Aufgaben:Aufgabe 4.7: Spektren von ASK und BPSK: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 4. Januar 2017, 19:55 Uhr

Die Sendesignale von ASK (Amplitude Shift Keying) und BPSK (Binary Phase Shift Keying) können beide in der Form $s(t) = q(t) · z(t)$ dargestellt werden, wobei z(t) eine harmonische Schwingung mit der Frequenz $f_T$ und der Amplitude 1 darstellt. Die Trägerphase $ϕ_T$ ist für die hier betrachteten Leistungsdichtespektren nicht von Bedeutung.

Bei ASK sind unipolare Amplitudenkoeffizienten – das heißt: $a_ν ∈ {0, 1}$ – des Quellensignals $$ q(t) = \sum_{\nu = - \infty}^{+\infty}a_\nu \cdot g_q (t - \nu \cdot T)$$ anzusetzen, während im Fall der BPSK $a_ν$ ∈ {–1, +1} zu berücksichtigen ist. Die Quelle ist jeweils redundanzfrei, was bedeutet, dass die beiden möglichen Symbole ±1 gleichwahrscheinlich sind und die Symbole statistisch voneinander unabhängig.

In der Grafik sind die Leistungsdichtespektren $Φ_q(f)$ und $Φ_s(f)$ von Quellensignal und Sendesignal angegeben, die sich bei einem NRZ–Rechteckimpuls $g_q(t)$ mit der Amplitude $s_0 = 2 V$ und der Dauer $T = 1 μs$ ergeben. Damit lautet die Spektralfunktion: $$G_q(f) = s_0 \cdot T \cdot {\rm si}(\pi f T)\hspace{0.05cm}.$$ Zu bestimmen sind in dieser Aufgabe die Konstanten A, B, C und D für ASK und BPSK.

Hinweis: Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel 4.2 dieses Buches sowie auf das Kapitel 2.1 im Buch „Digitalsignalübertragung”.

Fragebogen

$ASK: A$ =

$10^{-6}$ $V^2$

$B$ =

$V^2$

$ASK: C$ =

$10^{-6}$ $V^2/Hz$

$D$ =

$V^2$

$BPSK: A$ =

$10^{-6}$ $V^2/Hz$

$B$ =

$V^2$

$BPSK: C$ =

$10^{-6}$ $V^2/Hz$

$D$ =

$V^2$

+ Der kontinuierliche Anteil von $Φ_q(f)$ ist formgleich mit $|Gq(f)|^2$.

- $Φ_q(f)$ beinhaltet bei ASK genau eine Diraclinie bei $f = 0$.

- $Φ_q(f)$ beinhaltet bei BPSK genau eine Diraclinie bei $f = 0$.

Musterlösung

1. Der Gleichanteil des unipolaren redundanzfreien Quellensignals beträgt $m_q = s_0/2$. Das Diracgewicht ist somit $B = m_q^2 = s_0^2/4 = 1 V^2$. Ohne diesen Gleichanteil ergibt sich das stochastische Rechtecksignal $q(t) – m_q$ ∈ {$+s_0/2$, $–s_0/2$}. Dieses gleichsignalfreie Signal besitzt den kontinuierlichen LDS–Anteil $(s_0/2)^2 · T · si^2(πfT)$, woraus der gesuchte Wert bei der Frequenz f = 0 ermittelt werden kann: '''2.''' Das Spektrum $Z(f)$ eines Cosinussignals $z(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $± f_T$, jeweils mit dem Gewicht 1/2. Das Leistungsdichtespektrum $Φ_z(f)$ besteht ebenfalls aus den beiden Diracfunktionen, nun aber mit jeweiligem Gewicht 1/4. Die Faltung $Φ_q(f) ∗ Φ_z(f)$ ergibt das Leistungsdichtespektrum $Φ_s(f)$ des Sendesignals. Daraus folgt: '''Anmerkung:''' Die Leistung pro Bit ergibt sich als das Integral über $Φ_s(f)$: '''3.''' Bei BPSK ist das Quellensignal $q(t)$ bipolar anzusetzen. Im Leistungsdichtespektrum fehlt deshalb die Diraclinie ⇒ B = 0 und der kontinuierliche LDS–Anteil ist viermal so groß als bei der ASK: '''4.''' Für die LDS–Parameter des BPSK–Sendesignals gilt analog zur ASK: '''5.''' Richtig ist nur die erste Aussage. Bei BPSK (bipolares Quellensignal) beinhaltet $Φ_q(f)$ auch dann keine einzige Diraclinie, wenn $g_q(t)$ von der Rechteckform abweicht. Dagegen beinhaltet das unipolare ASK–Quellensignal unendlich viele Diraclinien bei allen Vielfachen von 1/T. Weitere Informationen hierzu finden Sie bei AKF und LDS bei unipolaren Binärsignalen im Buch „Digitalsignalübertragung”.

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 '''1.''' Der Gleichanteil des unipolaren redundanzfreien Quellensignals beträgt $m_q = s_0/2$. Das Diracgewicht ist somit $B = m_q^2 = s_0^2/4 = 1 V^2$. Ohne diesen Gleichanteil ergibt sich das stochastische Rechtecksignal $q(t) – m_q$ ∈ {$+s_0/2$, $–s_0/2$}. Dieses gleichsignalfreie Signal besitzt den kontinuierlichen LDS–Anteil $(s_0/2)^2 · T · si^2(πfT)$, woraus der gesuchte Wert bei der Frequenz f = 0 ermittelt werden kann:
-$$A = \frac {s_0^2 \cdot T }{4} = \frac {(2\,{\rm V})^2 \cdot 10^{-6} \,{\rm s}}{4}\hspace{0.15cm}\underline {= 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$
 '''2.''' Das Spektrum $Z(f)$ eines Cosinussignals $z(t)$ besteht aus zwei Diracfunktionen bei $± f_T$, jeweils mit dem Gewicht 1/2. Das Leistungsdichtespektrum $Φ_z(f)$ besteht ebenfalls aus den beiden Diracfunktionen, nun aber mit jeweiligem Gewicht 1/4. Die Faltung $Φ_q(f) ∗ Φ_z(f)$ ergibt das Leistungsdichtespektrum $Φ_s(f)$ des Sendesignals. Daraus folgt:
-$$C = \frac {A}{4} \hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = \frac {B}{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 0.25 \,{\rm V^{2}}}.$$
 '''Anmerkung:''' Die Leistung pro Bit ergibt sich als das Integral über $Φ_s(f)$:
-$$ P_{\rm S}  =  \int\limits_{ - \infty }^\infty {{\it \Phi}_s(f)}\hspace{0.1cm} {\rm d}f = 2 \cdot \int\limits_{ 0 }^\infty {\left [ C \cdot {\rm si}^2(\pi f T) + D \cdot \delta (f - f_{\rm T}]\right ]}\hspace{0.1cm} {\rm d}f=$$
-$$ =  2 \cdot \left [ \frac{C}{T} + D \right ] = 2 \cdot \left [ \frac{0.25 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}{10^{-6} \,{\rm s}} + 0.25 \,{\rm V^{2}} \right ] \hspace{0.15cm}\underline {= 1 \,{\rm V^{2}}}.$$
 '''3.'''  Bei BPSK ist das Quellensignal $q(t)$ bipolar anzusetzen. Im Leistungsdichtespektrum fehlt deshalb die Diraclinie   ⇒   B = 0   und der kontinuierliche LDS–Anteil ist viermal so groß als bei der ASK:
-$$A = {s_0^2 \cdot T }\hspace{0.15cm}\underline { = 4 \cdot 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}}.$$
 '''4.''' Für die LDS–Parameter des BPSK–Sendesignals gilt analog zur ASK:
-$$C = \frac {A}{4}\hspace{0.15cm}\underline { = 10^{-6} \,{\rm V^{2}/Hz}},\hspace{0.2cm}D = \frac {B}{4} \hspace{0.15cm}\underline {= 0}.$$
 '''5.'''  Richtig ist nur die erste Aussage. Bei BPSK (bipolares Quellensignal) beinhaltet $Φ_q(f)$ auch dann keine einzige Diraclinie, wenn $g_q(t)$ von der Rechteckform abweicht. Dagegen beinhaltet das unipolare ASK–Quellensignal unendlich viele Diraclinien bei allen Vielfachen von 1/T. Weitere Informationen hierzu finden Sie bei AKF und LDS bei unipolaren Binärsignalen im Buch „Digitalsignalübertragung”.