Aufgaben:Aufgabe 2.4: 2D-Übertragungsfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
Zeile 3: | Zeile 3: | ||
[[Datei:P_ID2161__Mob_A_2_4.png|right|frame|2D–Impulsantwort $|h(\tau, \hspace{0.05cm}t)|$]] | [[Datei:P_ID2161__Mob_A_2_4.png|right|frame|2D–Impulsantwort $|h(\tau, \hspace{0.05cm}t)|$]] | ||
− | Dargestellt ist die zweidimensionale Impulsantwort $h(\tau, \hspace{0. | + | Dargestellt ist die zweidimensionale Impulsantwort $h(\tau, \hspace{0.1cm}t)$ eines Mobilfunksystems in Betragsdarstellung. |
*Es ist zu erkennen, dass die 2D–Impulsantwort nur für die Verzögerungszeiten $\tau = 0$ und $\tau = 1 \ \rm µ s$ Anteile besitzt. | *Es ist zu erkennen, dass die 2D–Impulsantwort nur für die Verzögerungszeiten $\tau = 0$ und $\tau = 1 \ \rm µ s$ Anteile besitzt. | ||
*Zu diesen Zeitpunkten gilt: | *Zu diesen Zeitpunkten gilt: | ||
− | :$$h(\tau = 0\,{\rm µ s},\hspace{0. | + | :$$h(\tau = 0\,{\rm µ s},\hspace{0.1cm}t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} = {\rm const.}$$ |
− | :$$h(\tau = 1\,{\rm µ s},\hspace{0. | + | :$$h(\tau = 1\,{\rm µ s},\hspace{0.1cm}t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos(2\pi \cdot {t}/{ T_0})\hspace{0.05cm}.$$ |
− | Für alle anderen $\tau$–Werte ist $h(\tau, \hspace{0. | + | Für alle anderen $\tau$–Werte ist $h(\tau, \hspace{0.1cm}t) \equiv 0$. |
− | Gesucht ist die zweidimensionale Übertragungsfunktion $H(f, \hspace{0. | + | Gesucht ist die zweidimensionale Übertragungsfunktion $H(f, \hspace{0.1cm} t)$ als die Fouriertransformierte von $h(\tau,\hspace{0.1cm} t)$ hinsichtlich der Verzögerungszeit $\tau$: |
− | :$$H(f,\hspace{0. | + | :$$H(f,\hspace{0.1cm} t) |
− | \hspace{0.2cm} \stackrel {f,\hspace{0. | + | \hspace{0.2cm} \stackrel {f,\hspace{0.1cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.1cm}t) |
\hspace{0.05cm}.$$ | \hspace{0.05cm}.$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
Zeile 31: | Zeile 34: | ||
===Fragebogen=== | ===Fragebogen=== | ||
<quiz display=simple> | <quiz display=simple> | ||
− | {Wie groß ist die Periodendauer $T_0$ der Funktion $h(\tau = 1 \ {\rm µ s},\hspace{0. | + | {Wie groß ist die Periodendauer $T_0$ der Funktion $h(\tau = 1 \ {\rm µ s},\hspace{0.1cm} t)$? Beachten Sie, dass in der Grafik der <u>Betrag</u> $|h(\tau, \hspace{0.1cm}t)|$ dargestellt ist. |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$T_0 \ = \ ${ 20 3% } $\ \rm ms$ | $T_0 \ = \ ${ 20 3% } $\ \rm ms$ | ||
− | {Zu welchen Zeiten $t_1$ $($zwischen $0$ und $10 \ \rm ms)$ und $t_2$ $($zwischen $10 \ \rm ms$ und $20 \ \rm ms)$ ist $H(f, \hspace{0. | + | {Zu welchen Zeiten $t_1$ $($zwischen $0$ und $10 \ \rm ms)$ und $t_2$ $($zwischen $10 \ \rm ms$ und $20 \ \rm ms)$ ist $H(f, \hspace{0.1cm}t)$ bezüglich $f$ konstant? |
|type="{}"} | |type="{}"} | ||
$t_1 \ = \ ${ 5 3% } $\ \rm ms$ | $t_1 \ = \ ${ 5 3% } $\ \rm ms$ | ||
$t_2 \ = \ ${ 15 3% } $\ \rm ms$ | $t_2 \ = \ ${ 15 3% } $\ \rm ms$ | ||
− | {Berechnen Sie $H_0(f) = H(f, \hspace{0. | + | {Berechnen Sie $H_0(f) = H(f, \hspace{0.1cm}t = 0)$. Welche Aussagen sind zutreffend? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
+ Es gilt $H_0(f) = H_0(f + i \cdot 1 \ {\rm MHz}), \ i = ±1, ±2, \ \text{...}$ | + Es gilt $H_0(f) = H_0(f + i \cdot 1 \ {\rm MHz}), \ i = ±1, ±2, \ \text{...}$ | ||
Zeile 46: | Zeile 49: | ||
+ $|H_0(f)|$ hat bei $f = 0$ ein Maximum. | + $|H_0(f)|$ hat bei $f = 0$ ein Maximum. | ||
− | {Berechnen Sie $H_{10}(f) = H(f, \hspace{0. | + | {Berechnen Sie $H_{10}(f) = H(f, \hspace{0.1cm}t = 10 \ \rm ms)$. Welche Aussagen sind zutreffend? |
|type="[]"} | |type="[]"} | ||
+ Es gilt $H_{10}(f) = H_{10}(f + i \cdot 1 \ {\rm MHz}),\ i = ±1, ±2, \ \text{...}$ | + Es gilt $H_{10}(f) = H_{10}(f + i \cdot 1 \ {\rm MHz}),\ i = ±1, ±2, \ \text{...}$ |
Version vom 18. Mai 2020, 12:04 Uhr
Dargestellt ist die zweidimensionale Impulsantwort $h(\tau, \hspace{0.1cm}t)$ eines Mobilfunksystems in Betragsdarstellung.
- Es ist zu erkennen, dass die 2D–Impulsantwort nur für die Verzögerungszeiten $\tau = 0$ und $\tau = 1 \ \rm µ s$ Anteile besitzt.
- Zu diesen Zeitpunkten gilt:
- $$h(\tau = 0\,{\rm µ s},\hspace{0.1cm}t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} = {\rm const.}$$
- $$h(\tau = 1\,{\rm µ s},\hspace{0.1cm}t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos(2\pi \cdot {t}/{ T_0})\hspace{0.05cm}.$$
Für alle anderen $\tau$–Werte ist $h(\tau, \hspace{0.1cm}t) \equiv 0$.
Gesucht ist die zweidimensionale Übertragungsfunktion $H(f, \hspace{0.1cm} t)$ als die Fouriertransformierte von $h(\tau,\hspace{0.1cm} t)$ hinsichtlich der Verzögerungszeit $\tau$:
- $$H(f,\hspace{0.1cm} t) \hspace{0.2cm} \stackrel {f,\hspace{0.1cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.1cm}t) \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Mehrwegeempfang beim Mobilfunk.
- Eine ähnliche Problematik wird in der Aufgabe 2.5 behandelt, allerdings mit veränderter Nomenklatur.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Zum Zeitpunkt $t_1 \ \underline {= 5 \ \rm ms}$ ist $h(\tau = 1 \ {\rm µ s}, t_1) = 0$. Dementsprechend gilt
- $$h(\tau = 1\,{\rm µ s},\hspace{0.05cm}t_1) = \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f,\hspace{0.05cm}t_1) = \frac{1}{ \sqrt{2}} = {\rm const.}$$
Ebenso gilt für $t_2 \ \underline {= 15 \ \rm ms}$:
- $$h(\tau = 1\,{\rm µ s},\hspace{0.05cm}t_2) = \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f,\hspace{0.05cm}t_2) = \frac{1}{ \sqrt{2}} = {\rm const.}$$
(3) Zum Zeitpunkt $t = 0$ lautet die Impulsantwort mit $\tau_1 = 1 \ \rm µ s$:
- $$h(\tau,\hspace{0.05cm}t = 0) = \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)+ \delta(\tau - \tau_1)\hspace{0.05cm}.$$
Die Fouriertransformation führt zum Ergebnis:
- $$H_0(f) = H(f,\hspace{0.05cm}t = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} + 1 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\cdot 2 \pi f \tau_1}=\frac{1}{ \sqrt{2}} + \cos( 2 \pi f \tau_1)- {\rm j}\cdot \sin( 2 \pi f \tau_1)$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |H_0(f)| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { \left [ {1}/{ \sqrt{2}} + \cos( 2 \pi f \tau_1) \right ]^2 + \left [\sin( 2 \pi f \tau_1)\right ]^2}= \sqrt { 0.5 + 1 + {2}/{ \sqrt{2}} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_1)} = \sqrt { 1.5 + { \sqrt{2}} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_1)}\hspace{0.05cm}.$$
Daraus folgt:
- $H_0(f)$ ist periodisch mit $1/\tau_1 = 1 \ \rm MHz$.
- Für den Maximalwert bzw. Minimalwert gilt:
- $${\rm Max}\, \left [ \, |H_0(f)|\, \right ] \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { 1.5 + { \sqrt{2}} } \approx 1.707 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Min}\, \left [ \, |H_0(f)|\, \right ] \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { 1.5 - { \sqrt{2}} } \approx 0.293 \hspace{0.05cm}. $$
- Bei $f = 0$ hat $|H_0(f)|$ ein Maximum.
Richtig sind demzufolge alle drei Lösungsvorschläge.
(4) Für den Zeitpunkt $t = 10 \ \rm ms$ gelten folgende Gleichungen:
- $$h(\tau,\hspace{0.05cm}t = 10\,{\rm ms}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)- \delta(\tau - \tau_1)\hspace{0.05cm},$$
- $$H_{10}(f) = H(f,\hspace{0.05cm}t = 10\,{\rm ms}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} - \cos( 2 \pi f \tau_1)+ {\rm j}\cdot \sin( 2 \pi f \tau_1)\hspace{0.05cm},$$
- $$ |H_{10}(f)| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { 1.5 - { \sqrt{2}} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_1)}\hspace{0.05cm}.$$
Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Die Frequenzperiode ändert sich gegenüber $t = 0$ nicht.
- Der Maximalwert ist weiterhin $1.707$ und auch der Minimalwert $0.293$ ändert sich nicht gegenüber der Teilaufgabe (3).
- Bei $f = 0$ gibt es nun ein Minimum und kein Maximum.
Die rechte Grafik zeigt den Betrag $|H(f, t)|$ der 2D–Übertragungsfunktion.