Signaldarstellung/Faltungssatz und Faltungsoperation

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Faltung im Zeitbereich

Der „Faltungssatz” ist mit das wichtigste Gesetz der Fouriertransformation, dem in vorliegendem Tutorial ein eigenes Unterkapitel gewidmet wird.

Wir betrachten zunächst den Faltungssatz im Zeitbereich und setzen voraus, dass die Spektren zweier Zeitfunktionen  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  bekannt sind:

$$X_1 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}x_1( t ),\quad X_2 ( f )\hspace{0.1cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.1cm}x_2 ( t ).$$

Dann gilt für die Zeitfunktion des Produktes  $X_1(f) \cdot X_2(f)$:

$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Hierbei ist  $\tau$  eine formale Integrationsvariable mit der Dimension einer Zeit.

$\text{Definition:}$  Die obige Verknüpfung der Zeitfunktion  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  bezeichnet man als  $\text{Faltung}$  und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:

$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) } \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = x_{\rm{2} } (t) * x_{\rm{1} } (t) .$$

• Damit lässt sich obige Fourierkorrespondenz auch wie folgt schreiben:

$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.15cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.15cm}{ {x} }_{\rm{1} } ( t ) * { {x} }_{\rm{2} } (t ).$$

• Die Faltung ist  $\text{"kommutativ"}$   ⇒   Die Reihenfolge der Operanden ist vertauschbar:

$$x_1(t) * x_2(t) =x_2(t) * x_1(t).$$

• Der  Beweis  folgt am Kapitelende.

Zur Berechnung von Signal und Spektrum am LZI–Ausgang

$\text{Beispiel 1:}$  Ein jedes lineare zeitinvariante (LZI-) System kann sowohl durch den Frequenzgang  $H(f)$  als auch durch die Impulsantwort  $h(t)$  beschrieben werden, wobei der Zusammenhang zwischen diesen beiden Systemgrößen ebenfalls durch die Fouriertransformation gegeben ist.

Legt man an den Eingang ein Signal  $x(t)$  mit dem Spektrum  $X(f)$  an, so gilt für das Spektrum des Ausgangssignals:

$$Y(f) = X(f) \cdot H(f)\hspace{0.05cm}.$$

Mit dem Faltungssatz ist es möglich, das Ausgangssignal auch direkt im Zeitbereich zu berechnen:

$$y( t ) = x(t) * h( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm}{x( \tau )} \cdot h( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = \int_{ - \infty }^{ + \infty } \hspace{-0.15cm} {h( \tau )} \cdot x( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau = h(t) * x( t ).$$

Aus dieser Gleichung geht nochmals hervor, dass die Faltungsoperation  „kommutativ”  ist.

Faltung im Frequenzbereich

Die Dualität zwischen Zeit– und Frequenzbereich erlaubt auch Aussagen hinsichtlich des Spektrums des Produktsignals:

$$x_1 ( t ) \cdot x_2 ( t )\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X_1 (f) * X_2 (f) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {X_1 ( \nu )} \cdot X_2 ( {f - \nu })\hspace{0.1cm}{\rm d}\nu.$$

Dieses Resultat lässt sich ähnlich wie der  Faltungssatz im Zeitbereich  beweisen. Die Integrationsvariable  $\nu$  hat aber nun die Dimension einer Frequenz.

Faltung im Frequenzbereich am Beispiel der ZSB–AM

$\text{Beispiel 2:}$  Die  Zweiseitenband-Amplitudenmodulation  (ZSB-AM) ohne Träger wird durch das skizzierte Modell beschrieben.

• Bei der Zeitbereichsdarstellung (blau) ergibt sich das modulierte Signal  $s(t)$  als das Produkt aus dem Nachrichtensignal  $q(t)$  und dem (normierten) Trägersignal  $z(t)$.

• Nach dem Faltungssatz folgt daraus für den Frequenzbereich (rot), dass das Ausgangsspektrum  $S(f)$  gleich dem Faltungsprodukt aus  $Q(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \ q(t)$  und  $Z(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ \ z(t)$  ist.

Faltung einer Funktion mit einer Diracfunktion

Sehr einfach wird die Faltungsoperation, wenn einer der beiden Operanden eine  Diracfunktion  ist. Dies gilt für die Faltung im Zeit– und im Frequenzbereich gleichermaßen.

• Wir betrachten beispielhaft die Faltung einer Funktion  $x_1(t)$  mit der Funktion

$$x_2 ( t ) = \alpha \cdot \delta ( {t - T} ) \quad \circ\,\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet \quad X_2 ( f )= \alpha \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\hspace{0.03cm}{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}T}.$$

• Für die Spektralfunktion des Signals  $y(t) = x_1(t) \ast x_2(t)$  gilt dann:

$$Y( f ) = X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) = X_1 ( f ) \cdot \alpha \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}2\hspace{0.03cm}{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}T}.$$

• Die komplexe Exponentialfunktion führt zur Verschiebung um  $T$   ⇒   Verschiebungssatz, der Faktor  $\alpha$  zu einer Dämpfung  $(\alpha < 1)$  bzw. Verstärkung  $(\alpha > 1)$.

• Daraus folgt:

$$x_1 (t) * x_2 (t) = \alpha \cdot x_1 ( {t - T} ).$$

$\text{In Worten: }$  Die Faltung einer beliebigen Funktion mit einer Diracfunktion bei  $t = T$  ergibt die um  $T$  nach rechts verschobene Funktion, wobei noch die Gewichtung der Diracfunktion durch den Faktor  $\alpha$  zu berücksichtigen ist.

Faltung eines Rechtecks mit einer Diracfunktion

$\text{Beispiel 3:}$  Ein Rechtecksignal $x(t)$ wird durch ein LZI-System um die Laufzeit  $\tau = 3\,\text{ ms}$  verzögert und um den Faktor  $\alpha = 0.5$  gedämpft.

Verschiebung und Dämpfung erkennt man sowohl

• am Ausgangssignal  $y(t)$ 
• als auch an der Impulsantwort  $h(t)$.

Grafische Faltung

Bildschirmabzug des Programms „Faltung” in einer früheren Version:
    $x_1(t)$  ist hier mit  $x(t)$  bezeichnet und  $x_2(t)$  mit  $h(t)$

Für die Beschreibungen auf dieser Seite wird von folgender Faltungsoperation ausgegangen:

$$y(t) = x_1 (t) * x_2 (t) $$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Die Lösung des Faltungsintegrals soll auf grafischem Wege erfolgen  Es wird hier vorausgesetzt, dass  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  zeitkontinuierliche Signale sind.

Dann sind die folgenden Schritte erforderlich:

1.   Die  Zeitvariablen  der beiden Funktionen  ändern:  
       $x_1(t) \to x_1(\tau)$,   $x_2(t) \to x_2(\tau)$.
2.   Zweite  Funktion spiegeln:   $x_2(\tau) \to x_2(-\tau)$.
3.   Gespiegelte  Funktion um $t$  verschieben:   $x_2(-\tau) \to x_2(t-\tau)$.
4.   Multiplikation  der beiden Funktionen  $x_1(\tau)$  und  $x_2(t-\tau)$.
5.   Integration  über das Produkt bezüglich  $\tau$  in den Grenzen von  $-\infty$  bis  $+\infty$.

Da die Faltung kommutativ ist, kann statt  $x_2(\tau)$  auch  $x_1(\tau)$  gespiegelt werden.

Die Thematik wird auch durch das (neuere) HTML 5–Applet  Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung  veranschaulicht.

Beispiel einer Faltungsoperation:
Sprungfunktion gefaltet mit Exponentialfunktion

$\text{Beispiel 4:}$  Die Vorgehensweise bei der grafischen Faltung wird nun anhand eines ausführlichen Beispiels erklärt:

• Am Eingang eines Filters liege eine Sprungfunktion  $x(t) = \gamma(t)$  an.
• Die Impulsantwort des RC-Tiefpasses sei  $h( t ) = {1}/{T} \cdot {\rm{e} }^{ - t/T}.$
• Die Zeitachse ist bereits in $\tau$ umbenannt.

Die Grafik zeigt

• rot das Eingangssignal  $x(\tau)$,
• blau die Impulsantwort  $h(\tau)$, 
• grau das Ausgangssignal  $y(\tau)$.

Das Ausgangssignal kann zum Beispiel nach folgender Gleichung berechnet werden:

$$y(t) = h(t) * x(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {h( \tau )} \cdot x( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Noch einige Anmerkungen zur grafischen Faltung:

• Der Ausgangswert bei  $t = 0$  ergibt sich, indem man das Eingangssignal  $x(\tau)$  spiegelt, dieses gespiegelte Signal  $x(-\tau)$  mit der Impulsantwort  $h(\tau)$  multipliziert und darüber integriert.
• Da es hier kein Zeitintervall gibt, bei dem sowohl die blaue Kurve  $h(\tau)$  und gleichzeitig auch die rot gestrichelte Spiegelung  $x(-\tau)$  ungleich Null ist, folgt daraus  $y(t=0)=0$.
• Für jeden anderen Zeitpunkt  $t$ muss  das Eingangssignal verschoben werden   ⇒   $x(t-\tau)$, beispielsweise entsprechend der grün gestrichelten Kurve für  $t=T$.

Da im Beispiel auch  $x(t-\tau)$  nur  $0$  und  $1$  sein kann, wird die Integration  $($allgemein von  $\tau_1$  bis  $\tau_2)$  sehr einfach und man erhält hier mit  $\tau_1 = 0$  und  $\tau_2 = t$ :

$$y( t) = \int_0^{\hspace{0.05cm} t} {h( \tau)}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = \frac{1}{T}\cdot\int_0^{\hspace{0.05cm} t} {{\rm{e}}^{ - \tau /T } }\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau = 1 - {{\rm{e}}^{ - t /T } }.$$

Die Skizze gilt für  $t=T$  und führt zum Ausgangswert  $y(t=T) = 1 - 1/\text{e} \approx 0.632$.

Anschauliche Deutung der Faltung

Wir gehen von einer Impulsantwort  $h(t)$  aus, die zunächst eine Millisekunde lang konstant ist und dann bis zur Zeit  $t = 3 \,\text{ms}$  linear auf Null abfällt.

• Legt man an den Eingang dieses Tiefpassfilters einen Diracimpuls  $K_0 \cdot \delta(t)$  an, so ist das Ausgangssignal  $y(t)$  formgleich mit der Impulsantwort  $h(t)$.  Der Sachverhalt ist im Bild rot dargestellt.
• Ein um  $T= 1 \,\text{ms}$  späterer Diracimpuls mit Gewicht  $K_1 > K_0$  hat das blau gezeichnete Ausgangssignal  $y_1(t)$  zur Folge, das gegenüber dem roten Signal verzögert und in der Amplitude vergrößert ist.

Zur anschaulichen Deutung der Faltung

Wir betrachten nun das aus sieben verschieden gewichteten und verschobenen Diracimpulsen bestehende Eingangssignal

$$x( t ) = \sum\limits_{n = 0}^6 {K_n \cdot \delta ( {t - n \cdot T} ),}$$

das als zeitdiskrete Näherung eines zeitkontinuierlichen Signals aufgefasst werden kann.

Das Signal am Ausgang des linearen Systems ist die Summe der sieben im Bild verschiedenfarbig markierten Teilsignale:

$$y( t ) = \sum\limits_{n = 0}^6 {K_n \cdot h( {t - n \cdot T} ).}$$

Wir betrachten nun den Signalwert zur Zeit  $t = 4.5T$  (siehe Strichpunktierung):

$$y( {t = 4.5T} ) = K_2 \cdot h( {2.5T} ) + K_3 \cdot h(1.5 T ) + K_4 \cdot h( 0.5 T ).$$

Dieser Signalwert wird somit nur durch die Eingangssignalwerte  $K_2$,  $K_3$  und  $K_4$  bestimmt.  Der Einfluss

• von  $K_4$  ist wegen  $h(0.5T) = 1$  am stärksten,
• von  $K_3$  ist wegen  $h(1.5T) = 0.75$  weniger stark,
• von  $K_2$  ist wegen  $h(2.5T) = 0.25$  am geringsten.

Beweis des Faltungssatzes

$\text{Definition: }$  Man nennt die folgende Verknüpfung der Zeitfunktionen  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  die  $\text{Faltung}$  und stellt diesen Funktionalzusammenhang mit einem Stern dar:

$$x_{\rm{1} } (t) * x_{\rm{2} } (t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) } \cdot x_2 ( {t - \tau } ) \hspace{0.1cm}{\rm d}\tau.$$

Daraus ergibt sich die folgende Fourierkorrespondenz:

$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f )\hspace{0.1cm}\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\hspace{0.1cm}{ {x} }_{\rm{1} } ( t ) * { {x} }_{\rm{2} } (t ).$$

$\text{Beweis: }$  Die Fourierintegrale der Funktionen  $x_1(t)$  und  $x_2(t)$  lauten mit veränderten Integrationsvariablen:

$$X_1 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f\tau }\hspace{0.1cm} {\rm{d } }\tau{\rm{,} }$$

$$X_2 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_2 ( {t{0.05cm}'} ) } \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft\hspace{0.05cm}'}\hspace{0.1cm} {\rm{d} }t\hspace{0.05cm}'{\rm{.} }$$

• Bildet man das Produkt der Spektralfunktionen, so erhält man:

$$X_1 (f) \cdot X_2 (f) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau ) \hspace{0.05 cm}\cdot } }\hspace{0.05 cm} x_2 ( {t\hspace{0.05cm}'} ) \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }f\left( {\tau + t\hspace{0.05cm}'} \right) }\hspace{0.1cm} {\rm d} \tau \hspace{0.1cm}{\rm d}t\hspace{0.05cm}'{\rm{.} }$$

• Mit der Substitution  $t = \tau + t\hspace{0.05cm}'$  ergibt sich:

$$X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\left[ {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau} )\hspace{0.1cm}{\rm{d } } }\tau \right] } \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft}\hspace{0.1cm} {\rm{d} }t{\rm{.} }$$

Es ist berücksichtigt, dass die Exponentialfunktion unabhängig von der inneren Integrationsvariablen  $τ$  ist und diese nur als Faktor des inneren Integrals fungiert.

• Bezeichnen wir nun das Produkt der beiden Spektren mit  $P(f)$  und die dazugehörige Zeitfunktion mit  $p(t)$, so lautet das entsprechende Fourierintegral:

$$P(f) = X_1 ( f ) \cdot X_2 ( f ) =\int_{ - \infty }^{ + \infty } {p( t )} \cdot {\rm{e} }^{ - {\rm{j} }2{\rm{\pi } }ft} \hspace{0.1cm}{\rm{d} }t{\rm{.} }$$

• Ein Koeffizientenvergleich der beiden Integrale zeigt, dass folgender Zusammenhang gelten muss:

$$p( t ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x_1 ( \tau )} \cdot x_2 ( {t - \tau } )\hspace{0.1cm}{\rm{d } }\tau{\rm{.} }$$

q.e.d.

Aufgaben zum Kapitel

A3.7 Synchrondemodulator

Z3.7 Rechtecksignal mit Echo

A3.8 Dreimal Faltung?

Z3.8 Faltung zweier Rechtecke

A3.9 Faltung von Rechteck und Gauß

Z3.9 Gauß gefaltet mit Gauß