Signaldarstellung/Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals

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Zeitsignaldarstellung

$\text{Definition:}$  Ein Gleichsignal ist ein deterministisches Signal, dessen Augenblickswerte für alle Zeiten $t$ von $-\infty$ bis $+\infty$ konstant sind. Ein solches Signal ist der Grenzfall einer harmonischen Schwingung, wobei die Periodendauer $T_{0}$ einen unendlich großen Wert besitzt.

Gleichsignal im Zeitbereich

Entsprechend dieser Definition reicht ein Gleichsignal immer von $t = -\infty$ bis $t = +\infty$. Wird das Signal erst zum Zeitpunkt $t = 0$ eingeschaltet, so liegt kein Gleichsignal vor.

• Ein Gleichsignal kann niemals Träger von Information im nachrichtentechnischen Sinne sein, doch können Nachrichtensignale durchaus einen Gleichsignalanteil  besitzen.
• Alle im Folgenden für das Gleichsignal getroffenen Aussagen gelten in gleicher Weise auch für einen solchen Gleichsignalanteil.

$\text{Definition:}$  Für den Gleichsignalanteil $A_{0}$ eines beliebigen Signals $x(t)$ gilt:

$$A_0 = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M} }\cdot\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\,{\rm d} t. $$

• Die Messdauer $T_{\rm M}$ sollte stets möglichst groß gewählt werden (im Grenzfall unendlich).
• Die angegebene Gleichung gilt allerdings nur dann, wenn $T_{\rm M}$ symmetrisch um den Zeitpunkt $t=0$ liegt.

Zufallssignal mit Gleichanteil

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt ein stochastisches Signal $x(t)$.

• Der Gleichsignalanteil $A_{0}$ ist hierbei $2\ \rm V$.
• Im Sinne der Statistik entspricht $A_{0}$ dem linearen Mittelwert.

Spektraldarstellung

Wir betrachten nun den Sachverhalt im Frequenzbereich. Aus der Zeitfunktion ist bereits ersichtlich, dass diese – spektral gesehen – nur eine einzige (physikalische) Frequenz beinhaltet, nämlich die Frequenz $f=0$.

Dieses Ergebnis soll nun mathematisch hergeleitet werden. Im Vorgriff auf das Kapitel Fouriertransformation wird bereits hier der Zusammenhang zwischen dem Zeitsignal $x(t)$ und dem korrespondierenden Spektrum $X(f)$ angegeben:

$$X(f)= \hspace{0.05cm}\int_{-\infty} ^{{+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$

Man bezeichnet die so berechnete Spektralfunktion $X(f)$ nach dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier als die Fouriertransformierte von $x(t)$ und verwendet als Kurzbezeichnung für diesen Funktionalzusammenhang

$$X(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x(t).$$

Beschreibt $x(t)$ beispielsweise einen Spannungsverlauf, so hat $X(f)$ die Einheit „V/Hz“.

Wendet man diese Transformationsgleichung auf das Gleichsignal $x(t)=A_{0}$ an, so erhält man die Spektralfunktion

$$X(f)= A_0 \cdot \int_{-\infty} ^{+\hspace{0.01cm}\infty}\rm e \it ^{-\rm {j 2\pi} \it ft} \,{\rm d}t.$$

mit folgenden Eigenschaften:

• Das Integral divergiert für $f=0$, das heißt, es liefert einen unendlich großen Wert (Integration über den konstanten Wert 1).
• Für eine Frequenz $f\ne 0$ ist das Integral dagegen Null; der dazugehörige Beweis ist allerdings nicht trivial (siehe nächste Seite).

$\text{Definition:}$  Die gesuchte Spektralfunktion $X(f)$ wird kompakt durch folgende Gleichung ausgedrückt:

$$X(f) = A_0 \, \cdot \, \rm \delta(\it f).$$

• Man bezeichnet $\delta(f)$ als Diracfunktion, auch bekannt unter dem Namen „Distribution”.
• $\delta(f)$ ist eine mathematisch komplizierte Funktion; die Herleitung finden Sie auf der nächsten Seite.

Gleichsignal und dessen Spektralfunktion

$\text{Beispiel 2:}$  Die Grafik zeigt den Funktionalzusammenhang

• zwischen einem Gleichsignal $x(t)=A_{0}$ und
• der dazugehörigen Spektralfunktion $X(f)=A_{0} \cdot \delta(f)$.

Die Diracfunktion bei der Frequenz $f=0$ ist durch einen Pfeil dargestellt, der mit dem Gewicht $A_{0}$ versehen ist.

Diracfunktion im Frequenzbereich

$\text{Definition:}$  Die für die funktionale Beschreibung von nachrichtentechnischen Systemen äußerst wichtige Diracfunktion weist folgende Eigenschaften auf:

• Die Diracfunktion ist unendlich schmal, das heißt, es ist $\delta(f)=0$ für $f \neq 0$.
• Die Diracfunktion $\delta(f)$ ist bei der Frequenz $f = 0$ unendlich hoch.
• Die Impulsfläche der Diracfunktion ergibt einen endlichen Wert, nämlich $1$:

$$\int_\limits{-\infty} ^{+\infty} \delta( f)\,{\rm d}f =1.$$

• Aus dieser letzten Eigenschaft folgt, dass $\delta(f)$ die Einheit ${\rm Hz}^{-1} = {\rm s}$ besitzt.

Zur Herleitung der Diracfunktion

$\text{Beweis:}$  Zur mathematischen Herleitung obiger Eigenschaften gehen wir von einem dimensionslosen Gleichsignal aus. Um die Konvergenz des Fourierintegrals zu erzwingen, wird das nicht energiebegrenzte Signal $x(t)$ mit einer beidseitig abfallenden Exponentialfunktion multipliziert. Die Grafik zeigt das Signal $x(t)=1$ und das energiebegrenzte Signal

$$x_{\varepsilon} (t) = \rm e^{\it -\varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.01cm} t \hspace{0.01cm}\vert}{.}$$

Hierbei gelte $\varepsilon > 0$. Im Grenzübergang $\varepsilon \to 0$ geht $x_{\varepsilon}(t)$ in $x(t)=1$ über.

Zur Spektraldarstellung kommt man durch Anwendung des vorne angegebenen Fourierintegrals:

$$X_\varepsilon (f)=\int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{\varepsilon{t} }\, {\cdot}\, {\rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t \hspace{0.2cm}+ \hspace{0.2cm} \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{-\varepsilon t} \,{\cdot}\, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$

Nach Integration und Zusammenfassen beider Anteile erhalten wir die rein reelle Spektralfunktion des energiebegrenzten Signals $x_{\varepsilon}(t)$:

$$X_\varepsilon (f)=\frac{1}{\varepsilon -\rm j \cdot 2\pi \it f} + \frac{1}{\varepsilon+\rm j \cdot 2\pi \it f} = \frac{2\varepsilon}{\varepsilon^2 + (\rm 2\pi {\it f}\hspace{0.05cm} ) \rm ^2} \, .$$

Die Fläche unter der $X_\varepsilon (f)$–Kurve ist unabhängig vom Parameter $\varepsilon$ gleich $1$. Je kleiner ε gewählt wird, um so schmaler und höher wird die Funktion, wie das Lernvideo Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion zeigt.

Der Grenzübergang für $\varepsilon \to 0$ liefert die Diracfunktion mit dem Gewicht $1$:

$$\lim_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm} 0}X_\varepsilon (f)= \delta(f).$$

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 2.2: Gleichsignalanteile

Aufgabe 2.2Z: Nichtlinearitäten