Applets:Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen (neues Applet): Unterschied zwischen den Versionen

Aus LNTwww
Wechseln zu:Navigation, Suche
Zeile 1: Zeile 1:
{{LntAppletLink|walsh}}       
+
{{LntAppletLinkDeEn|walsh|walsh_en}}
[https://en.lntwww.de/Applets:Generation_of_Walsh_functions '''English Version''']
+
 
  
  
Zeile 65: Zeile 65:
 
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
 
==Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster==
 
<br>
 
<br>
{{LntAppletLink|walsh}} &nbsp; &nbsp;  &nbsp; 
+
{{LntAppletLinkDeEn|walsh|walsh_en}}
[https://en.lntwww.de/Applets:Generation_of_Walsh_functions '''English Version''']
 

Version vom 25. Februar 2021, 13:23 Uhr

Applet in neuem Tab öffnen   Open English Version



Programmbeschreibung


Dieses Applet ermöglicht die Darstellung der Hadamard-Matrizen  $\mathbf{H}_J$  zur Konstruktion der Walsh-Funktionen  $w_j$.  Dabei können der Faktor  $J$  der Bandspreizung sowie die Markierung der einzelnen Walsh-Funktionen (durch blaue Umrandung der Zeilen der Matrix) verändert werden.

Theoretischer Hintergrund


Anwendung


Die  Walsh-Funktionen  sind eine Gruppe von periodischen orthogonalen Funktionen. Ihr Anwendungsbereich in der digitalen Signalverarbeitung liegt vor allem in der Verwendung zur Bandspreizung bei CDMA-Systemen, beispielsweise dem Mobilfunkstandard UMTS.

  • Aufgrund ihrer Orthogonalitätseigenschaften und der günstigen PKKF-Bedingungen (periodische KKF) stellen die Walsh-Funktionen für einen verzerrungsfreien Kanal und ein synchrones CDMA-System optimale Spreizfolgen dar. Nimmt man zwei beliebige Zeilen und bildet die Korrelation (Mittelung über die Produkte), so ergibt sich stets der PKKF–Wert Null.
  • Bei asynchronem Betrieb (Beispiel:   Uplink eines Mobilfunksystems) oder De–Orthogonalisierung aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind dagegen Walsh–Funktionen allein zur Bandspreizung nicht unbedingt geeignet – siehe  Aufgabe 5.4.
  • Hinsichtlich PAKF (periodische AKF) sind diese Folgen weniger gut:   Jede einzelne Walsh–Funktion hat eine andere PAKF und jede einzelne PAKF ist ungünstiger als bei einer vergleichbaren PN–Sequenz. Das bedeutet:   Die Synchronisierung ist bei Walsh–Funktionen schwieriger als mit PN–Sequenzen.


Konstruktion


Die Konstruktion der Walsh-Funktionen kann rekursiv mithilfe der Hadamard-Matrizen erfolgen. Eine Hadamard-Matrix $\mathbf{H}_J$ der Ordnung $J$ ist eine $J\times J$-Matrix, die zeilenweise die $\pm 1$-Gewichte der Walsh-Folgen enthält. Die Ordnungen der Hadamard-Matrizen sind dabei auf Zweierpotenzen festgelegt, d.h. es gilt $J = 2^G$ für eine natürliche Zahl $G$. Ausgehend von $\mathbf{H}_1 = [+1]$ und

$$ \mathbf{H}_2 = \left[ \begin{array}{rr} +1 & +1\\ +1 & -1 \\ \end{array}\right] $$

gilt der folgende Zusammenhang zur Generierung weiterer Hadamard-Matrizen:

$$ \mathbf{H}_{2N} = \left[ \begin{array}{rr} +\mathbf{H}_N & +\mathbf{H}_N\\ +\mathbf{H}_N & -\mathbf{H}_N \\ \end{array}\right] $$


$\text{Beispiel:}$  Die Grafik zeigt die Hadamard–Matrix  $\mathbf H_8$  (rechts) und die damit  $J -1$  konstruierbaren Spreizfolgen.

Walsh–Spreizfolgen  $(J = 8)$  und Hadamard–Matrix  $\mathbf H_8$ 
  • $J - 1$ deshalb, da die ungespreizte Folge  $w_0(t)$  meist nicht verwendet wird.
  • Beachten Sie bitte in der Grafik die farbliche Zuordnung zwischen den Zeilen der Hadamard–Matrix und den Spreizfolgen  $w_j(t)$.
  • Die Matrix  $\mathbf H_4$  ist gelb hinterlegt.


Zur Handhabung des Applets


Walsh Handhabung.png

    (A)     Auswahl von  $G$   ⇒   Faktor der Bandspreizung:  $J= 2^G$

    (B)     Auswahl der zu markierenden Walsh-Funktion  $w_j$

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik  der  Technischen Universität München  konzipiert und realisiert.


Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster


Applet in neuem Tab öffnen   Open English Version