Signaldarstellung/Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals

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Zeitsignaldarstellung

$\text{Definition:}$  Ein  Gleichsignal  ist ein deterministisches Signal, dessen Augenblickswerte für alle Zeiten  $t$  von  $-\infty$  bis  $+\infty$  konstant sind. Ein solches Signal ist der Grenzfall einer  harmonischen Schwingung, wobei die Periodendauer  $T_{0}$  einen unendlich großen Wert besitzt.

Gleichsignal im Zeitbereich

Entsprechend dieser Definition reicht ein Gleichsignal immer von  $t = -\infty$  bis  $t = +\infty$. Wird das Signal erst zum Zeitpunkt  $t = 0$  eingeschaltet, so liegt kein Gleichsignal vor.

• Ein Gleichsignal kann niemals Träger von Information im nachrichtentechnischen Sinne sein, doch können Nachrichtensignale durchaus einen  Gleichsignalanteil  besitzen.
• Alle im Folgenden für das Gleichsignal getroffenen Aussagen gelten in gleicher Weise auch für einen solchen Gleichsignalanteil.

$\text{Definition:}$  Für den  Gleichsignalanteil  $A_{0}$ eines beliebigen Signals  $x(t)$  gilt:

$$A_0 = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M} }\cdot\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\,{\rm d} t. $$

• Die Messdauer  $T_{\rm M}$  sollte stets möglichst groß gewählt werden (im Grenzfall unendlich).
• Die angegebene Gleichung gilt allerdings nur dann, wenn  $T_{\rm M}$  symmetrisch um den Zeitpunkt  $t=0$  liegt.

Zufallssignal mit Gleichanteil

$\text{Beispiel 1:}$  Die Grafik zeigt ein stochastisches Signal  $x(t)$.

• Der Gleichsignalanteil  $A_{0}$  ist hierbei  $2\ \rm V$.
• Im Sinne der Statistik entspricht  $A_{0}$  dem linearen Mittelwert.

Spektraldarstellung

Wir betrachten nun den Sachverhalt im Frequenzbereich. Aus der Zeitfunktion ist bereits ersichtlich, dass diese – spektral gesehen – nur eine einzige (physikalische) Frequenz beinhaltet, nämlich die Frequenz  $f=0$.

Dieses Ergebnis soll nun mathematisch hergeleitet werden. Im Vorgriff auf das Kapitel  Fouriertransformation  wird bereits hier der Zusammenhang zwischen dem Zeitsignal  $x(t)$  und dem korrespondierenden Spektrum  $X(f)$  angegeben:

$$X(f)= \hspace{0.05cm}\int_{-\infty} ^{{+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$

Man bezeichnet die so berechnete Spektralfunktion  $X(f)$  nach dem französischen Mathematiker  Jean Baptiste Joseph Fourier  als die Fouriertransformierte von  $x(t)$  und verwendet als Kurzbezeichnung für diesen Funktionalzusammenhang

$$X(f)\ \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,\ x(t).$$

Beschreibt  $x(t)$  beispielsweise einen Spannungsverlauf, so hat  $X(f)$  die Einheit „V/Hz“.

Wendet man diese Transformationsgleichung auf das Gleichsignal  $x(t)=A_{0}$  an, so erhält man die Spektralfunktion

$$X(f)= A_0 \cdot \int_{-\infty} ^{+\hspace{0.01cm}\infty}\rm e \it ^{-\rm {j 2\pi} \it ft} \,{\rm d}t.$$

mit folgenden Eigenschaften:

• Das Integral divergiert für  $f=0$, das heißt, es liefert einen unendlich großen Wert (Integration über den konstanten Wert 1).
• Für eine Frequenz  $f\ne 0$  ist das Integral dagegen Null; der dazugehörige Beweis ist allerdings nicht trivial (siehe nächste Seite).

$\text{Definition:}$  Die gesuchte Spektralfunktion  $X(f)$  wird kompakt durch folgende Gleichung ausgedrückt:

$$X(f) = A_0 \, \cdot \, \rm \delta(\it f).$$

• Man bezeichnet  $\delta(f)$  als  Diracfunktion, auch bekannt unter dem Namen „Distribution”.
• $\delta(f)$  ist eine mathematisch komplizierte Funktion; die Herleitung finden Sie auf der nächsten Seite.

Gleichsignal und dessen Spektralfunktion

$\text{Beispiel 2:}$  Die Grafik zeigt den Funktionalzusammenhang

• zwischen einem Gleichsignal  $x(t)=A_{0}$  und
• der dazugehörigen Spektralfunktion  $X(f)=A_{0} \cdot \delta(f)$.

Die Diracfunktion bei der Frequenz  $f=0$  ist durch einen Pfeil dargestellt, der mit dem Gewicht  $A_{0}$  versehen ist.

Diracfunktion im Frequenzbereich

$\text{Definition:}$  Die für die funktionale Beschreibung von nachrichtentechnischen Systemen äußerst wichtige  Diracfunktion  weist folgende Eigenschaften auf:

• Die Diracfunktion ist unendlich schmal, das heißt, es ist  $\delta(f)=0$  für  $f \neq 0$.
• Die Diracfunktion  $\delta(f)$  ist bei der Frequenz  $f = 0$  unendlich hoch.
• Die Impulsfläche der Diracfunktion ergibt einen endlichen Wert, nämlich  $1$:

$$\int_\limits{-\infty} ^{+\infty} \delta( f)\,{\rm d}f =1.$$

• Aus dieser letzten Eigenschaft folgt, dass  $\delta(f)$  die Einheit  ${\rm Hz}^{-1} = {\rm s}$  besitzt.

Zur Herleitung der Diracfunktion

$\text{Beweis:}$  Zur mathematischen Herleitung obiger Eigenschaften gehen wir von einem dimensionslosen Gleichsignal aus.

Um die Konvergenz des Fourierintegrals zu erzwingen, wird das nicht energiebegrenzte Signal  $x(t)$  mit einer beidseitig abfallenden Exponentialfunktion multipliziert. Die Grafik zeigt das Signal  $x(t)=1$  und das energiebegrenzte Signal

$$x_{\varepsilon} (t) = \rm e^{\it -\varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \vert \hspace{0.01cm} t \hspace{0.01cm}\vert}{.}$$

Hierbei gelte  $\varepsilon > 0$. Im Grenzübergang  $\varepsilon \to 0$  geht  $x_{\varepsilon}(t)$  in  $x(t)=1$  über.

Zur Spektraldarstellung kommt man durch Anwendung des vorne angegebenen Fourierintegrals:

$$X_\varepsilon (f)=\int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{\varepsilon{t} }\, {\cdot}\, {\rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t \hspace{0.2cm}+ \hspace{0.2cm} \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{-\varepsilon t} \,{\cdot}\, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$$

Nach Integration und Zusammenfassen beider Anteile erhalten wir die rein reelle Spektralfunktion des energiebegrenzten Signals  $x_{\varepsilon}(t)$:

$$X_\varepsilon (f)=\frac{1}{\varepsilon -\rm j \cdot 2\pi \it f} + \frac{1}{\varepsilon+\rm j \cdot 2\pi \it f} = \frac{2\varepsilon}{\varepsilon^2 + (\rm 2\pi {\it f}\hspace{0.05cm} ) \rm ^2} \, .$$

Die Fläche unter der  $X_\varepsilon (f)$–Kurve ist unabhängig vom Parameter  $\varepsilon$  gleich  $1$. Je kleiner  $ε$  gewählt wird, um so schmaler und höher wird die Funktion, wie das Lernvideo  Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion  zeigt.

Der Grenzübergang für  $\varepsilon \to 0$  liefert die Diracfunktion mit dem Gewicht  $1$:

$$\lim_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm} 0}X_\varepsilon (f)= \delta(f).$$

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 2.2: Gleichsignalanteile

Aufgabe 2.2Z: Nichtlinearitäten