Aufgaben:Aufgabe 3.1Z: Karten ziehen: Unterschied zwischen den Versionen

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$p_4 \ = \ $ { 0.3048 3% }  
 
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{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind? <br>Hinweis: &nbsp; Die Ereignisse „genau&nbsp; $i$&nbsp; Asse werden gezogen” mit&nbsp;  $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$&nbsp; beschreiben ein so genanntes vollständiges System.
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{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind? <br>Hinweis: &nbsp; Die Ereignisse „genau&nbsp; $i$&nbsp; Asse werden gezogen” mit&nbsp;  $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$&nbsp; beschreiben ein so genanntes&nbsp; &bdquo;vollständiges System&rdquo;.
 
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'''(1)'''&nbsp; Werden die Karten nach dem Ziehen zurückgelegt, so ist zu jedem Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit für ein Ass gleich groß $(1/8)$:
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:$$ p_{\rm 1} = \rm Pr (3 \hspace{0.1cm} Asse) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \rm ) = \rm \big({1}/{8}\big)^3 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.002}.$$
 
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'''(2)'''&nbsp; Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:
 
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:$$ p_{\rm 2} = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \cap \it A_{\rm 3} \rm ) = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} |\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} |( \it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \rm )).$$
 
:$$ p_{\rm 2} = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \cap \it A_{\rm 3} \rm ) = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} |\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} |( \it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \rm )).$$
 
*Die bedingten Wahrscheinlichkeiten k&ouml;nnen nach der klassischen Definition berechnet werden.  
 
*Die bedingten Wahrscheinlichkeiten k&ouml;nnen nach der klassischen Definition berechnet werden.  
*Man erhält somit das Ergebnis $k/m$ (bei $m$ Karten sind noch $k$ Asse enthalten):
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*Man erhält somit das Ergebnis&nbsp; $k/m$&nbsp; $($bei&nbsp; $m$&nbsp; Karten sind noch&nbsp; $k$&nbsp; Asse enthalten$)$:
 
:$$p_{\rm 2} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$
 
:$$p_{\rm 2} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$
  
*$p_2$ ist kleiner als $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.
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'''(3)'''&nbsp; Analog zur Teilaufgabe '''(2)''' erhält man hier:
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:$$p_{\rm 3} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$
 
:$$p_{\rm 3} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$
  
  
'''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm 4} = \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) $, da die zugehörigen Ereignisse ${\rm Pr}(D_1)$,  ${\rm Pr}(D_2)$ und ${\rm Pr}(D_3)$ disjunkt sind:
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'''(4)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken. &nbsp; &rArr; &nbsp; $p_{\rm 4} = \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) $.
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* Die zugehörigen Ereignisse&nbsp; ${\rm Pr}(D_1)$,&nbsp; ${\rm Pr}(D_2)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(D_3)$&nbsp; sind disjunkt:
  
 
:$$\rm Pr (\it D_{\rm 1}) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
 
:$$\rm Pr (\it D_{\rm 1}) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
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*Damit erhält man für die Summe:  
 
*Damit erhält man für die Summe:  
  
:$$p_{\rm 4}= \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$
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:$$p_{\rm 4}= \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$
  
  
'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse $E_i =$ &bdquo;Es werden genau $i$ Asse gezogen&rdquo; mit den Indizes $i = 0, 1, 2, 3$,  
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'''(5)'''&nbsp; Definiert man die Ereignisse&nbsp; $E_i =$&nbsp; &bdquo;Es werden genau&nbsp; $i$&nbsp; Asse gezogen&rdquo; mit den Indizes&nbsp; $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$,  
*so beschreiben $E_0$, $E_1$, $E_2$ und $E_3$ ein vollständiges System.  
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*so beschreiben&nbsp; $E_0$,&nbsp; $E_1$,&nbsp; $E_2$&nbsp; und $E_3$&nbsp; ein vollständiges System.  
 
*Deshalb gilt:
 
*Deshalb gilt:
 
:$$p_{\rm 5} = \rm Pr (\it E_{\rm 2}) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$
 
:$$p_{\rm 5} = \rm Pr (\it E_{\rm 2}) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$

Version vom 30. Januar 2020, 14:04 Uhr

Das gewünschte Ergebnis
„Drei Asse werden gezogen”

Aus einem Kartenspiel mit  $32$  Karten, darunter vier Asse, werden nacheinander drei Karten herausgezogen.  Für Frage  (1)  wird vorausgesetzt, dass nach dem Ziehen einer Karte

  • diese in den Stapel zurückgelegt wird,
  • dieser neu gemischt wird und
  • anschließend die nächste Karte gezogen wird.


Dagegen sollen Sie für die weiteren Teilfragen ab  (2)  davon ausgehen, dass die drei Karten auf einmal gezogen werden  („Ziehen ohne Zurücklegen“).

  • Im Folgenden bezeichnen wir mit  $A_i$  das Ereignis, dass die zum Zeitpunkt  $i$  gezogene Karte ein Ass ist. 
    Hierbei ist  $i = 1,\ 2,\ 3$  zu setzen.
  • Das Komplementärereignis sagt dann aus, dass zum Zeitpunkt  $i$  kein Ass gezogen wird, sondern irgend eine andere Karte.






Hinweise:



Fragebogen

1

Betrachten Sie zunächst den Fall „Ziehen mit Zurücklegen“.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_1$, dass drei Asse gezogen werden?

$p_1 \ = \ $

2

Mit welcher Wahrscheinlichkeit  $p_2$  werden drei Asse gezogen, wenn man die Karten nicht zurücklegt?  Warum ist  $p_2$  kleiner/gleich/größer als  $p_1$?

$p_2 \ = \ $

3

Betrachten Sie weiterhin den Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_3$ , dass kein einziges Ass gezogen wird?

$p_3 \ = \ $

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit  $p_4$, dass im Fall „Ziehen ohne Zurücklegen“ genau ein Ass gezogen wird?

$p_4 \ = \ $

5

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der drei gezogenen Karten Asse sind?
Hinweis:   Die Ereignisse „genau  $i$  Asse werden gezogen” mit  $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$  beschreiben ein so genanntes  „vollständiges System”.

$p_5 \ = \ $


Musterlösung

(1)  Werden die Karten nach dem Ziehen zurückgelegt, so ist zu jedem Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit für ein Ass gleich groß  $(1/8)$:

$$ p_{\rm 1} = \rm Pr (3 \hspace{0.1cm} Asse) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} \rm )\cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} \rm ) = \rm \big({1}/{8}\big)^3 \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.002}.$$


(2)  Nun erhält man mit dem allgemeinen Multiplikationstheorem:

$$ p_{\rm 2} = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \cap \it A_{\rm 3} \rm ) = \rm Pr (\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 2} |\it A_{\rm 1}\rm ) \cdot \rm Pr (\it A_{\rm 3} |( \it A_{\rm 1}\cap \it A_{\rm 2} \rm )).$$
  • Die bedingten Wahrscheinlichkeiten können nach der klassischen Definition berechnet werden.
  • Man erhält somit das Ergebnis  $k/m$  $($bei  $m$  Karten sind noch  $k$  Asse enthalten$)$:
$$p_{\rm 2} =\rm \frac{4}{32}\cdot \frac{3}{31}\cdot\frac{2}{30}\hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.0008}.$$
  • $p_2$  ist kleiner als  $p_1$, da nun das zweite und dritte Ass unwahrscheinlicher sind als zuvor.


(3)  Analog zur Teilaufgabe  (2)  erhält man hier:

$$p_{\rm 3} = \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm 2}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}\overline{\it A_{\rm 1}})\cdot \rm Pr (\overline{\it A_{\rm3}}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}(\overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} )) =\rm \frac{28}{32}\cdot\frac{27}{31}\cdot\frac{26}{30}\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.6605}.$$


(4)  Diese Wahrscheinlichkeit kann man als die Summe dreier Wahrscheinlichkeiten ausdrücken.   ⇒   $p_{\rm 4} = \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) $.

  • Die zugehörigen Ereignisse  ${\rm Pr}(D_1)$,  ${\rm Pr}(D_2)$  und  ${\rm Pr}(D_3)$  sind disjunkt:
$$\rm Pr (\it D_{\rm 1}) = \rm Pr (\it A_{\rm 1} \cap \overline{ \it A_{\rm 2}} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{4}{32}\cdot \frac{28}{31}\cdot \frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
$$\rm Pr (\it D_{\rm 2}) = \rm Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \it A_{\rm 2} \cap \overline{\it A_{\rm 3}}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{4}{31}\cdot\frac{27}{30}=\rm 0.1016,$$
$$\rm Pr (\it D_{\rm 3}) = \rm Pr ( \overline{\it A_{\rm 1}} \cap \overline{\it A_{\rm 2}} \cap \it A_{\rm 3}) = \rm \frac{28}{32}\cdot \frac{27}{31}\cdot \frac{4}{30}=\rm 0.1016.$$
  • Diese Wahrscheinlichkeiten sind alle gleich – warum sollte es auch anders sein?
  • Wenn man bei drei Karten genau ein Ass zieht, ist es genau so wahrscheinlich, ob man dieses als erste, als zweite oder als dritte Karte zieht.
  • Damit erhält man für die Summe:
$$p_{\rm 4}= \rm Pr (\it D_{\rm 1} \cup \it D_{\rm 2} \cup \it D_{\rm 3}) \rm \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3084}.$$


(5)  Definiert man die Ereignisse  $E_i =$  „Es werden genau  $i$  Asse gezogen” mit den Indizes  $i = 0,\ 1,\ 2,\ 3$,

  • so beschreiben  $E_0$,  $E_1$,  $E_2$  und $E_3$  ein vollständiges System.
  • Deshalb gilt:
$$p_{\rm 5} = \rm Pr (\it E_{\rm 2}) = \rm 1 - \it p_{\rm 2} -\it p_{\rm 3} - \it p_{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.0339}.$$