einer Diracfunktion bei der Frequenz  $f = 0$  mit dem Gewicht  ${s_0}^2/4$.

• Das Leistungsdichtespektrum des ASK–Sendesignals ist gleich  $ϕ_s(f) = ϕ_q(f) ∗ ϕ_z(f)$, wobei sich das LDS  $ϕ_z(f)$  des Trägersignals  $z(t)$  aus zwei Diracfunktionen bei  $±f_{\rm T}$  mit jeweiligem Gewicht  $1/4$  zusammensetzt.  Die Gleichung gilt auch bei anderer Trägerphase;  das Symbol  „∗”  beschreibt die Faltung.

• Das Leistungsdichtespektrum  $ϕ_s(f)$  ist bis auf die Verschiebung um  $±f_{\rm T}$  formgleich mit  $ϕ_q(f)$   ⇒   die ASK gehört zu den  linearen digitalen Modulationsverfahren.

Kohärente Demodulation von ASK–Signalen

Die Grafik zeigt das Blockschaltbild eines ASK–Systems inklusive der Empfängerkomponenten. 

Blockschaltbild eines ASK–Systems einschließlich Empfängerkomponente

• Das Quellensignal  $q(t)$  sei NRZ–rechteckförmig und unipolar, das heißt, es gilt  $a_ν ∈ \{0, \ 1\}$ . 
• Der Kanal sei zunächst ideal, gekennzeichnet durch  $H_{\rm K}(f) = 1$  und  $n(t) = 0$   ⇒   $r(t) = s(t)$.

Die Demodulation erfolge kohärent mittels  Synchrondemodulator, dessen Funktionsweise bereits bei den analogen Modulationsverfahren AM und PM beschrieben wurde.
Zusammenfassend lässt sich sagen:

• Beim Empfänger wird das gleiche Trägersignal zugesetzt wie beim Sender,  jedoch mit doppelter Amplitude.  $z(t)$  bezeichnet den Träger beim Sender und der Träger beim Empfänger ist  $2 · z(t) = z_{\rm E}(t)$.
• Nach der Multiplikation folgt ein geeignet dimensionierter Tiefpass mit dem Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$, der die höherfrequenten Anteile des Signals  $b(t)$  entfernt.
• Das Detektionssignal  $d(t)$  wird zu den Zeitpunkten  $ν · T$  abgetastet und mit Hilfe eines Schwellenwertentscheiders mit der Schwelle  $E = {s_0}/2$  entschieden.
• Das Sinkensignal  $v(t)$  am Entscheiderausgang ist rechteckförmig und im rauschfreien Fall bis auf die Laufzeit  $T/2$  gleich dem Quellensignal  $q(t)$.

$\text{Zu beachten ist:}$ 

• Eine  kohärente Demodulation  erfordert, dass dem Empfänger die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  und die Trägerphase  $ϕ_{\rm T}$  exakt bekannt sind.
• Der Empfänger muss diese beiden Größen aus dem Empfangssignal  $r(t)$  extrahieren, was bei starken Kanalverzerrungen und großen Rauschstörungen durchaus aufwändig sein kann. Solche Realisierungsaspekte werden zum Beispiel in der Aufgabe 4.9 zu diesem Kapitel behandelt.
• Ist dem Empfänger die Trägerphase  $ϕ_{\rm T}$  nicht bekannt, so spricht man von  inkohärenter Demodulation, auch dann, wenn die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  bekannt ist.

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt die im ASK–Blockschaltbild genannten Signale bei idealem Kanal:   $H_{\rm K}(f) = 1, \ \ n(t) = 0.$

Signale bei ASK–Modulation und kohärenter Demodulation

Die einzelnen Signalverläufe können wie folgt interpretiert werden:

• Das Sendesignal  $s(t)$  ist das Produkt aus dem unipolaren Quellensignal  $q(t)$  und dem Trägersignal $z(t) = \sin(2π\hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}t)$, wobei im Beispiel  $f_{\rm T} = 4/T$  gilt  (nur jeweils vier Schwingungen pro Symboldauer).
• Das Empfangssignal  $r(t) = s(t)$  wird zunächst mit dem Träger  $z_{\rm E}(t) = 2 · \sin(2π\hspace{0.05cm}f_{\rm T}\hspace{0.05cm}t)$   ⇒   doppelte Amplitude gegenüber  $z(t)$, kein Frequenz– und Phasenversatz – multipliziert.  Damit ergibt sich:

$$b(t) = 2 \cdot z(t)\cdot r(t)= 2 \cdot z^2(t)\cdot q(t) $$

$$\Rightarrow \hspace{0.35cm}b(t) = q(t) \cdot \big [ 1 - \cos(4\pi\hspace{0.05cm} f_{\rm T}\hspace{0.05cm} t)\big] \hspace{0.05cm}.$$

• Das Tiefpass–Filter mit dem Frequenzgang  $H_{\rm E}(f) = {\rm si}(π\hspace{0.05cm} f_{\rm T}\hspace{0.05cm} T)$  und dementsprechend rechteckförmiger Impulsantwort  $h_{\rm E}(t)$  formt aus dem Signal  $b(t)$  das Detektionssignal  $d(t) = b(t) \star h_{\rm E}(t)$.
• $h_{\rm E}(t)$  ist an den rechteckförmigen Grundimpuls  $g_q(t)$  angepasst; man spricht vom sog.  Matched–Filter   ⇒   bestmöglicher Kompromiss zwischen Entzerrung und Rauschleistungsbegrenzung.
• Ohne Rauschen gilt  $d(νT) = q(νT) ∈ \{0, \ s_0\}$.   Bei (moderaten) Rauschstörungen ist mit großer Wahrscheinlichkeit  $d(νT) > s_0/2,$ falls  $a_ν = +1$, und es wird  $d(νT) < s_0/2$  für  $a_ν = 0$  gelten.
• Der Entscheider gewinnt aus dem Vergleich der Detektionsabtastwerte  $d(νT)$  mit der Schwelle  $E = s_0/2$  das Sinkensignal  $v(t)$, das bei fehlerfreier Entscheidung bis auf die Laufzeit  $T/2$  gleich  $q(t)$  ist.

Inkohärente Demodulation von ASK–Signalen

Inkohärenter ASK–Demodulator

Wir gehen weiter von ASK–Modulation sowie dem idealen, also

• verzerrungsfreien,
• dämpfungsfreien und
• rauschfreien

Übertragungskanal aus, so dass gilt:

$$r(t) = s(t) = q(t) \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm T} \cdot t + \phi_{\rm T})\hspace{0.05cm}.$$

Weiter wird für diesen Abschnitt vorausgesetzt, dass dem Empfänger zwar die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$, nicht jedoch die Trägerphase  $ϕ_{\rm T}$  bekannt ist.  Üblich ist, auch diesen Demodulator als inkohärent zu bezeichnen.
Die Grafik zeigt einen solchen inkohärenten Demodulator, dessen Funktionsweise hier nur stichpunktartig angegeben werden soll.  Das Demodulationsergebnisse ist unabhängig von der Trägerphase  $ϕ_{\rm T}$, die der Empfänger nicht kennt.

• Die Signale  $d_1(t)$  und  $d_2(t)$  nach den beiden  Matched–Filtern  mit jeweiligen Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  sind formgleich mit dem Detektionssignal  $d(t)$   ⇒   $d_{\rm koh}(t)$  gemäß dem  vorherigen Blockschaltbild , aber gegenüber diesem im Allgemeinen wegen der fehlenden Phasenanpassung gedämpft:

$$d_1(t) = d_{\rm koh}(t) \cdot \cos( \phi_{\rm T}), \hspace{0.5cm}d_2(t) = -d_{\rm koh}(t) \cdot \sin( \phi_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$

• Ist der Amplitudenkoeffizient  $a_ν = 0$, so sind im rauschfreien Fall die beiden Signalwerte jeweils Null:   $d_1(ν · T) = 0$  und  $d_2(ν · T) = 0$.  Andernfalls  $(a_ν = 1)$  gilt für den Zeitpunkt  $ν · T$:

$$d_1(\nu \cdot T) = s_{\rm 0} \cdot \cos( \phi_{\rm T}), \hspace{0.5cm}d_2(\nu \cdot T) = -s_{\rm 0} \cdot \sin( \phi_{\rm T}) \hspace{0.05cm}.$$

• Nach Quadrierung der zwei Teilsignale erhält man für das Summensignal:

$$d(\nu \cdot T) = \left\{ \begin{array}{c} 0 \\ {s_0}^2 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.15cm}a_\nu = 0, \\ {\rm falls}\hspace{0.15cm}a_\nu = 1. \\ \end{array}$$

• Durch die Schwellenwertentscheidung – sinnvollerweise mit der Entscheiderschwelle  $E = {s_0}^2/2$ – können die Amplitudenkoeffizienten  $a_ν$  entschieden werden.  Allerdings ergibt sich eine etwas größere  Bitfehlerwahrscheinlichkeit  als bei kohärenter Demodulation.

BPSK – Binary Phase Shift Keying

Signale und Leistungsdichtespektren bei BPSK

Bei  analoger Phasenmodulation  $\rm (PM)$  lautet das Sendesignal:

$$s_{\rm PM}(t) = s_0 \cdot \cos\big [2 \pi f_{\rm T} t + \phi_{\rm T}+ K_{\rm PM} \cdot q(t)\big ]\hspace{0.05cm}.$$

Bei bipolarem Quellensignal   ⇒   $a_ν ∈ \{-1, +1\}$,  der Trägerphase  $ϕ_{\rm T} = π \ (180^\circ)$  und mit der Modulatorkonstanten  $K_{\rm PM} = π/(2s_0)$  ergibt sich im  $ν$–ten Zeitintervall:

$$s_{\rm BPSK}(t) = \left\{ \begin{array}{c} s_0 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \pi+ \pi/2) \\ s_0 \cdot \cos(2 \pi f_{\rm T} t + \pi- \pi/2) \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.15cm}a_\nu = +1, \\ {\rm falls}\hspace{0.15cm}a_\nu = -1. \\ \end{array}$$

Diese Gleichung für die  binäre Phasenmodulation  $($englisch: Binary Phase Shift Keying,  $\rm BPSK)$  lässt sich wie folgt umformen:

$$s_{\rm BPSK}(t) = a_\nu \cdot s_0 \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t ) $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{\rm BPSK}(t) = \left\{ \begin{array}{c} s_0 \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t ) \\ -s_0 \cdot \sin(2 \pi f_{\rm T} t ) \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm falls}\hspace{0.15cm}a_\nu = +1, \\ {\rm falls}\hspace{0.15cm}a_\nu = -1. \\ \end{array}$$

In der Grafik sind die Signale und die dazugehörigen Leistungsdichtespektren skizziert.  Man erkennt:

• Das BPSK–Signal lässt sich wie das ASK–Signal als Produkt von Quellensignal  $q(t)$  und Trägersignal  $z(t)$  darstellen.  Der einzige Unterschied liegt in den bipolaren Amplitudenkoeffizienten  $a_ν ∈ \{-1, +1\}$  gegenüber den unipolaren Koeffizienten  $(0$ oder $1)$  bei ASK.
• Im Gegensatz zur ASK ist bei der BPSK – wie bei jeder Form von Phasenmodulation – die Hüllkurve konstant.  Die Information wird hier durch die Phasensprünge innerhalb des Sendesignals  $s(t)$  übermittelt  (graue Hinterlegungen in der Grafik).
• Die Leistungsdichtespektren bei BPSK unterscheiden sich von denen bei ASK lediglich durch die fehlenden Diracfunktionen  $($da nun  $q(t)$  keinen Gleichanteil beinhaltet$)$  sowie durch den Faktor  $4$  bezüglich der kontinuierlichen LDS–Anteile.
• Daraus folgt weiter, dass die binäre Phasenmodulation zu den linearen Modulationsverfahren gezählt werden kann.  Im Allgemeinen ist nämlich die (analoge) Phasenmodulation bis auf wenige Ausnahmen hinsichtlich des Quellensignals nichtlinear.
• Für die Grafiken wurden aus Darstellungsgründen im Abschnitt  ASK  (Sinus) und und hier bei BPSK (Minus–Cosinus) verschiedene Trägerphasen gewählt.  Diese willkürliche Festlegung ist jedoch keine Einschränkung.  Beide Verfahren funktionieren bei anderen Trägerphasen in gleicher Weise.

Demodulation und Detektion von BPSK–Signalen

Aufgrund der konstanten Hüllkurve des BPSK–Signals muss hier die Demodulation stets kohärent erfolgen.  Es kann dabei vom  gleichen Blockschaltbild  wie bei der kohärenten ASK–Demodulation ausgegangen werden.

Signale bei BPSK–Modulation und kohärenter Demodulation

$\text{Beispiel 2:}$  Die Grafik zeigt von oben nach unten

• das Quellensignal  $q(t)$,
• das Empfangssignal  $r(t) = s(t)$  bei idealem Kanal,
• das Signal  $b(t)$  nach Multiplikation mit dem empfängerseitigen Trägersignal  $z_{\rm E}(t) = 2 \cdot z(t)$,
• das Detektionssignal  $d(t)$  nach „Integration” durch das Matched-Filter,
• das Sinkensignal  $v(t)$.

Ein Vergleich mit den entsprechenden  Signalen  bei der kohärenten Demodulation der ASK zeigt:

• Die Rechtecksignale  $q(t)$  und  $v(t)$  sind nun bipolar.
• Für das Detektionssignal bei BPSK gilt im Vergleich zur ASK:

$$d_{\rm BPSK}(t) = 2 \cdot d_{\rm ASK}(t)-s_0.$$

• Im betrachteten dämpfungs–, verzerrungs– und rauschfreien Fall sind alle Detektionsabtastwerte  $d(ν · T) = ±s_0$.  Deshalb sollte hier die Entscheiderschwelle  $E = 0$  verwendet werden.

• Man erkennt den doppelten Abstand der BPSK–Detektionsabtastwerte (Kreismarkierungen) von der Schwelle, was die  Fehlerwahrscheinlichkeit  entscheidend verbessert.

DPSK – Differential Phase Shift Keying

DPSK–Sender

Die nebenstehende Grafik zeigt das Blockschaltbild des Modulators für  Differential Phase Shift Keying  $\rm (DPSK)$.

• Das (bipolare) Quellensignal  $q(t)$  mit den Amplitudenkoeffizienten  $q_ν ∈ \{-1, +1\}$  wird entsprechend dieses Mappings in das Signal  $m(t)$  mit den Amplitudenkoeffizienten

$$m_{\nu} = m_{\nu -1} \cdot q_{\nu} \in \{ -1, +1\}$$

abgebildet, bevor es dem BPSK–Modulator zugeführt wird.

• Ist  $q_ν = m_{ν-1},$ so ergibt sich der gemappte Amplitudenkoeffizient  $m_ν = +1$.
• Dagegen weist  $m_ν = -1$  darauf hin, dass sich die Amplitudenkoeffizienten  $q_ν$  und  $m_{ν-1}$  unterscheiden.

Wesentlicher Vorteil der differentiellen binären Phasenmodulation ist, dass das so entstehende Signal  $s(t)$  auch ohne Kenntnis der Trägerphase  $ϕ_{\rm T}$  demoduliert werden kann, siehe nächster Abschnitt. 

Obwohl dem Empfänger die genaue Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  bekannt sein muss, spricht man trotzdem von einem inkohärenten, manchmal auch vom differentiell–kohärenten PSK–Demodulator.

Signale beim DPSK–Sender

$\text{Beispiel 3:}$  Die rechts dargestellte Grafik zeigt

• das Quellensignal  $q(t)$
• das Mapping–Signal  $m(t)$  sowie
• das DPSK–Sendesignal  $s(t)$.

Im Folgenden bezeichnet  $v_ν$  die Koeffizienten nach der Entscheidung, die mit den sendeseitigen Amplitudenkoeffizienten  $q_ν$  übereinstimmen sollten.  Man erkennt folgendes Prinzip:

• Immer dann, wenn der Empfänger einen Phasensprung erkennt, entscheidet er sich für sich  $v_ν = -1$.  Es gilt:

$$v_3 = v_5 =v_6 =-1.$$

• Ist kein Phasensprung erkennbar ist, so wird  $v_ν = +1$  gesetzt:

$$v_1 = v_2 =v_4 =+1.$$

Unterhalb des Sendesignals sind für die ersten sechs Symbole die Phasenwerte  $ϕ_{\rm S}$  angegeben.

• Durch eine zusätzliche Phasendrehung auf dem Kanal, zum Beispiel um  $70.3π$, ändern sich zwar die absoluten Phasenwerte auf  $69.8π$,  $69.8π$,  $70.8π$,  $70.8π$,  $69.8π$  und  $70.8π$.
• Die Phasendifferenz benachbarter Symbole bleibt jedoch erhalten, so dass die differentiell–kohärente Demodulation trotzdem funktioniert.  Ein entsprechender Demodulator wird im folgenden Abschnitt vorgestellt.

Differentiell-kohärente Demodulation des DPSK-Signals

Dargestellt ist das Blockschaltbild eines Übertragungssystems mit DPSK–Modulation  (Differential Phase Shift Keying)  und differentiell–kohärenter Demodulation.

DPSK–Modulation und differentiell–kohärente Demodulation

Stichpunktartig lässt sich die Funktionsweise wie folgt beschreiben:

• Ohne Berücksichtigung der Modulation mit den Trägersignalen  $z(t)$  bzw.  $2 · z(t)$  liegt im Intervall  $ν$  am Eingang  (1)  des gelb hervorgehobenen Multiplizierers das Symbol  $m_ν = m_{ν-1} · q_ν$  an und am Eingang  (2)  das Symbol  $m_{ν-1}$.
• Die Multiplikation von  (1)  und  (2)  ergibt das gewünschte Ergebnis, nämlich  $v_ν = m_{ν-1} · q_ν · m_{ν-1} = q_ν$.  Berücksichtigt ist hierbei, dass  $m_{ν-1} ∈ \{+1, –1\}$  gilt.
• Das Matched–Filter mit dem Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  eliminiert die unerwünschten Anteile um die doppelte Trägerfrequenz, die durch die zweifache Multiplikation mit  $z(t)$  bzw.  $2 · z(t)$  entstehen.  Bei rechteckförmigem Grundimpuls  $g_q(t)$  lässt sich der Frequenzgang  $H_{\rm E}(f)$  auch sehr einfach durch einen Integrator realisieren.
• Wir nehmen an, dass der Kanal eine Phasendrehung um  $ϕ$  bewirkt, die der Empfänger nicht kennt (roter Block).  Geht man beispielsweise vom sendeseitigen Träger  $z(t) = \cos (2π · f_{\rm T} · t)$  aus, so beinhaltet das Empfangssignal  $r(t)$  einen multiplikativen Anteil mit  $\cos (2π · f_{\rm T} · t + ϕ)$.  Die Zusetzung des empfangsseitigen Trägers  $2 · z(t)$  erfolgt also nicht phasensynchron.
• Das um eine Symboldauer  $T$  verzögerte Signal  $r(t – T)$  weist die gleiche Phase  $ϕ$  auf.  Durch die Korrelation zwischen  $2 · r(t) · z(t)$  und  $2 · r(t – T) · z(t – T)$  wird erreicht, dass das Entscheiderergebnis unabhängig von der zufälligen Phase  $ϕ$  ist.  Man bezeichnet diese Art der Demodulation als differentiell–kohärent.

Fehlerwahrscheinlichkeiten - ein kurzer Überblick

Die Fehlerwahrscheinlichkeiten der behandelten digitalen Modulationsverfahren  (ASK, BPSK, DPSK)  werden in Kapitel  Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation  des Buches „Digitalsignalübertragung” unter verschiedenen Randbedingungen berechnet. 

Hier werden nur einige Ergebnisse ohne Beweis vorweg genommen, gültig für

• ein Sendesignal mit der mittleren Energie  $E_{\rm B}$  pro Bit,
• AWGN–Rauschen mit der (einseitigen) Rauschleistungsdichte  $N_0$,  und
• bestmögliche Empfänger–Realisierung nach dem Matched-Filter-Prinzip.

Betrachten wir zunächst die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von  Binary Phase Shift Keying   $\rm (BPSK)$  unter der Voraussetzung eines kohärenten Empfängers:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{ {2 \cdot E_{\rm B} }/{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{ {E_{\rm B} }/{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right ).$$

Dagegen git für  Amplitude Shift Keying  $\rm (ASK)$  bei kohärenter Demodulation:

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{E_{\rm B} }/{N_0 } } \hspace{0.1cm}\right ) ={1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{ {E_{\rm B}}/{(2 \cdot N_0) } } \hspace{0.1cm}\right ).$$

In den Formeln wurden  zwei Varianten der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion  verwendet:

$${\rm Q} ({\it x}) = \frac{\rm 1}{\sqrt{\rm 2\pi} }\int_{\it x}^{+\infty}{\rm e}^{ {\it -u}^{\rm 2}/\rm 2}\,{\rm d} {\it u} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\rm erfc} ( {\it x} ) = \frac{\rm 2}{\sqrt{\rm \pi} }\int_{\it x}^{+\infty}{\rm e}^{ {\it -u}^{\rm 2} }\,{\rm d} {\it u} \hspace{0.05cm}.$$

Trägt man die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  über den Quotienten  $E_{\rm B}/N_0$  in doppelt–logarithmischem Maßstab auf, so liegt die ASK–Kurve stets um  $3 \ \rm dB$  rechts von der BPSK–Kurve.  Diese Degradation ist auch ein Grund dafür, dass ASK in der Praxis nur selten eingesetzt wird.

Der entscheidende Vorteil von  Differential Phase Shift Keying  (DPSK) ist es, dass diese auch ohne Kenntnis der Trägerphase demoduliert werden kann. Diese einfache Realisierung erkauft man sich durch eine gegenüber der kohärenten BPSK erhöhten Fehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm B} = {1}/{2}\cdot {\rm e}^{ - {E_{\rm B} }/{N_0 } } .$$

Die inkohärente Demodulation eines BPSK–Signals ist dagegen nicht möglich.  Für die  inkohärente ASK–Demodulation  erhält man:

$$p_{\rm B} = {1}/{2}\cdot {\rm e}^{-{E_{\rm B}}/{(2N_0) }} .$$

• Beispielsweise benötigt man bei der BPSK  $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 ≈ 8.4 \ \rm dB$, um die Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B} = \rm 10^{–4}$  zu erreichen.  Allerdings ist hierzu stets eine kohärente Demodulation erforderlich.
• Bei der  (differentiell–kohärenten)  DPSK sind hierfür  $9.3 \ \rm dB$  notwendig, also fast ein Dezibel mehr, und bei der ASK sogar  $11.4 \ \rm dB$  (bei kohärenter Demodulation) bzw.  $12.3 \ \rm dB$  (bei inkohärenter Demodulation).

Die hier angegebenen Gleichungen sollen in der  Aufgabe 4.8  ausgewertet werden.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.7: Spektren von ASK und BPSK

Aufgabe 4.7Z: Signalformen bei ASK, BPSK und DPSK

Aufgabe 4.8: Fehlerwahrscheinlichkeiten

Aufgabe 4.8Z: BPSK–Fehlerwahrscheinlichkeit

Aufgabe 4.9: Costas–Regelschleife