Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Karten ziehen: Unterschied zwischen den Versionen
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− | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind? <br>Hinweis: Die Ereignisse „genau $i$ Asse werden gezogen” mit $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$ beschreiben ein so genanntes vollständiges System. | + | {Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind? <br>Hinweis: Die Ereignisse „genau $i$ Asse werden gezogen” mit $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$ beschreiben ein so genanntes „vollständiges System”. |
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− | '''(1)''' Werden die Karten nach dem Ziehen zurückgelegt, so ist zu jedem Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit für ein Ass gleich groß $(1/8)$: | + | '''(1)''' Werden die Karten nach dem Ziehen zurückgelegt, so ist zu jedem Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit für ein Ass gleich groß $(1/8)$: |
:$$ p_{\rm 1} = \rm Pr (3 \hspace{0.1cm} Asse) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \rm ) = \rm \big({1}/{8}\big)^3 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.002}.$$ | :$$ p_{\rm 1} = \rm Pr (3 \hspace{0.1cm} Asse) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \rm ) = \rm \big({1}/{8}\big)^3 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.002}.$$ | ||
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'''(2)''' Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem: | '''(2)''' Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem: | ||
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*Die bedingten Wahrscheinlichkeiten können nach der klassischen Definition berechnet werden. | *Die bedingten Wahrscheinlichkeiten können nach der klassischen Definition berechnet werden. | ||
− | *Man erhält somit das Ergebnis $k/m$ (bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten): | + | *Man erhält somit das Ergebnis $k/m$ $($bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten$)$: |
:$$p_{\rm 2} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$ | :$$p_{\rm 2} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$ | ||
− | *$p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor. | + | *$p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor. |
− | '''(3)''' Analog zur Teilaufgabe '''(2)''' erhält man hier: | + | |
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:$$p_{\rm 3} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$ | :$$p_{\rm 3} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$ | ||
− | '''(4)''' Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken ⇒ $p_{\rm 4} = \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) $ | + | |
+ | '''(4)''' Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken. ⇒ $p_{\rm 4} = \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) $. | ||
+ | * Die zugehörigen Ereignisse ${\rm Pr}(D_1)$, ${\rm Pr}(D_2)$ und ${\rm Pr}(D_3)$ sind disjunkt: | ||
:$$\rm Pr (\it D_{\rm 1}) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$ | :$$\rm Pr (\it D_{\rm 1}) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$ | ||
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*Damit erhält man für die Summe: | *Damit erhält man für die Summe: | ||
− | :$$p_{\rm 4}= \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) | + | :$$p_{\rm 4}= \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$ |
− | '''(5)''' Definiert man die Ereignisse $E_i =$ „Es werden genau $i$ Asse gezogen” mit den Indizes $i = 0, 1, 2, 3$, | + | '''(5)''' Definiert man die Ereignisse $E_i =$ „Es werden genau $i$ Asse gezogen” mit den Indizes $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$, |
− | *so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollständiges System. | + | *so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollständiges System. |
*Deshalb gilt: | *Deshalb gilt: | ||
:$$p_{\rm 5} = \rm Pr (\it E_{\rm 2}) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$ | :$$p_{\rm 5} = \rm Pr (\it E_{\rm 2}) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$ |
Version vom 30. Januar 2020, 14:04 Uhr
Aus einem Kartenspiel mit $32$ Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten herausgezogen. Für Frage (1) wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte
- diese in den Stapel zurückgelegt wird,
- dieser neu gemischt wird und
- anschließend die nächste Karte gezogen wird.
Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilfragen ab (2) davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden („Ziehen ohne Zurücklegen“).
- Im Folgenden bezeichnen wir mit $A_i$ das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt $i$ gezogene Karte ein Ass ist.
Hierbei ist $i = 1,\ 2,\ 3$ zu setzen. - Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt $i$ kein Ass gezogen wird, sondern irgend eine andere Karte.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen.
- Wiederholt wird hier insbesondere der Lehrstoff des Kapitels Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit im Buch „Stochastische Signaltheorie”.
- Eine Zusammenfassung der theoretischen Grundlagen mit Beispielen bringt das Lernvideo Statistische Abhängigkeit und Unabhängigkeit.
Fragebogen
Musterlösung
- $$ p_{\rm 1} = \rm Pr (3 \hspace{0.1cm} Asse) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \rm ) = \rm \big({1}/{8}\big)^3 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.002}.$$
(2) Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:
- $$ p_{\rm 2} = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \cap \it A_{\rm 3} \rm ) = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} |\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} |( \it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \rm )).$$
- Die bedingten Wahrscheinlichkeiten können nach der klassischen Definition berechnet werden.
- Man erhält somit das Ergebnis $k/m$ $($bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten$)$:
- $$p_{\rm 2} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$
- $p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.
(3) Analog zur Teilaufgabe (2) erhält man hier:
- $$p_{\rm 3} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$
(4) Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken. ⇒ $p_{\rm 4} = \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) $.
- Die zugehörigen Ereignisse ${\rm Pr}(D_1)$, ${\rm Pr}(D_2)$ und ${\rm Pr}(D_3)$ sind disjunkt:
- $$\rm Pr (\it D_{\rm 1}) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
- $$\rm Pr (\it D_{\rm 2}) = \rm Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \it A_{\rm 2} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot\frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
- $$\rm Pr (\it D_{\rm 3}) = \rm Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} \cap \it A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$
- Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein?
- Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.
- Damit erhält man für die Summe:
- $$p_{\rm 4}= \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$
(5) Definiert man die Ereignisse $E_i =$ „Es werden genau $i$ Asse gezogen” mit den Indizes $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$,
- so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollständiges System.
- Deshalb gilt:
- $$p_{\rm 5} = \rm Pr (\it E_{\rm 2}) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$