Signaldarstellung/Grundsätzliches zu Tiefpass- und Bandpass-Signalen

1. Signaldarstellung
2. Bandpassartige Signale
3. Grundsätzliches zu Tiefpass- und Bandpass-Signalen

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# ÜBERBLICK ZUM VIERTEN HAUPTKAPITEL #

Im dritten Hauptkapitel:   Aperiodische Signale – Impulse  wurden meist stillschweigend tiefpassartige Signale vorausgesetzt, das heißt solche Signale, deren Spektralfunktionen im Bereich um die Frequenz  $f = 0$  liegen.  Insbesondere bei optischer Übertragung und bei Funkübertragungssystemen – aber nicht nur bei diesen – liegen die Sendesignale jedoch im Bereich um eine Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.  Solche Signale bezeichnet man als  $\text{Bandpass-Signale}$.

Alle im letzten Kapitel dargelegten Gesetze der Fouriertransformation und –rücktransformation gelten für bandpassartige Signale in gleicher Weise.  Daneben gibt es aber auch einige Besonderheiten der Bandpass-Signale, deren Beachtung zu einer einfacheren Beschreibung führen können.

Dieses Kapitel beinhaltet im Einzelnen:

• die Aufzählung von  Unterschieden  und  Gemeinsamkeiten  von Tiefpass– und Bandpass–Signalen,
• die  Synthese  von Bandpass–Signalen aus dem äquivalenten Tiefpass–Signal,
• das  analytische Signal  und die zugehörige Spektralfunktion,
• das  äquivalente Tiefpass–Signal  im Zeit– und Frequenzbereich, und schließlich
• die Darstellung von  analytischem Signal/äquivalentem Tiefpass–Signal  in der komplexen Ebene.

Weitere Informationen zum Thema sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im Versuch „Analoge Modulationsverfahren”  des Praktikums „Simulation Digitaller Übertragungssysteme”.  Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf

• dem Windows-Programm  AMV   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
• der zugehörigen  Praktikumsanleitung   ⇒  Link verweist auf die PDF-Version (Insgesamt 86 Seiten).

Bedeutung der Bandpass-Signale für die Nachrichentechnik

In den bisherigen Kapiteln dieses Buches wurden bisher fast nur Signale betrachtet, deren Spektren in einem engen Bereich um die Frequenz  $f = 0$  liegen.  Beispiele hierfür sind analoge Sprach–, Musik– und Bildsignale, die man alle – trotz ihrer unterschiedlichen Bandbreiten – als  $\text{Tiefpass-Signale}$  bezeichnen kann.

Will man ein solches Tiefpass-Signal zu einer räumlich entfernten Sinke übertragen, so muss das Signal unter Umständen in eine andere Frequenzlage umgesetzt werden.  Dafür kann es mehrere Gründe geben:

• Häufig ist der Übertragungskanal für die direkte Übertragung des Quellensignals im originalen Frequenzband ungeeignet, da dieses für ihn ungünstige Frequenzen beinhaltet.  Erst durch eine Frequenzverschiebung mittels eines so genannten "Modulators"  wird eine Übertragung ermöglicht.
• Man kann einen einzigen Übertragungskanal auch zur gleichzeitigen Übertragung mehrerer Signale nutzen, wenn diese sendeseitig mit verschiedenen Trägerfrequenzen moduliert werden.  Man nennt dieses Verfahren  Frequenzmultiplex  (englisch:  "Frequency Division Multiple Access",  $\text{FDMA)}$.
• Die Übertragungsqualität kann gegenüber dem einfachsten analogen Verfahren  Amplitudenmodulation  $\text{(AM)}$  auf Kosten einer größeren Bandbreite verbessert und somit ein größeres "Signal-zu-Rauschverhältnis"  erzielt werden.  Beispiele sind die analoge  Frequenzmodulation  $\text{(FM)}$  und die digitale  Pulscodemodulation  $\text{(PCM)}$.

$\text{Festzuhalten ist:}$  Die Sendesignale vieler Übertragungsverfahren sind  $\text{Bandpass-Signale}$.

Hinweis:   Dem Autor ist durchaus bewusst, dass es nach der letzten Rechtschreibreform „Tiefpasssignal” und „Bandpasssignal” heißen müsste.  Um diese unschönen Konstrukte zu vermeiden, verwenden wir im Folgenden meist die Schreibweisen „Tiefpass–Signal” und „Bandpass–Signal”, manchmal auch „TP–Signal” und „BP–Signal”.

$\text{Beispiel 1: Zur Klassifizierung von Signalen hinsichtlich „Tiefpass” und „Bandpass”}$

(a)     "Sprache"  und  "Musik"  sind Tiefpass–Signale mit einer Bandbreite von  $\text{20 kHz}$  (bei sehr guter Qualität).  Da eine Funkübertragung aber erst ab ca.  $\text{100 kHz}$  möglich ist, erfolgt bei Analogsystemen vor der Übertragung eine Umsetzung auf Trägerfrequenzen zwischen

• $\text{0.525 ... 1.61 MHz}$  $($Mittelwellenrundfunk, Amplitudenmodulation, Kanalabstand  $\text{9 kHz})$,
• $\text{87.5 ... 108 MHz}$  $($Rundfunk auf UKW, Frequenzmodulation, Kanalabstand  $\text{300 kHz})$.

(b)     "TV-Bildsignale"  weisen eine größere Bandbreite auf, zum Beispiel  $\text{5 MHz}$.  Auch hier erfolgt vor der Ton– und Bildübertragung eine Frequenzbandverschiebung durch Trägerfrequenzen zwischen

• $\text{41 ... 68 / 174 ... 230 MHz}$  (Fernsehen, VHF-Band, Kanalabstand  $\text{7 MHz})$,
• $\text{470 ... 850 MHz}$  $($Fernsehen, UHF-Band, Kanalabstand  $\text{8 MHz})$.

(c)    Beim  "GSM-Mobilfunk"  liegen die Trägerfrequenzen im D-Band bei  $\text{900 MHz}$  und im E-Band bei  $\text{1800 MHz}$.

(d)     Bei  "optischer Übertragung"  werden die elektrischen Signale in Licht gewandelt, also auf Frequenzen zwischen ca.  $\text{200 THz}$  und  $\text{350 THz}$  $($entsprechend  $\text{1.55 µm ... 0.85 µm}$  Wellenlänge).

Eigenschaften von Bandpass-Signalen

Auf dieser Seite werden – ohne Anspruch auf Vollständigkeit – einige Eigenschaften von Bandpass–Signalen zusammengestellt und den Tiefpass–Signalen vergleichend gegenübergestellt.  Dabei gehen wir von den Spektralfunktionen  $X_{\rm TP}(f)$  und  $X_{\rm BP}(f)$  gemäß der folgenden Skizze aus.

Tiefpass- und Bandpass-Spektrum

Zu der Grafik ist anzumerken:

• Die Dreiecksform der dargestellten Spektren ist schematisch zu verstehen und soll nur das belegte Frequenzband kennzeichnen.  Daraus sollte also nicht geschlossen werden, dass alle Frequenzen innerhalb des Bandes tatsächlich belegt sind und dass alle Spektralfunktionen linear mit der Frequenz  $f$  zunehmen.
• Die zugehörigen Zeitfunktionen  $x_{\rm TP}(t)$  und  $x_{\rm BP}(t)$  seien vorerst reell.  Das bedeutet, dass nach dem  Zuordnungssatz  die Spektralfunktionen  $X_{\rm TP}(f)$  und  $X_{\rm BP}(f)$  – bezogen auf die Frequenz  $f = 0$  – jeweils einen geraden Realteil und einen ungeraden Imaginärteil besitzen.
• Als Bandbreite  $B_{\rm TP}$  bzw.  $B_{\rm BP}$  bezeichnen wir für Tiefpass und Bandpass gleichermaßen das belegte Frequenzband bei den positiven Frequenzen  (in der Grafik:   durchgezogene Kurvenverläufe).

Beispiel von Tiefpass- und Bandpass-Spektrum

$\text{Beispiel 2:}$  Es folgt ein Beispiel mit diskreten Spektrallinien.

Die linke Grafik zeigt das Spektrum  $Q(f)$  des Nachrichtensignals

$$q(t) = 3\hspace{0.05cm}{\rm V} + 4\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \cos (2 \pi \cdot 3\hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t) + 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot \sin (2 \pi \cdot 4\hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t). $$

Die diskreten Spektrallinien des Realteils   ⇒   ${\rm Re}\big[Q(f)\big]$  sind blau dargestellt und diejenigen des Imaginärteils   ⇒   ${\rm Im}\big[Q(f)\big]$  rot.
Rechts dargestellt ist das Spektrum  $S(f)$  nach Einseitenband–Amplitudenmodulation  $\text{(ESB–AM)}$  mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 100 \,\text{kHz}$.  Eine Beschreibung dieses Übertragungssystems finden Sie im Kapitel  Hüllkurvendemodulation  des Buches „Modulationsverfahren”.

• Nach dieser Beschreibung ist  $q(t)$  eindeutig ein Tiefpass–Signal und  $s(t)$  ein Bandpass–Signal.  Die Bandbreiten sind jeweils  $B_{\rm TP} = B_{\rm BP} = 4 \,\text{kHz}$.
• Die Signale  $q(t)$  und  $s(t)$  sind zudem reell, da sowohl  $Q(f)$  als auch  $S(f)$  einen geraden Real- und einen ungeraden Imaginärteil aufweisen.
• Würde beim Quellensignal der Gleichanteil  $(3 \,\text{V})$  fehlen, so würde man sinnvollerweise  $q(t)$  noch immer als tiefpassartig bezeichnen.
• Ohne Kenntnis der Aufgabenstellung könnte man  $q(t)$  dann aber auch als Bandpass–Signal mit der Bandbreite  $B_{\rm BP} = 1 \,\text{kHz}$  auffassen.

Dieses Beispiel zeigt, dass es kein eindeutiges mathematisches Unterscheidungsmerkmal zwischen Tiefpass– und Bandpass–Signalen gibt.

Beschreibung eines BP-Signals mittels TP-Signalen

Wir betrachten zwei Tiefpass–Spektren  $X_1(f)$  und  $X_2(f)$  mit den Bandbreiten  $B_1$  und  $B_2$  entsprechend der linken Grafik.

Aus dieser Darstellung ist zu erkennen:

• Sind  $X_1(f)$  und  $X_2(f)$  bis zu einer Frequenz  $f_{12}$  identisch, so beschreibt die Differenz ein Bandpass-Spektrum mit Bandbreite  $B_{\rm BP} = B_1 - f_{12}$. Entsprechend der rechten Grafik gilt dann:

$$X_{\rm BP}(f) = X_1(f) -X_2(f).$$

• Aufgrund der Linearität der Fouriertransformation gilt für die zum Bandpass-Spektrum  $X_{\rm BP}(f)$  zugehörige Zeitfunktion:

$$x_{\rm BP}(t) = x_1(t) - x_2(t).$$

• Aus der Fouriertransformation folgt allgemein, dass das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei  $f = 0$  ist. Bei jedem Bandpass–Signal ist demzufolge dieses Integral stets Null:

$$\int_{- \infty}^{+\infty}x_{\rm BP}(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t = X_{\rm BP}(f \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm} 0) =0.$$

$\text{Beispiel 3:}$  Die roten Kurven in den beiden Grafiken zeigen das Bandpass-Spektrum  $X_{\rm BP}(f)$  und die zugehörige Zeitfunktion

$$x_{\rm BP}(t) = 10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot 10 \hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t) \cdot {\rm si} ( \pi \cdot 2 \hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t) - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot 2 \hspace{0.05cm}{\rm kHz} \cdot t).$$

Tiefpass– und Bandpass–Spektrum und zugehörige Signale

Ebenfalls dargestellt sind die zwei Tiefpass–Spektren und –Signale. Man erkennt aus diesen Bildern:

• Die blau-gepunktete Kurve in der linken Grafik stellt das trapezförmige Spektrum  $X_1(f)$  dar, wobei die äquivalente Bandbreite  $\Delta f_1= 10 \,\text{kHz}$  beträgt und der Rolloff-Faktor  $r_1 = 0.2$  ist.
• Die blau-gepunktete Kurve in der rechten Grafik zeigt das dazugehörige Tiefpass–Signal  $x_1(t)$. Der Signalwert bei  $t = 0$  entspricht der blauen Trapezfläche des Spektrums  $X_1(f)$:

$$x_1(t = 0) = 10 \,\text{V}.$$

• Die grüne Kurve gilt für das Rechteckspektrum  $X_2(f)$  mit der äquivalenten Bandbreite  $\Delta f_2= 2 \,\text{kHz}$. Das dazugehörige Zeitsignal  $x_2(t)$  verläuft  $\sin(x)/x$–förmig und es gilt:

$$x_2(t = 0) = 2 \,\text{V}.$$

Die rote Kurve für das bandpassartige Signal ergibt sich links wie rechts als Differenz zwischen blauer und grüner Kurve. Entsprechend ist

$$x_{\rm BP}(t = 0) = x_1(t = 0) - x_2(t = 0) = 8 \,\text{V},$$

$$\int_{- \infty}^{+\infty}x_{\rm BP}(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t = X_{\rm BP}(f \hspace{-0.1cm}= \hspace{-0.1cm} 0) =0.$$

Synthese von BP-Signalen aus dem äquivalenten TP-Signal

Wir betrachten ein Tiefpass-Signal  $x_{\rm TP}(t)$  mit Spektrum  $X_{\rm TP}(f)$  entsprechend der linken Skizze.

Multipliziert man dieses Signal mit einer (dimensionslosen) harmonischen Schwingung

$$z(t) = {\cos} ( 2\pi \cdot f_{\rm T} \cdot t)\hspace{0.15cm}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,\hspace{0.15cm} Z(f) = {1}/{2}\cdot \delta (f - f_{\rm T})+ {1}/{2}\cdot \delta (f + f_{\rm T}),$$

so ergibt sich nach dem Faltungssatz für das Spektrum des Signals  $x_{\rm BP}(t) = x_{\rm TP}(t) \cdot z(t)$:

$$X_{\rm BP}(f) = X_{\rm TP}(f)\star Z(f) = {1}/{2}\cdot X_{\rm TP} (f - f_{\rm T})+ {1}/{2}\cdot X_{\rm TP}(f + f_{\rm T}).$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass die  Faltung  der Spektralfunktion  $X_{\rm TP}(f)$  mit der verschobenen Diracfunktion  $\delta (f - f_\rm {T})$  die um  $f_\rm {T}$  nach rechts verschobene Funktion  $X_{\rm TP}(f-f_\rm {T})$  ergibt.

Ein BP–Spektrum ergibt sich durch beidseitiges Verschieben eines TP–Spektrums

Aus der rechten Spektralbereichsdarstellung erkennt man eindeutig, dass

$$x_{\rm BP}(t) = x_{\rm TP}(t) \cdot {\cos} ( 2\pi \cdot f_{\rm T} \cdot t)$$

ein Bandpass-Signal ist. Die Einhüllende von  $x_{\rm BP}(t)$  ist durch den Betrag  $|x_{\rm TP}(t)|$  gegeben. Anwendung findet dieses Prinzip zum Beispiel bei der  Amplitudenmodulation ohne Träger, die im Buch „Modulationsverfahren” eingehend behandelt wird.

Aus obiger Grafik erkennt man:

• Das Spektrum  $X_{\rm BP}(f)$  hat im Bereich um die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  die gleiche Form wie  $X_{\rm TP}(f)$  im Bereich um  $f = 0$, ist aber gegenüber dem Tiefpass-Spektrum um den Faktor  $2$  gedämpft.
• Da  $X_{\rm TP}(f)$  bezogen auf  $f = 0$  einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzt, weist das Bandpass-Spektrum  $X_{\rm BP}(f)$  gleiche Symmetrieeigenschaften auf – allerdings nun bezogen auf die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$.
• Auch  $X_{\rm BP}(f)$  besitzt Anteile bei negativen Frequenzen. Da das zugehörige Signal  $x_{\rm BP}(t)$  gemäß obiger Gleichung ebenfalls reell ist, muss auch  $X_{\rm BP}(f)$  bezüglich der Frequenz  $f = 0$  einen geraden Real– und einen ungeraden Imaginärteil besitzen.
• Die Bandbreite des Bandpass-Signals ist doppelt so groß wie die des Tiefpass-Signals:   $B_{\rm BP} = 2 \cdot B_{\rm TP}$. Voraussetzung für die Gültigkeit dieser Aussage ist, dass die Trägerfrequenz  $f_{\rm T}$  mindestens um den Faktor  $2$  größer ist als die maximale Frequenz  $(B_{\rm TP})$  des Signals  $x_{\rm TP}(t)$.

$\text{Beispiel 4:}$  Ein Tiefpass-Signal besitze diskrete Spektralanteile bei  $f_1 = 1\,\text{ kHz}, \, f_2 = 2\,\text{ kHz}, \,f_3 = 3\,\text{ kHz}$  und  $f_4 = 4\,\text{ kHz}$:

$$x_{\rm TP}(t) = 0.26\cdot {\cos} ( \omega_1 \hspace{0.05cm} t + 20^{ \circ}) \hspace{0.18cm}+ 0.54\cdot {\cos} ( \omega_2 \hspace{0.05cm} t - 180^{ \circ}) + 0.30\cdot {\cos} ( \omega_3 \hspace{0.05cm} t + 120^{ \circ}) +0.14\cdot {\cos} ( \omega_4 \hspace{0.05cm} t -40^{ \circ}).$$

Das dazugehörige Spektrum  $X_{\rm TP}(f)$  ist wegen der von Null verschiedenen Phasenlagen komplex.

ZSB-AM-Signal mit unterschiedlichen Trägerfrequenzen

• Multipliziert man  $x_{\rm TP}(t)$  mit einem Cosinussignal der Amplitude  $1$  und der Frequenz  $f_{\rm T} = 20 \,\text{kHz}$, so ergibt sich das Bandpass-Signal gemäß der oberen Grafik.
• Die untere Skizze gilt für das Bandpass-Signal mit der Trägerfrequenz  $f_{\rm T} = 100 \,\text{kHz}$.
• In beiden Darstellungen sind die Funktionsverläufe  $\pm \vert x_{\rm TP}(t) \vert $  als Einhüllende der Bandpass-Signale zu erkennen.

Hinweis: Die Thematik dieses Kapitels wird im Lernvideo  Eigenschaften von Tiefpass– und Bandpass–Signalen  behandelt.

Weitere Informationen zum Thema, zahlreiche Aufgaben und Simulationen finden Sie im Versuch „Analoge Modulationsverfahren” des Praktikums „Simulation digitaler Übertragungssysteme”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf

• dem Windows-Programm  AMV   ⇒   Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
• der zugehörigen  Praktikumsanleitung   ⇒   Link verweist auf die PDF-Version; insgesamt 86 Seiten.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 4.1: Tiefpass- und Bandpass-Signale

Aufgabe 4.1Z: Hochpass-System

Aufgabe 4.2: Rechteckförmige Spektren

Aufgabe 4.2Z: Multiplikation mit Sinussignal