Aufgaben:Aufgabe 2.4: 2D-Übertragungsfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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− | '''(1)''' Die Periodendauer kann man aus der gegebenen Grafik ablesen. Berücksichtigt man die Betragsdarstellung, so ergibt sich $T_0 \ \underline {= 20 \ \rm ms}$. | + | '''(1)''' Die Periodendauer kann man aus der gegebenen Grafik ablesen. Berücksichtigt man die Betragsdarstellung, so ergibt sich $T_0 \ \underline {= 20 \ \rm ms}$. |
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− | + | '''(2)''' Zum Zeitpunkt $t_1 \ \underline {= 5 \ \rm ms}$ ist $h(\tau = 1 \ {\rm µ s}, t_1) = 0$. Dementsprechend gilt | |
− | :$$h(\tau = 1\,{\rm µ s},\hspace{0. | + | :$$h(\tau = 1\,{\rm µ s},\hspace{0.1cm}t_1) = \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} |
− | H(f,\hspace{0. | + | H(f,\hspace{0.1cm}t_1) = \frac{1}{ \sqrt{2}} = {\rm const.}$$ |
+ | *Ebenso gilt für $t_2 \ \underline {= 15 \ \rm ms}$: | ||
+ | :$$h(\tau = 1\,{\rm µ s},\hspace{0.1cm}t_2) = \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} | ||
+ | H(f,\hspace{0.1cm}t_2) = \frac{1}{ \sqrt{2}} = {\rm const.}$$ | ||
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− | Die Fouriertransformation führt zum Ergebnis: | + | '''(3)''' Zum Zeitpunkt $t = 0$ lautet die Impulsantwort mit $\tau_1 = 1 \ \rm µ s$: |
− | :$$H_0(f) = H(f,\hspace{0. | + | :$$h(\tau,\hspace{0.1cm}t = 0) = \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)+ \delta(\tau - \tau_1)\hspace{0.05cm}.$$ |
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+ | *Die Fouriertransformation führt zum Ergebnis: | ||
+ | :$$H_0(f) = H(f,\hspace{0.1cm}t = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} + 1 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f \tau_1}=\frac{1}{ \sqrt{2}} + \cos( 2 \pi f \tau_1)- {\rm j}\cdot \sin( 2 \pi f \tau_1)$$ | ||
:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |H_0(f)| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} | :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |H_0(f)| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} | ||
\sqrt { \left [ {1}/{ \sqrt{2}} + \cos( 2 \pi f \tau_1) \right ]^2 + \left [\sin( 2 \pi f \tau_1)\right ]^2}= | \sqrt { \left [ {1}/{ \sqrt{2}} + \cos( 2 \pi f \tau_1) \right ]^2 + \left [\sin( 2 \pi f \tau_1)\right ]^2}= | ||
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Daraus folgt: | Daraus folgt: | ||
− | * $H_0(f)$ ist periodisch mit $1/\tau_1 = 1 \ \rm MHz$. | + | * $H_0(f)$ ist periodisch mit $1/\tau_1 = 1 \ \rm MHz$. |
* Für den Maximalwert bzw. Minimalwert gilt: | * Für den Maximalwert bzw. Minimalwert gilt: | ||
:$${\rm Max}\, \left [ \, |H_0(f)|\, \right ] \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { 1.5 + { \sqrt{2}} } \approx 1.707 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Min}\, \left [ \, |H_0(f)|\, \right ] \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { 1.5 - { \sqrt{2}} } \approx 0.293 \hspace{0.05cm}. $$ | :$${\rm Max}\, \left [ \, |H_0(f)|\, \right ] \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { 1.5 + { \sqrt{2}} } \approx 1.707 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Min}\, \left [ \, |H_0(f)|\, \right ] \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { 1.5 - { \sqrt{2}} } \approx 0.293 \hspace{0.05cm}. $$ | ||
− | * Bei $f = 0$ hat $|H_0(f)|$ ein Maximum. | + | * Bei $f = 0$ hat $|H_0(f)|$ ein Maximum. |
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− | '''(4)''' Für den Zeitpunkt $t = 10 \ \rm ms$ gelten folgende Gleichungen: | + | '''(4)''' Für den Zeitpunkt $t = 10 \ \rm ms$ gelten folgende Gleichungen: |
− | :$$h(\tau,\hspace{0. | + | :$$h(\tau,\hspace{0.1cm}t = 10\,{\rm ms}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)- \delta(\tau - \tau_1)\hspace{0.05cm},$$ |
− | :$$H_{10}(f) = H(f,\hspace{0. | + | :$$H_{10}(f) = H(f,\hspace{0.1cm}t = 10\,{\rm ms}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} |
\frac{1}{ \sqrt{2}} - \cos( 2 \pi f \tau_1)+ {\rm j}\cdot \sin( 2 \pi f \tau_1)\hspace{0.05cm},$$ | \frac{1}{ \sqrt{2}} - \cos( 2 \pi f \tau_1)+ {\rm j}\cdot \sin( 2 \pi f \tau_1)\hspace{0.05cm},$$ | ||
+ | [[Datei:P_ID2163__Mob_A_2_4d.png|right|frame|2D–Impulsantwort $|h(\tau, \hspace{0.1cm}t)|$ und 2D–Übertragungsfunktion $|H(f, \hspace{0.1cm}t)|$]] | ||
:$$ |H_{10}(f)| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} | :$$ |H_{10}(f)| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} | ||
\sqrt { 1.5 - { \sqrt{2}} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_1)}\hspace{0.05cm}.$$ | \sqrt { 1.5 - { \sqrt{2}} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_1)}\hspace{0.05cm}.$$ | ||
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Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: | Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>: | ||
− | *Die Frequenzperiode ändert sich gegenüber $t = 0$ nicht. | + | *Die Frequenzperiode ändert sich gegenüber $t = 0$ nicht. |
− | *Der Maximalwert ist weiterhin $1.707$ und auch der Minimalwert $0.293$ ändert sich nicht gegenüber der Teilaufgabe '''(3)'''. | + | *Der Maximalwert ist weiterhin $1.707$ und auch der Minimalwert $0.293$ ändert sich nicht gegenüber der Teilaufgabe '''(3)'''. |
− | *Bei $f = 0$ gibt es nun ein Minimum | + | *Bei $f = 0$ gibt es nun ein Minimum statt einem Maximum. |
− | Die rechte Grafik zeigt den Betrag $|H(f, t)|$ der 2D–Übertragungsfunktion. | + | Die rechte Grafik zeigt den Betrag $|H(f,\ t)|$ der 2D–Übertragungsfunktion. |
Aktuelle Version vom 18. Mai 2020, 12:19 Uhr
Dargestellt ist die zweidimensionale Impulsantwort $h(\tau, \hspace{0.1cm}t)$ eines Mobilfunksystems in Betragsdarstellung.
- Es ist zu erkennen, dass die 2D–Impulsantwort nur für die Verzögerungszeiten $\tau = 0$ und $\tau = 1 \ \rm µ s$ Anteile besitzt.
- Zu diesen Zeitpunkten gilt:
- $$h(\tau = 0\,{\rm µ s},\hspace{0.1cm}t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} = {\rm const.}$$
- $$h(\tau = 1\,{\rm µ s},\hspace{0.1cm}t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \cos(2\pi \cdot {t}/{ T_0})\hspace{0.05cm}.$$
Für alle anderen $\tau$–Werte ist $h(\tau, \hspace{0.1cm}t) \equiv 0$.
Gesucht ist die zweidimensionale Übertragungsfunktion $H(f, \hspace{0.1cm} t)$ als die Fouriertransformierte von $h(\tau,\hspace{0.1cm} t)$ hinsichtlich der Verzögerungszeit $\tau$:
- $$H(f,\hspace{0.1cm} t) \hspace{0.2cm} \stackrel {f,\hspace{0.1cm}\tau}{\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ} \hspace{0.2cm} h(\tau,\hspace{0.1cm}t) \hspace{0.05cm}.$$
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Mehrwegeempfang beim Mobilfunk.
- Eine ähnliche Problematik wird in der Aufgabe 2.5 behandelt, allerdings mit veränderter Nomenklatur.
Fragebogen
Musterlösung
(2) Zum Zeitpunkt $t_1 \ \underline {= 5 \ \rm ms}$ ist $h(\tau = 1 \ {\rm µ s}, t_1) = 0$. Dementsprechend gilt
- $$h(\tau = 1\,{\rm µ s},\hspace{0.1cm}t_1) = \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f,\hspace{0.1cm}t_1) = \frac{1}{ \sqrt{2}} = {\rm const.}$$
- Ebenso gilt für $t_2 \ \underline {= 15 \ \rm ms}$:
- $$h(\tau = 1\,{\rm µ s},\hspace{0.1cm}t_2) = \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f,\hspace{0.1cm}t_2) = \frac{1}{ \sqrt{2}} = {\rm const.}$$
(3) Zum Zeitpunkt $t = 0$ lautet die Impulsantwort mit $\tau_1 = 1 \ \rm µ s$:
- $$h(\tau,\hspace{0.1cm}t = 0) = \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)+ \delta(\tau - \tau_1)\hspace{0.05cm}.$$
- Die Fouriertransformation führt zum Ergebnis:
- $$H_0(f) = H(f,\hspace{0.1cm}t = 0) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} + 1 \cdot {\rm e}^{- {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi \hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} f \tau_1}=\frac{1}{ \sqrt{2}} + \cos( 2 \pi f \tau_1)- {\rm j}\cdot \sin( 2 \pi f \tau_1)$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} |H_0(f)| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { \left [ {1}/{ \sqrt{2}} + \cos( 2 \pi f \tau_1) \right ]^2 + \left [\sin( 2 \pi f \tau_1)\right ]^2}= \sqrt { 0.5 + 1 + {2}/{ \sqrt{2}} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_1)} = \sqrt { 1.5 + { \sqrt{2}} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_1)}\hspace{0.05cm}.$$
Daraus folgt:
- $H_0(f)$ ist periodisch mit $1/\tau_1 = 1 \ \rm MHz$.
- Für den Maximalwert bzw. Minimalwert gilt:
- $${\rm Max}\, \left [ \, |H_0(f)|\, \right ] \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { 1.5 + { \sqrt{2}} } \approx 1.707 \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}{\rm Min}\, \left [ \, |H_0(f)|\, \right ] \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { 1.5 - { \sqrt{2}} } \approx 0.293 \hspace{0.05cm}. $$
- Bei $f = 0$ hat $|H_0(f)|$ ein Maximum.
Richtig sind demzufolge alle drei Lösungsvorschläge.
(4) Für den Zeitpunkt $t = 10 \ \rm ms$ gelten folgende Gleichungen:
- $$h(\tau,\hspace{0.1cm}t = 10\,{\rm ms}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} \cdot \delta(\tau)- \delta(\tau - \tau_1)\hspace{0.05cm},$$
- $$H_{10}(f) = H(f,\hspace{0.1cm}t = 10\,{\rm ms}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{ \sqrt{2}} - \cos( 2 \pi f \tau_1)+ {\rm j}\cdot \sin( 2 \pi f \tau_1)\hspace{0.05cm},$$
- $$ |H_{10}(f)| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sqrt { 1.5 - { \sqrt{2}} \cdot \cos( 2 \pi f \tau_1)}\hspace{0.05cm}.$$
Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:
- Die Frequenzperiode ändert sich gegenüber $t = 0$ nicht.
- Der Maximalwert ist weiterhin $1.707$ und auch der Minimalwert $0.293$ ändert sich nicht gegenüber der Teilaufgabe (3).
- Bei $f = 0$ gibt es nun ein Minimum statt einem Maximum.
Die rechte Grafik zeigt den Betrag $|H(f,\ t)|$ der 2D–Übertragungsfunktion.